Долго совет для автора дискриминант полного уравнени я третьей степени равен половина функции в квадрате плюс треть производной в кубе вычисленных в точке перегиба вывод формулы сами легко найдете
А применима ли формула для коэффициентов которые равны нулю? Пропустим a, Например в квадратном уравнении надо решать через вынесение x при b=0 т.к дискриминант будет неверным. И вот в кубическом могут попасться какие либо b и с нулевые и уже не так очевидно будет ли общая формула корректной особенно при вычислении комплексных корней
Помогите, пожалуйста, решить последнее уравнение (x^3 - 19x + 30 = 0). Работать с комплексными числами я умею, но не понимаю, как быть с иррациональностью в знаменателе дискриминанта. Коэффициент мнимой части комплексных чисел равен 28/3*sqrt(3).
Поскольку здесь решениями являются целые числа, у комплексных чисел, из которых извлекается кубический корень, будет рациональная действительная часть. В самом деле, из формулы Кардано следует, что x = cbrt(A + Bi) + cbrt(A - Bi) = M + Ni + M - Ni = 2M - целое Будем искать такие M и N, что (M + Ni)^3 = A + Bi. Из формулы для куба суммы имеем два уравнения: M^3 - 3MN^2 = A (1) 3M^2 * N - N^3 = B (2) Из (1) выразим N^2: N^2 = (M^3 - A) / (3M) (3) Теперь вынесем N из левой части (2) и возведём обе части в квадрат. Заметим, что теперь мы можем подставить (3) в (2) и после приведения подобных получим: (M^3 - A) * (8M^3 + A)^2 / (27M^3) = B^2 Делаем замену M^3 = t и раскрываем скобки: 64t^3 - 48At^2 - 15A^2 * t - A^3 = 27B^2 * t Выделим куб суммы с первыми двумя слагаемыми. Заметим, что -A^3 теперь пропадёт: (4t - A)^3 = 27(A^2 + B^2)t Теперь заметим, что в случае трёх корней B = sqrt(-D), поэтому A^2 + B^2 = (q/2)^2 - D = (-p/3)^3. Значит, ((4t - A)/(-p))^3 = t (4) В нашем случае A = -q/2 = - 15, p = -19, поэтому уравнение (4) перезапишется в виде ((4t + 15)/19)^3 = t, у которого есть очевидное решение t = 1. Далее с помощью линейной замены и схемы Горнера находим два других корня: t = 27/8 и t = -125/8. Тогда M = cbrt(t) = 1, 3/2 или -5/2, откуда x = 2M, то есть x = 2, 3 или -5. Нетрудно проверить, что для каждого найденного M будет существовать единственный N, удовлетворяющий условиям (1) и (2), что как раз даст все три кубических корня комплексного числа A + Bi Отмечу, что поскольку мы заранее знали о рациональных корнях, по большому счету мы получили извлечение кубического корня из комплексных чисел, имея представления об исходных корнях уравнения. Но если мы знаем, что рациональных решений нет, то нам придётся иметь дело с комплексными корнями в формуле Кардано. Если применить формулу Эйлера (e^ix = cosx + i sin x), можно показать, что три действительных корня выражаются с помощью косинусов от арккосинусов, но это уже другая история)
Объяснить, почему уравнение третьей степени имеет хотя бы 1 действительный корень, можно с помощью графика: он не ограничен сверху и снизу, поэтому всегда пересекает ось абсцисс
@@NXN-QUXT вы в этом прям на 100% уверены? Просто в интернете тоже так написано, но иногда ощущение, что математики в речи, называя вещественные, подразумевают еще и комплексные
@@resurgence1991 Нет, вещественные и действительные это два названия одной вещи. В математике часто такое бывает, т.к. она располагалается во всём мире, поэтому и неоднозначно всё
Комплексные числа это числа вида a+bi, а и b это действительные/вещественные числа, т.е. а это просто действительное/вещественное число, а b это "множитель" для мнимой единицы
Меня зовут Кира Йошикаге. Мне 33 года. Мой дом находится в северо-восточной части Морио, где расположены все виллы. Я не женат. Я работаю в универмаге Kame Yu и прихожу домой не позднее 8 вечера. Я не курю, но иногда выпиваю. Я ложусь спать в 11 вечера, и убеждаюсь, что я получаю ровно восемь часов сна, несмотря ни на что. Выпив стакан теплого молока и потянувшись минут двадцать перед сном, я обычно без проблем сплю до утра. Словно ребёнок я просыпаюсь утром без всякой усталости и стресса. На моём последнем осмотре мне сказали, что у меня нет никаких проблем со здоровьем. Я пытаюсь донести, что я обычный человек, который хочет жить спокойной жизнью. Я забочусь о том, чтобы не утруждать себя какими-либо врагами - победами и поражениями, которые могли бы потревожить мой сон. Вот как я отношусь к обществу, и я знаю, что это приносит мне счастье. Хотя, если бы мне пришлось сражаться, я бы никому не проиграл. Пошлый.
не, кардано получил решение частного случая от тарталья, но потом смог вывести общий, но тоже не до конца. в итоге с чистой совестью решил, что может обнародовать результат.
Очень познавательная и полезная лекция. Хотелось бы услышать продолжение данной тематики! Большое спасибо преподавателю и организаторам дистанционного обучения!
