Posso risolverlo in un paio di passaggi e dimostrare in altrettanti passaggi che la derivata della primitiva è uguale alla funzione integranda. La soluzione è: 1/2《radice di i*arctg(x/radice di i)+radice di -i*arctg(radice di -i😮)) + C
Ok. Due cose, secondo me, vanno sottolineate alla fine di un approccio di questo genere. La prima alla fine del calcolo bisogna ritornare ad un'espressione reale visto che l'integrale di partenza è reale. La seconda bisogna giustificare cosa si intende di arctan di un numero complesso eventualmente introducendo il concetto di ramo principale ecc. (questo si fa molto bene in un corso di analisi complessa).
Consiglio in questo tipo di problemi di staccare il parametro dalla funzione più complessa e unirlo a quella semplice . In questo modo la discussione grafica è più semplice, come da te eseguito.
Cerco di rispondere in modo il più semplice possibile. Osserviamo che sia la derivata D[log(x)]=1/x ed anche la derivata di D[log(-x)]=1/x, sono uguali . Questo significa che la primitiva di 1/x è log(|x|). La primitiva è ben definita nell'intervallo (0,+oo) o (-oo,0). Quindi, se si prova a calcolare integrale definito da -1 a 1 con la formula data si commette un errore in quanto il risultato finale è log(|1|)-log(|-1|)=0, ma che in realtà questo non è zero in quanto non è definito. Questo è dovuto al fatto che nel contesto dei reali il logaritmo di un numero negativo non esiste, mentre esiste nel contesto dei numeri complessi. Quindi il mio consiglio è per il momento di mettere sempre il valore assoluto (tranne nei casi come quello in cui se ∆<0 con a>0 allora il polinomio di secondo grado è sempre positivo). Poi se si deve calcolare l'integrale definito bisogna ricordare dove sono le singolarità.
Immagina di adottare un ragionamento simile alla prima. In questo caso deve esiste un numero y (immagina ad esempio il numero 4 ) tale che tutti gli x sono tali che "x+y=0" ovvero "x+4=0". Questa è ovviamente vera solo per -4 (e non per tutti gli x).
come fare per riuscire ad avere gli stessi ragionamenti matematici che hai tu? cioè, io le soluzioni agli esercizi le ho trovate cambiando ogni volta n con un numero appartenente ai numeri reali, mentre tu colleghi parabole o altre proprietà delle disequazioni
Devo dire che ho avuto dei grandi maestri. Cmq uno inizia con le sostituzioni, poi pian pianino tra esercizi, dimostrazioni e corsi complementari affina i metodi dimostrativi e impara ad astrarre. I video che propongo qui, sono di difficoltà medio elevata proprio per aiutarvi in questo ragionamento.
Qui si è focalizzata la cosa sul sistema assiomatico dei reali, e quindi sono stati presentati gli assiomi via via che modellano i vari insiemi numerici fino ad arrivare ai reali. Il punto chiave è il seguente: Il sistema assiomatico non è unico; basti pensare al caso dei numeri reali all'assioma di Dedekind, ma ci sono altre formulazioni altrettanto valide e tutte equivalenti tra loro. In alcune sono degli assiomi, in altre sono dei teoremi da dimostrare con gli assiomi che si hanno a disposizione.
Personalmente, sconsiglio l’uso del metodo di Hermitte a meno che non sia esplicitamente richiesto in un esercizio. Come potrai notare nei miei video, tendo a preferire l’aggiunta, la sottrazione o la divisione per certe quantità al fine di arrivare alla scomposizione in fratti semplici dell'integrale. Ritengo che questo approccio riduca la probabilità di commettere errori (faccio meno calcoli). Tuttavia, potrei considerare l’uso del metodo di Hermitte solo nel caso di espressioni con radici multiple. Inoltre, ho pubblicato un nuovo video in cui risolvo questo integrale attraverso una sostituzione estremamente elegante, semplice e concisa!"
Sfocatissimo e audio pessimo: un vero peccato perché la spiegazione è interessante. Un microfono più che decente non costa molto: vale la pena investirci sopra.
Bisogna tenere distinti i due concetti di integrabilità e calcolo di primitiva tramite anti-derivata. La funzione è continua nei suoi sotto-intervalli e quindi è (Riemann)-integrabile ma non ammette formulazione analitica dell'integrale.
Nel secondo esempio di questo video, quello relativo alla regola di derivazione delle funzioni composte, c'è un errore di distrazione nella formula finale. C'è scritto integrale di f alla n-1(x)*f'(x)ecc.ecc. mentre deve essere integrale di f alla n(x) *f'x) ecc. ecc.
Grazie di questo commento perché mi permette di fare una precisazione. Come ho già detto in altri video, utilizzo sempre il termine log per indicare il logaritmo naturale, perché in tutti i linguaggi di calcolo simbolico e in tutte le librerie matematiche log è il logaritmo naturale. In pochi linguaggi esiste il ln per indicare il logaritmo naturale. Il log in base 10, in questi linguaggi, viene indicato con log10. Quindi cerco di essere fedele a questa idea anche perché ai fini numerici, mio background, si utilizza sempre il logaritmo naturale e non quello in base 10. E' notevole sottolineare, che il log come log in base 10 e ln come log naturale è utilizzato dalla calcolatrice di Google.
Buonasera. Ho una perplessità in merito all'appartenenza di 0 al dominio della funzione. Scrivendo la funzione come esponenziale troviamo un ln(0) che lo esclude dal dominio, ma se consideriamo la funzione nella forma in cui è stata data, ciò non si evince
Lo zero si ottiene per prolungamento per continuità da destra della funzione. Nel video teorico del dominio di funzione vado a spiegare questo caso in dettaglio.
Invece si evince, in una funzione del tipo f(x) elevato alla g(x) il dominio è del tipo {x appartenente a R tale che f(x)>0} intersecato al dominio di g(x)
la soluzione è molto semplice, devi sempre considerare la funzione che ti hanno dato da studiare all'inizio, quindi nel nostro caso la f(x)=sin(x)^cos(x), se mettiamo x=0 otteniamo f(0)=0^1=0, senza nessuna ambiguità si è calcolato il valore della funzione. fonte: la mia laurea in matematica
Ciao, ma nel 2 esempio non era preferibile utilizzare il teorema del confronto per lnx, e quindi lnx < radice di x? Fatto ciò trovavo l’equivalenza asintotica = 1 / x^alfa - 1/2 e da ciò ricavavo che quando alfa > 1 e quindi alfa > 3/2 essa converge, viceversa diverge.
Ottima osservazione. Purtroppo questo ragionamento non copre tutti i casi possibili. Da Int_originale <= Int_sosituito, se l'integrale "sostituito" diverge non si può concludere nulla sulla convergenza/divergenza dell'integrale originario. Questo ragionamento lo puoi applicare ad un problema in cui alpha > 3/2.
Nice videos bro, keep it up btw I can suggest you to create if it possible, some funny videos related to Math Also in English so you can reach more people
