Ecco come apprendere la Matematica in modo PIACEVOLE 😀 ed EFFICACE 🚀 !!! Ma... com'è possibile? Con video formativi che fanno ampio uso di immagini, animazione e strategie visive allo scopo di favorire l'apprendimento e la memorizzazione, specialmente quando si parla di argomenti teorici e astratti. L'obiettivo è quello di far arrivare alla mente degli spettatori i concetti trattati con spontaneità! Spero proprio di essere di aiuto a tutti coloro che vogliono avvicinarsi o comprendere meglio questa materia! Un caro saluto da MATHEW! Ciao!!! 😀
Ciao! Ti ringrazio per la richiesta, ma purtroppo in questo momento sono in vacanza e non ho l’attrezzatura, e tuttavia mi servono almeno 10 giorni di lavoro per sfornare un video. 😕 Mi dispiace. Certo, in futuro farò video anche su questi argomenti. Ti faccio i miei migliori auguri per l’esame! 😊
Vorrei dare un accenno anche per la divisione con 11: i resti in questo caso vanno da 1 a 10. Quindi: 1÷11=0,(09) 2÷11=0,(18) 3÷11=0,(27) 4÷11=0,(36) 5÷11=0,(45) 6÷11=0,(54) 7÷11=0,(63) 8÷11=0,(72) 9÷11=0,(81) 10÷11=0,(90) Il periodo viene proprio con i numeri della tabellina del 9 che si ripetono all'∞.
@@spaziomath adesso faccio un accenno anche sul divisore 13 che può dare i resti da 1 a 12. Anche se si divide per 13 un numero che non è suo multiplo le cifre decimali periodiche sono 6 come nella divisione per 7: 1÷13=0,(076923) 0,(076923)×2=0,(153846) 0,(076923)×3=0,(210769) 0,(076923)×4=0,(307692) 0,(076923)×5=0,(384615) 0,(076923)×6=0,(421538) 0,(076923)×7=0,(538461) 0,(076923)×8=0,(615384) 0,(076923)×9=0,(692307) 0,(076923)×10=0,(769230) 0,(076923)×11=0,(836153) 0,(076923)×12=0,(913076)
Le divisioni con i numeri decimali in questione sono con i decimali limitati. Se invece volessi provare con i periodici semplici o misti allora per togliere la virgola dobbiamo moltiplicare ambo i membri per 9 oltre che 10; 100; 1000. Vorrei portarne qualche esempio: 187,62÷7,(4)=??? Partiamo dal divisore: 7,(4)×9=7,(4)×(10-1)= =74,(4)-7,(4)=74-7=77-10=67 Adesso sistemiamo il dividendo: 187,62×(10-1)=1876,2-187,62= =1876,6-188,02=1876,58-188= =1888,58-200=1688,58. Ho reso la divisione fattibile: 187,62÷7,(4)= =1688,58÷67≈25,2 Il risultato è solo un'approssimazione. Siccome ci saranno varie cifre ripetute all' ∞ non sto a mettercele tutte.
Bellissimo esempio di come si possono svolgere le divisioni con i numeri periodici! Ovvero sfruttando la proprietà invariantiva e moltiplicando gli operandi per 9. Ti ringrazio perché mi hai dato un ottimo suggerimento per un video dedicato 😀 che non avevo in programma ma che ora ho intenzione di inserire prima di terminare il capitolo della divisione! Grazie ancora per le tue integrazioni! Alla prossima, ciao!
@@spaziomath in certi casi invece basta moltiplicare gli operandi per 3, ma solamente se il periodo del divisore dovesse risultare o unicamente di 3 o unicamente di 6. Vorrei darne qualche altro esempio sui divisori periodici: 88,524÷5,(3)=??? Fisso l' attenzione sul divisore: 5,(3)×3=15,(9)=16 In questo caso mi sono limitato a moltiplicare per 3 dato che si presentava un 3 periodico. Adesso eseguo lo stesso step sul dividendo: 88,524×3=266,092 88,524÷5,(3)=266,092÷16= =133,046÷8=16,69325 Proviamo con un' altra operazione: 149,36÷11,(6)=??? 11,(6)×3=34,(9)=35 149,36×3=448,08 149,36÷11,(6)=448,08÷35= =12,80221428(5) Quindi se il periodo nel divisore si presenta con 3 o 6 basta moltiplicare per 3 anziché per 9 giusto per non appesantire gli operandi.
Vorrei dare un piccolo accenno anche su questa divisione con il divisore a 3 cifre: 192876÷196=??? Come nell' altro commento ormai sappiamo che l'1 del 196 al massimo entra 9 volte nel 19 del 1928. Le ultime due cifre del dividendo le andiamo a considerare dopo. Procedo con 196×9=196(10-1)= =1960-196=1964-200=1764 Eseguo la differenza 1928-1764=2168-2004=164 Abbasso il 7 e ottengo 1647. Ripeto il processo ed anche in questo caso l'1 può entrare al massimo 9 volte nel 16. Allora Come abbiamo visto prima ottengo 1764 e purtroppo non posso toglierlo da 1647 e scalo di un'unità. Se tento con 8 ottengo 196(10-2)=1960-392= 1968-400=1568. Di nuovo eseguo la differenza 1647-1568=1679-1600=79 Abbasso il 6 e formo 796. Ripetendo il processo da capo l'1 entra nel 7 per 7 volte ma con un piccolo sforzo scalo di un' unità perché intuisco di superare il numero. Allora faccio 196×6=392×3= =(300+90+2)×3= 900+270+6=1176. Anche in questo caso devo scalare di un'unità. Allora provo con 196×5=980. Ma 980>796 e non posso calcolare il resto. Scalo di nuovo e facendo 196×4=784. Stavolta 784<796 quindi posso calcolare il resto: 796-784=812-800=12. Il risultato della divisione è 192876÷196=984 r12.
😃 Molto interessante 👍🏻👍🏻👍🏻 Utile per padroneggiare meglio le divisioni in colonna che sono sempre un po’ ostiche per gli studenti ma anche per i grandi! Grazie ancora! Ciao 👋🏻
@@spaziomath e nelle divisioni ostiche non dobbiamo mai cadere nella tentazione di provare una cifra del divisore in due cifre del dividendo per più di 9 volte. Non sarebbe stato possibile calcolare il resto dato che si doveva moltiplicare il divisore per il risultato parziale. E ci tengo a spiegare cosa sarebbe successo se avessi provato l'1 del 196 nel 19 del 1928 per 10 volte e passa: 196×19=196(20-1)= =3920-196=39324-200=3724 Questo numero supera di gran lunga le prime cifre del dividendo in questione. Ma anche via discorrendo fino a 10: 196×18=196(20-2)= =3920-392=3928-400=3528 196×17=196(20-3)= =3920-588=3932-600=3332 196×16=196(20-4)= 3920-784=3940-804=3136 196×15=2940 196×14=2744 196×13=2548 196×12=2352 196×11=2156 196×10=1960 Tutti questi numeri sono maggiori di 1928 e non mi sarebbe stato possibile calcolarne il resto.
😄 Fortissimo! ✅ Beh, ormai il concetto dovrebbe essere chiaro: mai provare una cifra nel dividendo per un numero maggiore di 9! Perché sarebbe solo tempo perso! 😁 👍🏻👍🏻👍🏻
Vorrei dare qualche caso particolare sulle divisioni acon 2 cifre al divisore: 144÷16=? 4851÷49=? 238675÷25=? Nella prima divisione sono obbligato a considerare tutto il dividendo perché il numero 16 non entrerà mai nel 14 e basta. Mi domando per quante volte è contenuto l'1 del divisore 16 nel 14 del dividendo 144. Di norma e regola è contenuto 14 volte. ATTENZIONE!!! Qui scatta il campanello d'allarme, perché al massimo non può entrare per più di 9 volte. Allora diamo uno strappo alla regola e dico che ci entra 9 volte. Moltiplico tutto il divisore per 9 e ottengo proprio il dividendo. Faccio la differenza e il resto è nullo. Quindi 144÷16=9 Passiamo alla seconda divisione: stesso discorso di prima, mi domando quante volte sta il 4 del 49 nel 48 del 485. Di norma e regola 12 volte. Anche in questo caso scatta il campanello d'allarme. Quindi ci dobbiamo accontentare che c'entri 9 volte. Moltiplico tutto il 49 per 9 e ottengo 441. Questo 441 lo sottraggo al 485 e ottengo 44. Abbasso l'1 del dividendo e ottengo 441. Ripeto il procedimento e di norma e regola il 4 del 49 sarebbe contenuto 11 volte, ma il nostro campanello d'allarme ci dice non più di 9. Allora accontentiamoci del 9 e otteniamo proprio 441. Quindi 4851÷49=99, anche qui il resto è nullo. Adesso provo a svolgere la terza divisione con il dividendo sempre più mostruoso. Mi domando quante volte è contenuto il 2 del 25 nel 23 del 238. Entrerebbe 11 volte, ma il campanello d'allarme ci ferma a 9. Moltiplico per 9 volte il 25 e ottengo 225. Adesso lo sottraggo al 238 e ottengo 13. Abbasso il 6 per formare il 136. Mi domando quate volte sta il 2 nel 13. Ci sta 6 volte. Moltiplico per 6 volte il 25 e ottengo il 150 che mi supera il 136. Allora scalo di 1 e provo per 5 volte: 25×5=125 che stavolta non supera il 136 e come resto ottengo 11. Abbasso il 7 per formare il 117 e ripeto il procedimento. Il 2 del 25 sta 5 volte nell'11 del 117. Allora moltiplico per 5 volte il 125 e ottengo 125 che supera il 117. Scalo di un' unità e a moltiplicare il divisore per 4 volte ottengo 100. Adesso posso calcolarmi il resto e ottengo 17. Mi è rimasto solamente il 5 da abbassare e formo il 175. Con qualche intuizione mi accorgo che il 25 nel 175 sta 7 volte. Quindi 238675÷25=9547, pure qui il resto è nullo.
😃 Quelli che hai descritto sono dei curiosi esempi di come può essere articolata una divisione in colonna! Qui è utile cogliere il suggerimento che troviamo: quando un numero ci sta più di 9 volte, si può accorciare il procedimento passando direttamente al 9. 😊 Grazie ancora per le tue integrazioni che aiutano a capire meglio gli argomenti trattati! 👍🏻
@@spaziomath potrei dimostrare cosa succederebbe se nella divisione 144÷16 avessi provato l'1 nel 14 per più di 9 volte. Già con 10 non potrei calcolarmi il resto figuriamoci direttamente con 14. Se avessi provato con 10 volte ottenevo 160 e non potevo toglierlo da 144. Se invece lo avessi provato per 14 volte come di norma e regola allora ottenevo 224 che mi supera il dividendo alla lunga. Anche in questo non potevo calmarmi il resto.
Vorrei fare stavolta un esempio di unione tra due insiemi intersecati. Nell' insieme A ci stanno i divisori di 72 mentre nel B quelli di 108. A {1;2;3;4;6;8;9;12;18;24;36;72} B {1;2;3;4;6;9;12;18;27;36;54;108} L' unione è A+B-|A is B| |A is B| {1;2;3;4;6;9;12;18;36} A-|A is B| {8;24;72} B-|A is B| {27;54;108} Gli insiemi A e B contengono entrambi 12 elementi. La loro intersezione ne contiene 9. Allora la cardinalità dell' insieme universo è 2×12-9=15.
A proposito di insieme universo. Non va scambiato con l'insieme delle parti. Io tendo a confonderlo con quello di tutti i sottoinsiemi. Supponiamo di avere due insiemi disgiunti. A contiene i materiali che sono metalli mentre B quelli che non lo sono. A {ferro; acciaio inox; alluminio; rame; oro; argento; piombo; bronzo; ottone; platino} B {gomma; plastica; vetro; legno; marmo; pietra; sughero; gesso; carta; coccio} L' insieme unione è A+B dato che l'intersezione è vuota. Ciascun insieme contiene 10 elementi quindi A e B hanno entrambi cardinalità 10 per gli elementi e 2¹⁰=1024 per le loro parti. Per l'insieme universo gli elementi sono 20 allora la cardinalità è 20 per gli elementi. Se volessi fare l'insieme delle parti rispetto ad U la cardinalità sarebbe 2²⁰ o forse 2¹⁰²⁴ dato che in questo caso devo considerare tutti i sottoinsiemi che posso formare.
Ora che ci penso nella divisione da sinistra possiamo distribuire lo 0. Se guardiamo 0÷(7+5)=0 Ma anche 0÷7+0÷5=0. Solo perché lo 0 assorbe ogni numero. Anche l'∞ può essere distribuito da sinistra non essendo un numero preciso Se dovessi fare ∞÷(10+3)=∞÷10+∞÷3 fa sempre ∞.
😆 Curiosa questa osservazione! In effetti lo zero è un’eccezione particolare perché è una doppia eccezione, infatti può essere distribuito solo da sinistra, mentre da destra non si potrebbe proprio fare (almeno fino a quando non applichiamo la teoria dei limiti) 😀
La proprietà invariantiva della divisione è utile anche nel caso di quando si tratta di un divisore decimale. Voglio dire un divisore con la virgola. Se la virgola è al dividendo non c'è alcun problema per risolvere la divisione, ma se compare anche al divisore o solamente al divisore dobbiamo applicare questa proprietà per rendere fattibile la divisione. Voglio fare degli esempi: La virgola compare solamente al dividendo 19,67÷7=2,81 Ci sono arrivato senza la proprietà invariantiva. La virgola compare solamente al divisore 1998÷6,66=? Così non è fattibile!!! Allora sono obbligato a moltiplicare ambo i membri per 100, in quanto il divisore possiede decimi e centesimi dopo la virgola. 1998÷6,66=199800÷666 199800÷666= =66600÷222= =33300÷111=300 Scusa se ho applicato più volte la proprietà, ma ne valeva la pena. La virgola compare ad ambo gli operandi 72,84÷4,8=? Anche in questo caso la divisione non è fattibile, quindi applico lo stesso procedimento di prima 72,84÷4,8=728,4÷48 728,4÷48= =182,1÷12= =60,7÷4=15,175 Alla fine sono arrivato comunque al risultato.
@@spaziomath posso anche fare un'estensione trattasi di un divisore decimale periodico semplice o misto: 7168÷99,(5)=??? Qui il caso è complicato perché abbiamo una cifra ripetuta all'∞. Dobbiamo moltiplicare ambo i membri per 9 di modo da ottenere un divisore pulito. 7168÷99,(5)=64512÷896 64512÷896= =32256÷448= =16128÷224= =8064÷112= =4032÷56= =504÷7=72 Proviamo con un periodico misto: 2001÷111,1(6)=??? Intanto abbiamo un antiperiodo dopo la virgola, quindi moltiplichiamo ambo i membri per 10: 2001÷111,1(6)=20010÷1111,(6) L' antiperiodo non c'è più ma abbiamo ancora il periodo quindi dobbiamo moltiplicare tutto per 9. 20010÷1111,(6)=180090÷10005 180090÷10005= =360180÷20010= =36018÷2001=18
La divisione è utile anche per passare da un' unità di misura più piccola ad una più grande. Per esempio se voglio convertire centimetri in metri oppure metri in chilometri. Ma anche kg in q.li o tonnellate. Con la divisione posso ricavare la velocità di uno spazio in un determinato tempo oppure la densità di un materiale, voglio dire una massa in un determinato volume.
@@spaziomath oltre a ciò che ho elencato, con la divisione posso calcolare la pressione cioè il rapporto di una forza in una determinata superficie. Oppure la potenza ovvero una quantità di lavoro svolta in un determinato tempo.
Come abbiamo detto il resto di una divisione è sempre inferiore al divisore. Se dovesse venire uguale al divisore significa che il divisore è contenuto una volta in più. Se invece dovesse venire maggiore allora, altre volte in più. Voglio proprio fare un esempio stupido: 88÷8=10 r8 Errato!! Il resto coincide con il divisore. Dobbiamo fare un altro gruppo con la stessa quantità di elementi. Correzione: 88÷8=11. Un altro esempio ancora più stupido sarebbe questo: 144÷5=10 r 94 Gravemente Errato!!! Il resto è alla lunga superiore al divisore. Sicuramente è il 5 è contenuto oltre le 10 volte nel 144, e allora posso fare molti altri gruppi con la stessa quantità di elementi. Proviamo a raddoppiare il risultato: 144÷5=20 r 44. È ancora un errore perché raddoppiando il risultato ho diminuito il resto, ma non è ancora inferiore al divisore. Allora aumento il risultato di 5 unità, quindi 144÷5=25 r 19. È ancora superiore al divisore allora piano piano aumento il risultato: 144÷5=26 r 14 144÷5=27 r 9 144÷5=28 r 4→corretto.
Io ho sempre messo uno 0 segna posto alle unità, quando dovevo calcolare le decine. Siccome in qualunque numero che sia intero o razionale le unità non mancano mai. Quindi è fondamentale segnare il posto vuoto con lo 0.
Voglio dare una precisazione: lo 0 non ha un reciproco. Tanti direbbero che il reciproco di 0 è ∞. Questo accade solo nello studio dei limiti. Lo 0 al denominatore è un numero talmente piccolo che tende a 0 senza assumerne tale valore. Può essere 0(-) da sinistra e 0(+) da destra. Invece 1 è reciproco di se stesso. Nella moltiplicazione non abbiamo menzionato l'elemento oppositore. Sarebbe -1, perché n×(-1)=-n. Lo 0 abbiamo detto che è l'elemento assorbente. Moltiplicare per 0 mi fa pensare a sommare quantità opposte. In effetti n×0=-n+n. Se lo 0 assorbe tutti i numeri vuoldire che gli altri numeri per lo 0 sono neutri.
A proposito di prestito posso dire che a seconda di quali cifre ci stanno al minuendo e al sottraendo i casi sono questi. Partiamo dagli estremi: 0 sempre in prestito ad eccezione di 0 anche al sottraendo. 9 mai perché per il sistema numerico a base 10 è la massima cifra permessa ovvero la periodicità. Adesso vediamo i casi indermedi: 1 sempre in prestito tranne con (0;1) al sottraendo. 8 in prestito solamente con 9 al sottraendo. 2 sempre in prestito tranne con (0;1;2) al sottraendo. 7 in prestito solamente con (8;9) al sottraendo. 3 sempre in prestito tranne con (0;1;2;3) al sottraendo. 6 in prestito solamente con (7;8;9) al sottraendo. 4 sempre in prestito tranne con (0;1;2;3;4) al sottraendo. 5 in prestito solamente con (6;7;8;9) al sottraendo.
