Wenn bei der Berechnung der Eigenvektoren ein für die Matrix unvollständiges System entsteht, muss per Gram und Schmidt das System zu einer Orthogonalbasis des aufzuspannenden Raumes bestimmt werden. Dazu braucht man i. d. R. einen weiteren Vektor, welcher nicht linear abhängig vom System sein darf. D.h., er muss außerhalb dessen linearen Hülle liegen. Was ist ein effizientes Verfahren, um auf einen solchen unabhängigen Vektor zu kommen? Ein Ansatz wäre, das System in eine transponierte Matrix zu überführen und eine Basis für ihren Kern zu bestimmen (da ker A^T ⊥ im A). Dann kann man sich aus dieser Basis einen linear unabhängigen Vektor konstruieren. Gibt es einen effizienteren Weg?
Spontan fällt mir gerade nichts besseres ein. Ich würde nur das Bestimmen einer Basis weglassen und direkt einen Vektor aus dem Kern bestimmen (also das System A^T = 0 lösen). Orthogonal ist er auf jeden Fall und mit Gram Schmidt bekommt er dann noch die richtige Länge.
Hallo BrainPi, die Beispielkarte ist eigentlich mit 5 Farben gefärbt, da das Außengebiet (hier weiß) mitzählt. Links rot mit grün tauschen und die Außenfläche grün färben, dann stimmt ´s. Und dann kommt die Sache mit dem Beweis. Der Vierfarbensatz wurde 1976 von den Mathematiker Appel und Haken per Computer bewiesen, aber der Beweis ist so irrsinnig lang (trotz späterer Reduktionen) dass er nur von einem Computer verifiziert werden kann. Deswegen ist er kein klassischer Beweis und immer noch umstritten. Gesucht wird nach wie vor ein eleganter Beweis, der möglichst auf eine Seite passt. Mfg.
Ist z.B. -L^3+12L^2+5L das gleiche Charakteristische Polynom wie L^3-12L^2-5L? Wenn man eines der beiden =0 setzt und es dann auf die andere Seite Zieht geht das. Aber darf man das? Ich bekomm für eine Matrix nämlich immer das erste Polynom raus, während der Rechner das Zweite rausbekommt. lG
Nein, dabei handelt es sich um ein anderes charakteristisches Polynom. Es ist aber durchaus legitim das andere Polynom zu verwenden um die Eigenwerte einer Matrix zu berechnen. Beide Polynome besitzen ja die gleichen Nullstellen. Dieser Unterschied kommt wahrscheinlich zustande, da der Rechner andere Lösungsverfahren zur Bestimmung der Koeffizienten verwendet, als wir das per Hand tun. Sowas wie der Entwicklungssatz von Laplace ist aus numerischer Sicht ziemlich schlecht und wird daher vermieden. So zumindest meine Vermutung. Um mal genauer schauen zu können, müsste ich aber wissen wie genau du was womit löst. Das Polynom ist also nicht das selbe, kann aber anstelle des charakteristischen Polynoms verwendet werden, weil es genau die gleichen Eigenschaften besitzt.
@@brainpi Danke! Ich habe das erste mit Sarrus berrechnet und das zweite mit zwei verschiedenen Online Rechnern raus bekommen. Geg. war eine 3x3 mit 5 -6 -1 1 -2 -1 7 -7 -3 Ist aber auf jeden Fall gut zu wissen, dass es nicht das gleich ist, man es aber trotzdem verwenden kann :)
Kann man den Kern auch so ablesen, wenn man z.B. eine 3x4 Matrix hat? Dort hätte man dann ja min 2 Spalten bei denen eine 0 drin ist. Für mindestens 1 liegt die 0 dann ja nicht auf der hauptdiagonalen. Bzw wie bestimmt man den Kern dann?
Wenn du weniger Zeilen als Spalten hast, dann kannst du einfach gleich zu Beginn (oder am Ende vor dem Ablesen der Lösungsmenge) entsprechend viele Nullzeilen hinzufügen (so viele, dass die Matrix dann wieder quadratisch ist). Danach kannst du das genau so mit Gauß machen. In dem Fall einer 3x4 Matrix also einfach eine Nullzeile anhängen, sodass es eine 4x4 Matrix wird und diese dann während des Gaus Algorithmus an die richtige Stelle sortieren, sodass die restlichen nicht-null Zahlen trotzdem die Dreiecksgestalt bilden
Ja, mich gibt es noch! :-) Auch wenn meine letzten Videos schon ganz schön alt sind, soll es jetzt wieder regelmäßiger Neues aus der Mathematik geben. Wie immer freue ich mich natürlich über eure Themenvorschläge und was euch gerade so in der Mathematik beschäftigt. Lasst es mich in den Kommentaren wissen! ▼▼▼
Hey, ich nutze beim Ablesen immer einen kleinen Trick mit dem das relativ unkompliziert funktioniert. Wie der funktioniert hab ich hier erklärt: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-bowJtP2Ra-I.html
Super! Hab übrigens ein Videovorschlag: Darstellungsmatrizen. Wir haben in den Übungsklausuren viele Aufgaben bei denen z.B. eine Basis B, eine Matrix und eine Abbildungsmatrix einer Funktion bezüglich der Basen B und C gegeben ist. In diesem Fall würde man Basis C bestimmen müssen. Es variiert immer stark, was gegeben und was zu bestimmen ist. Die Rechnungen die wir da machen versteh ich schon, aber ich finde es sehr schwer einen Überblick zu bekommen, was sich woraus wie errechnen lässt. Kann man dir irgendwie aufgaben zukommen lassen? Ist vllt einfacher als das zu beschreiben. @@brainpi
@user-xk8uu4gk9l ich bin immer gerne unter jannis@brainpi.de erreichbar. Die Liste mit Videoideen die ich vorher noch umsetzen soll/will ist schon so immens lang, da möchte ich dir keine Hoffnung machen, dass das in nächster Zeit fertig wird. 😅
@@brainpi ja ich meine wenn ihch eine frage hätte, ich ziehe um nach andrer Stadt aber wenn es möglich ist im Kontakt zu bleiben. Also nur Email von TUBS kann man nicht immer benutzen
Meinst du die 2 über der -3? Die müsste man theoretisch gar nicht auf 0 kriegen, zumindest nicht während des Gauß Algorithmus. Allerdings musst du irgendwie ja die Lösungsmenge des Systems ablesen und wenn du die Einträge über den Diagonalelementen nicht eliminieren würdest, müsstest du beim Ablesen der Lösungsmenge erst noch Rückwärtssubstituieren. (Im Grunde mach ich hier nichts anderes, ich schreibe die Rückwärtssubstitution nur wie den Gauß Algorithmus selber noch auf)
naja die Probe machen ist so eine Sache, selbst wenn man dann durch die Probe merkt, das Ergebnis ist falsch, lässt man es einfach so und nimmt die Teilpunkte für die Folgefehler mit, denn die Zeit um das alles nochmal durchzurechnen hat man in der Regel nicht und man würde viel mehr Punkte verlieren, wenn man dann die ganzen weiteren Aufgaben nicht mehr schafft.
Eine Frage habe ich denoch: Betrachten wir T*_Hilbert = I_x^-1 * T*_Banach * I_y (Min 35:56), wobei T*_Banach auf X* abbildet. Hierbei ist X* der Dualraum eines Banachraumes, der jedoch nicht notwendigerweise der Dualraum eines Hilbertraumes sein muss. In diesem Fall könnte ich den Operator I_x^-1 nicht auf ein Element des Dualraums eines Banachraumes anwenden, da der Isomorphismus ausschließlich zwischen Hilberträumen besteht. Oder etwa doch, dann bräuchte ich eine extra Begrüdnung, weil zum Beispiel T*_Banach "strukturerhaltend" ist oder so.
Ich muss zugeben, dass ich da etwas unsauber im Video formuliert habe was ich gemacht habe. Ich arbeite hier nur mit Hilberträumen. Als Ziel war gedacht einfach einmal die Abbildung für Banachräume in den Hilberträumen zu verordnen. Da jeder Hilbertraum ein Banachraum ist, muss die Abbildung für Banachräume ja trotzdem noch irgendwo im Hilbertraum existieren. Also wie gesagt, alles Hilberträume, womit X* auf den T*_Banach abbildet, auch ein Hilbertraum ist. Ansonsten hättest du aber natürlich recht. An genau der Stelle würde ich Probleme bekommen und könnte das nicht so machen, da der Isomorphismus I_x^-1 ohne weiteres gar nicht existieren müsste.
Heute nochmal nachgeschaut, [Werner, 8te Auflage, S. 258], er hat die Existenz von I_x^-1 als Voraussetzung für den adjungierten Operator (im Hilbertraumsinn) gemacht... ok so geht das natürlich auch @@brainpi
Mega Video! Sehr detailliert und verständlich erklärt! Ich suche schon seit Tagen nach einem Video, welches mir die Singulärwertzerlegung erklärt, leider bin ich auf dein Video erst sehr spät gestoßen, was mir bis dahin Kopfzerbrechende Stunden gegeben hat 🤯.
Hi, ja das ist tatsächlich immer so. Es handelt sich ja um die Eigenvektoren der Matrix A^TA. Diese Matrix ist symmetrisch und Eigenvektoren (zu unterschiedlichen Eigenwerten) von symmetrische Matrizen stehen immer orthogonal aufeinander. Formal sauber aufgeschrieben und begründet ist das zum Beispiel hier: resources.mpi-inf.mpg.de/departments/d1/teaching/ss10/MFI2/kap46.pdf
Danke für das Video - sehr einfach und kompetent erklärt! Insbesondere auch die Einbindung von Python finde ich wertvoll. Da Du fragst, zu welchem Thema Du ein Video machen könntest - vielleicht zeigst Du mal konkret die Anwendung auf Ausgleichsprobleme. Darauf weist Du ja am Anfang des Videos hin. Auch der Zusammenhang zur Hauptkomponentenanalyse in der Statistik würde sich anbieten(?) Vielleicht gäbe es sogar Abkürzungen direkt zur Faktoranalyse, wiederum in der Statistik, v.a. auch mit der Frage im Hintergrund, wann eine Faktoranalyse für einen gegebenen Datensatz überhaupt sinnvoll ist. Das wären sehr interessante Themen - finde ich zumindest ;-)
Ist natürlich unglaublich hilfreich, wenn jemand - der keine Ahnung von der Materie hat - sich plötzlich eine Python Anwendung anschauen soll, anstatt einfach ein Beispiel zu nehmen, mit einer kleine Matrix und das per Hand zu machen. Was ein useless Video.
Hi, schade dass dir das Python-Beispiel nicht gefällt. Dabei sollte es doch eigentlich nur zeigen dass das ganze Zeug tatsächlich nützliche Anwendung hat. 😢 Wenn du aber auf der Suche nach einem Beispiel per Hand mit kleinen Matrizen bist, hab ich gute Nachrichten: Überspringe doch einfach den Programmierteil mit der Zeitleiste oder den Kapitelmarken. Im letzten Teil des Videos rechne ich genau das vor, was du dir wünschst 😉
Wie gut bist du in etwas komplexeren Aufgaben mit Wahrscheinlichkeitsrechnungen und Faktoren deren charakteristische Eigenschaften reichen müssen um die Wahrscheinlichkeitsrechnung weiter zu führen.
Ich habe mir original diese Frage gestellt als es in der Schule erstmals um Logatithmen ging, wie kriegt das dee Taschenrechner hin? Es stört mich, dass in der Schule einfach gesagt wird tippe das und das ein ohne jegliche Erläuterung. Klar, in der 10 Klasse sind solche Themen zu komplex aber drauf eingehen könnte man trotzdem mal. Ich weiß noch, wie ich am Abend sann auf Wikipedia nach Amtworten gesucht habe, Grenzwerte nach Huwertz und Potenzreihenzerlegung war mir dann aber doch zu komplex als das ich sie Mitivation gehabt hätte es mir selbst beizubringen😅
In min 6:50 sagst du, dass alle drei Relationen (2,3,4) transitiv sind. Wieso ist das so? Ich dachte für Transitivität muss gelten (a,b) aus R & (b,c) aus R & (a,c) aus R.
Fast, für Transitivität muss gelten dass aus (a,b) in R und (b,c) in R folgt dass (a,c) in R. Mit anderen Worten heißt dass das (a,c) in R sein muss, falls auch (a,b) in R und (b,c) in R. Dies bedeutet dann natürlich auch: Wenn (a,b) nicht in R ist oder (b,c) nicht in R ist, dann muss (a,c) auch nicht drin sein
Hast du ein Lehrbuch, welches ich als Quelle für den Beweis zur Konvexität von Kugeln angeben kann? Und danke für das tolle Video! War super hilfreich.
Mein Standardwerk aus dem ich in dem Gebiet immer zitiere ist das Buch "Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces" von Bauschke und Combettes, 2017. In dem Buch ist das Example 3.2. Das ist aber auf Englisch. Ein deutsches Buch in dem das allgemein für beliebige Kugeln drin steht finde ich spontan gerade nicht.
