Хто там куди угарає, того я не знаю. Але ці теми більше половини випускників не знають. Так що діло таке. Кому потрібно, той дивиться, кому не треба проходить мимо.
Міцного здоров'я вам. Якщо побачити, що можна розділити рівняння так, що зліва і справа будуть функції взаємно обернені та зростаючі, то можна знайти корінь і за 1 хв.
Гарна ілюстрація важливості вимоги монотонного зростання взаємно обернених функцій для такого методу розв'язування. Цікаво, що, помноживши обидві частини рівняння на -1, ми отримали би рівносильне рівняння з монотонно зростаючими взаємно оберненими функціями, яке вже можна було би замінити рівнянням x^3=x.
Ви знаєте, пане Іване, шукала рівняння, де б були монотонно спадні функції зліва і справа і відповідали умові взаємно оберненою і і ніяк не могла підібрати. Ось лише така. Все це зробила, щоб показати можливу помилку при розв'язуванні такого типу рівнянь
@@HalynaKarpyshyn Ваш приклад якраз дуже гарний. Мені він сподобався. А можливість у ньому перейти до монотонно зростаючих функцій тільки підкреслює, як важливо попередньо подумати перед тим, як застосовувати механічно навіть хороші методи. Складніший приклад з функцією f(x) = a^x, 0 < a < 1/e^e я наводив у коментарі до попереднього відео. Але він потребує значно громіздкішого пояснення.
Поставте вподобайку, залишайте коментарі під цим відео, щоби його побачило більше глядачів! Обов'язково підпишіться на канал, тут знайдете багато цікавої математики 😎
ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-V8oSN85w43M.html покликання на відео, де є пояснення розв'язання першого рівняння, яке згадується в нинішньому відео😎
Гарний метод, але пропонована Вами заміна на простіше рівняння f(x) = x коректна (рівносильна) лише у разі монотонно зростаючих взаємно обернених функцій, з чим Ви мали справу у наведеному прикладі. Для спадних функцій, як Ви пробували проілюструвати на малюнку, рівняння f(x) = g(x) може мати й інші корені. Наприклад, для f(x) = 1/x їх взагалі безліч. А для f(x) = a^x, 0 < a < 1/(e^e) різних коренів буде 3, хоч перетин з y = x лише один.
Дякую за уточнення. Бо, справді, я не подумала, що зобразила спадні функції. Бо такий спосіб використовують саме для зростаючих функцій. Хотіла, щоб глядач зрозумів чому саме робимо таке спрощення. Слід буде наголосити на цьому обов'язково.
Не зрозуміло для якого рівня ця задача. А якщо поліном не вдається привести до красивого виду подібно цьому? Потрібно застосовувати графічний метод з залученням похідних для пошуку критичних точок, далі корені шукаємо методом ітерацій.
@@HalynaKarpyshyn який же відсоток подібних поліномів можна спростити? На першому місці завжди залишаються універсальні методи. Втім, якщо в умові задачі закладена можливість красивого розв'язку (як в цій), то я згоден, красу треба вміти розгледіти.
Дякую за цікаву інформацію про способи розв'язування рівнянь. Математика цікава, якщо знаєш що з тим усім робити) Спосіб використання властивості функцій добряче допомагає, іноді
Так, можна так, а можна ще помітити, що якщо сума усіх коефіцієнтів рівняння дорівнює 0, то x=1 - одне з розв'язань цього рівняння. Розділити ліву частину рівняння на (x-1) стовпчиком, згідно з теоремою Безу. А потім записати рівняння у вигляді добутку (x-1)(x^3-3*x^2-5*x-1)=0 Потім згадати, що якщо зведене рівняння має цілі корені, вони знаходяться серед дільників вільного елемента рівняння (в нас це -1). -1 поділяється на 1 і -1. Перевіпяємо. Розуміємо, що x=-1 - рішення нашого кубічного рівняння. Поділяємо стовпчиком кубічне рівняння на x-(-1), тобто (x+1). Отримаємо (x-1)(x+1)(x^2-4*x-1)=0 . Розв'язуємо квадратне рівняння - отримаємо ще 2 корені нашого рівняння. Задачу розв'язано
Дякую, я не знала такий спосіб. Було корисно. Не звертайте уваги на кількість переглядів і коментари в яких пишуть, що вже це знають або радять інший спосіб. Ваша робота важлива, бо хоч декілька але не знали, а тепер знатимуть ))) Ще раз дякую
А що поганого у тому, якщо пропонуються й інші способи розв'язування? Від цього цінність відео зменшується? Навпаки, у Вас появляється можливість дізнатися і про інші методи, про деякі з них Ви також, можливо почуєте вперше.
Гарні способи. Крім них, є й багато інших. Зокрема, ніхто у коментарях не згадав про метод невизначених коефіцієнтів для розкладу на два квадратичні множники. Він гарно працює, якщо коефіцієнти таких квадратичних множників є цілими числами. Хоч за наявності легко вгадуваних коренів тут у цьому й не було потреби.. Але хочу навести ще один далеко неочікуваний спосіб розв'язання. Покладаючи 1 = а, розглянемо це рівняння як квадратне відносно а: a^2 - 2(x^2 - 2x)a + x^4 - 4x^3 = 0. Отримаємо a = (x^2 - 2x) + 2x та a = (x^2 - 2x) - 2x, тобто x^2 = 1 та x^2 - 4x = 1. Можливо, такий спосіб також когось зацікавить. Також ліву частину рівняння можна подати як різницю двох квадратів і записати рівняння у вигляді: (x^2 - 2x - 1)^2 - (2x)^2 = 0.
Другий спосіб працює лише якщо є красиві корені. Було б круто показати ще один спосіб. Помітемо корені x=1 і x=-1 а потім ділемо весь поліном на x-1 а потім ще і на x+1, або відразу на (x^2-1)
Нещодавно бачив загальну формулу для знаходження всіх коренів поліному 4-ого ступеня. Я думаю якби ви винесли ту формулу на головний екран - переглядів було б більше.
сума коефіцієнтів рівняння дорівнює 0, тому Х=1 - корінь Сума коефіцієнтів при парних степенях Х дорівнює сумі коефіцієнтів при непарних степенях, тому Х = -1 - також корінь. Отже Х^2 - 1 можна винести за дужки. Залишається квадратне рівняння, яке розв'язується через дискримінант
Дякую вам. Приємно читати такі коментарі. На каналі є ще немало навчальних відео для учнів, а також і для вчителів, чи просто для тих, хто полюбляє математику
Гарний спосіб. Крім нього, виділенням повних кубів отримуємо суму (3 + sqrt(13))/2 + (3 - sqrt(13))/2 = 3. Як це знайти? Ділимо і множимо підкореневі вирази на 8. Записуємо (18 + 5*sqrt(13))*8 = (m + n*sqrt(13))^3 = m(m^2 + 39n^2) + n(3m^2 + 13n^2)*sqrt(13). Надіючись на натуральні значення коефіцієнтів m, n, шукаємо m як дільник числа 18*8, n - як дільник числа 5*8. З рівності n(3m^2 + 13n^2) = 5*8 очевидно, що n може бути лише 1 (більші значення завеликі). З неї ж знаходимо m=3 і переконуємося, що при цьому також m(m^2 + 39n^2) = 18*8. Так само поступаємо зі спряженим другим доданком, записуючи куб різниці. Множення і ділення на 8 було потрібне, щоб не мати справи з дробовими коефіцієнтами. Подібне множення та ділення на точний куб доцільно робити завжди, якщо m=1 чи n=1 виявляться завеликими. Думаю, що глядачам Вашого відео буде цікаво прочитати про такий спосіб виділення повних кубів. Аналогічно можна поступати й з іншими степенями.
Так уже было доказано, что левая часть максимальна при x=3 и равна 2, а правая представима в виде (x-3)^2+2, т.е. она минимальна при том же x=3. Больше ничего не надо.
Скоріше це підвищений рівень вивчення математики. Такі теми є у підручнику рівня стандарт, але якщо 1 год на тиждень, а у іншому семестрі 2 год, то вчитель мало встигає. Добре, щоб хоч згадати лише ці теми)
Набагато простіше подати x-3=y, тоді отримаємо √{1+у)+√(1-у)=у^2+2. ДослІдивши праву і ліву частину рівняння, приходимо до висновку, що ліва частина не може бути більшою 2, а права частина не може бути меншою 2. Тобто рівність досягається при у=0, або х=3.
Ліва частина є скалярним добутком векторів a(1;1), b(sqrt(x-2); sqrt(4-x)) і не перевищує добутку довжин цих векторів, тобто не перевищує 2. Рівність досягається за їх колінеарності, тобто за умови x-2 = 4-x. Відповідь: x=3.
Підкажіть, будь ласка, згідно з яким правилом ми можемо возводити функцію в квадрат, досліджувати її, а потім результати цього дослідження використовувати для початковою функції просто взявши корінь?
@@HalynaKarpyshyn цу я розумію. Ми досліджуємо функцію f(x) = √(x - 2) + √(4 - x). Для цього ми робимо f^2(x) = (√(x - 2) + √(4 - x))^2. І моє питання полягає в наступному: згідно з яким правилом функція f^2(x) буде мати ті ж властивості (інтервали зростання/спадання, екстремуми), що й f(x)?
@@Oleksandr_Kuzmychov Дякую за питання. Думаю що відповісти) В цьому розв'язанні не береться до уваги всі ці властивості функції, що ви назвали. Звичайно, такого правила я вам не скажу. Нам тут важливе саме числове значення, якого може набитати задана функція на ОДЗ рівняння і саме таким способом я це пояснила. А тут все ж використовуються властивості нерівностей, а не функції. Внизу є коментарі, у яких саме цей момент пояснюється через вектори, що також дуже цікаво, але незвично 🙂. А як би ви пояснили?
@@HalynaKarpyshyn На 6:28 ми відштохуємось від того, що графіком функції буде парабола напрямлена вітками вниз і це дозволяє нам знайти максимальне значення і таким чином визначити ОДЗ для f^2(x) яке ми потім застосовуєм для f(x). Але якщо б ми аналізували f(x), то там би не було б параболи і "можливо" властивості функції були б інші. Таким чином, якщо не виключити це "можливо" якимось правилом, все рішення стає некоректним, навіть якщо і дало правильний результат в конкретному випадку. Саме це мене і збентежило, і саме про правило, яке дозволяє виключити це "можливо" я питав. Але передевившись відео ще раз, я зрозумів, що насправді ми не робимо ніяких висновків що до властивостей функції f^2(x). Ми робимо їх виключно для h(x) щоб отримати числове значення для f^2(x), а з числовими значеннями питань нема. Дякую вам за відео і за відповіді!
Зазвичай щось схоже використовують щоб довести що рівняння немає дійсний коренів. Тут занадто штучна задача. Ну а спосіб було, імхо, легше б показувати на sqrt(1 - y) + sqrt(1 + y) = y^2 + 2 (те саме при y = x - 3)
Мала на увазі показати спосіб коли функція з лівої частини ≥ деякого числа, а з правої ≤ то розв'язання рівняння зводиться до розв'язування системи рівнянь. В вже якось не хотілось брати елементарне рівняння. А таке мені видалося вартим уваги 😊
Поставте вподобайку, залишайте коментарі під цим відео, щоби його побачило більше людей! Обов'язково підпишіться на канал, тут знайдете багато цікавої математики 😎
Ніколи би не додумалася до такого способу. Підносити до квадрату ліву частину рівняння, щоб оцінити значення якого може набувати вираз. А тоді ще питання, а навіщо це робити... Складне розв'язання, але я усе зрозуміла. Дякую вам)
Дуже цікаве ваше пояснення. Як правило, такі рівняння, перше, шо спадає на думку, хочеться розв'язувати піднесенням до квадрату, щоб позбутися коренів, а тут так неочікуване. Дякую за круті способи та пояснення
Можна і так 1, знайдемо обл визначення рівняння. 2, Переносимо все в ліву частину і створюємо рівняння А(х)=0. 3, беремо похідну від лівої частини і там просто показуємо , що вона більше нуля на всій обл визначення. Це досить нескладно буде 4, Таким самим перебором знаходимо 1 корінь.
