¿Cómo Resolver Esta ECUACIÓN? 

Y los imginrios😢?

Bueno, te estás descartando de todas las posibles soluciones en las que x puede ser negativo

si, yo también pensé inmediatamente en el logaritmo y así sale rápido.

@@alvis7132 No, porque en el video pretenden resolver la ecuación en (0,+∞), así que mi punto es: bajo esas condiciones, la solución es más directa.

​@@alvis7132 para nada, él no está asumiendo que x sea mayor que 0, x tiene que ser mayor que 0 por el dominio de la función logaritmo el cual siempre es positivo

Si, es valido, pero el video más fue scerca de saber si x=1 era solución única para x^x=1

Zi X^x=x^0=1

Aquí cero no puede ser solución porque si aplicas logaritmos te quedaría logaritmo de cero, que no está definido

​@@joseluisgarciapallero5133Le pasa igual que al factorial de cero, que hay sus más y sus menos, pero el consenso es que 0! y 0⁰ son ambos 1.

No. 0⁰ no está definido. Que el límite de x tendiendo a cero por la derecha de x^x sea 1 no quiere decir que 0⁰ sea igual a 1. Siguiendo tu lógica, también debería tender a 1 si haces el límite por la izquierda pero no está en el dominio.

@@Novac3888 no existe ningún consenso fuera de la combinatoria y otras areas de la matemática discreta sobre 0^0 que no sea indeterminación. 0^0=1, 0^(1-1)=1, 0/0=1 La división por 0 no está definida, y esa es exactamente la razón por la que tampoco 0^0. Por otra parte es fácil e intuitivo demostrar que x^x no está definida en 0. Dada una función f(x), esta es continua en un punto "a" si y solo si existe lim(x->a)f(x) y este es igual a f(a). Para que el limite exista, debe existir y ser idéntico por derecha e izquierda. Por derecha da 1, y por izquierda no existe. Por lo tanto x^x no está definida para 0.

Tampoco entendí eso

Lo hizo porque sí jaja Pero si tomas los reales negativos como parte del dominio entonces el valor que satisface la ecuación es el mismo x=1

Supongo sucede porque le dá tratamiento de función, entonces no se puede decir que es continua en punto aislado debido a que no tiene limites laterales. La manera correcta podría ser usando función por tramos. Y respecto a porque no se puede resolver en los reales negativos la operación x^x es debido a que para valores no enteros pueden existir raices pares de números negativos que son solo resolubles en el plano complejo.

@@danielaromero8474 las funciones con puntos aislados también son continuas ya que satisfacen la definición de continuidad así que se puede extender perfectamente

(-1)^(-1)= -1

Es una buena pregunta. En este caso sin embargo aunque consideremos números enteros negativos sueltos (o racionales donde tiene sentido), ninguno sería solución de esta ecuación (se comprueba fácilmente). Quería evitar esa cuestión técnica en el vídeo para hacerlo más accesible. Saludos

Si, se puede extender a las soluciones complejas sabiendo que el valor 1 con parte real es equivalente en el plano complejo a 1 + 0i = e^(2π*k*i) con k natural Entonces x^x = 1 x^x = e^(2π*k*i) ln(x^x) = ln(e^(2π*k*i)) x*ln(x) = 2π*k*i Aplico x = e^ln(x) (e^ln(x))*ln(x) = 2π*k*i Aplico W de Lambert W(x*e^x) = x W((e^ln(x))*ln(x)) = W(2π*k*i) ln(x) = W(2π*k*i) x = e^(W(2π*k*i)) En dicha solución general podemos remplazar el valor de k=1, 2, 3, ... n y asi obtener algunas de las infinitas vueltas o soluciones complejas Se suele dejar expresado en función de W de Lambert para más exactitud

Si x fuera negativo, lo números darían siempre un número negativo, nunca darán 1

Lo acabo de mirar. Usando que x^x=e^(xlnx) vemos que lnx no está definida para x menor o igual que 0. Por eso el dominio tiene que ser mayor que 0

El limite si existe para x^x tendiendo a cero, por lo tanto deberia ser continua obviando la restricción del logaritmo y además por convención de conjuntos 0^0=1 El problema es que se define la función exponecial como inversa del logaritmo por lo tanto limitan el dominio para que sea inyectiva

@@clementecruza6448 si descarto que el exponencial es la inversa de logaritmo podria abusar y pasarme por alto de la definición de función para proponer un contraejemplo f(x) = x^x f(-1) = (-1)^(-1) = 1/((-1)^1) = -1 f(-1/2) = (-1/2)^(-1/2) = 1/√(-1/2) No tiene solución real Es decir sí funciona para x entero negativo, pero no para x irracional y/o fraccionario donde pueda darse una raiz par de un número negativo, la cual tendría solución compleja Al final el dilema es la definicón de función y no su arimética

Hay ciertas restricciones pero si se puede extender el dominio a los complejos e incluso a reales negativos discretos

Pero por otro lado 0 elevado a cualquier número es 0. Entonces cuánto es 0^0?

Me respondo a mí mismo. Ya lo sé basándome en que x^x=e^(xlnx) y que el ln x tiene que ser mayor que 0

Tendrías que haber ido por el camino de los logaritmos, donde se ve mejor que cero no puede ser solución

Porque -1 elevado a -1 sería 1/-1=-1.

1^1 = 1

A priori esa ecuación no puede ser resuelta con todas sus soluciones reales utilizando manipulación algebráica o incluso con W de Lambert, por lo que una via rápida sería realizar un tratamiento de función y analizar su comportamiento para luego aplicar algún método numérico, aunque también podemos hallar una de las soluciones haciendo un despeje algebráico y por mera observación y comprobación x^x - x = x x^x = x + x x^x = 2x Llegado a este punto podriamos plantearnos la pregunta ¿Que número elevado a si mismo es igual a su doble? La respuesta es 2 Porque 2^2 = 2*2 Por lo tanto una de las soluciones será x=2 Siguiente a eso podriamos verificar la existencia de otras soluciones y tratar de hallar su valor aproximado Analizamos ambas funciones de la ecuación x^x - x = x y = x^x - x y = x Si analizamos la función y=x^x - x tiene dominio en los reales mayores a cero (inclusive si tomamos el cero podriamos verificar que x=0 no es solución, aun siendo que algebráicamente 0^0=1 y por lo tanto x^x deja de estar indeterminado en x=0, además con limite podemos comprobarlo) si derivamos y=x^x - x Nos queda y'=(x^x)(ln(x)+1) - 1 Para hallar máximos o mínimos en el dominio de la función original igualamos a cero la derivada (x^x)(ln(x)+1) - 1 = 0 (x^x)(ln(x)+1) = 1 La única manera de que se cumpla es que ambos factores sean igual a 1 o que ambos factores sean inversos, situación que no sucede para ningún valor de x porque y' es inyectiva (derivada segúnda sin raices) Entonces igualamos los factores a 1 x^x = 1 ∧ ln(x)+1 = 1 La intersección nos resulta que en x=1 hay un punto crítico, si verificamos la concavidad con valores por izquierda y derecha podemos determinar que es un mínimo. Es decir la función x^x - x es decreciente en el intervalo (0,1) y creciente en el intervalo (1,∞) Además su punto crítico en x=1 tiene imagen y=0 Esto es importante para saber si habrá otros puntos de solución en la ecuación original Ahora la siguiente función de la ecuación original es y=x Sabemos que es una función simétrica con dominio en todos los reales Por lo tanto si analizamos que sucede en los intervalos de crecimiento de la función y=x^x - x Podemos ver que deberá tener dos intersecciones porque para y=x^x - x de 00 Y en el intervalo x>1 la imagen es y>1 una de las soluciones es x=2 que hallamos por observación y comprobación (tanteo) y que se encuentra en el intervalo (1,∞) Ahora la otra solución que se encuenta en el intervalo (0,1) podemos hallár mediante algún método numérico, uno de los más comunes es Newton-Raphson (converge rápido pero tiene la desventaja de que si nuestras raices son muy proximas puede diverger) Método numérico iteratívo de Newton-Raphson para funciones f(x) = 0 Expresión del método Xₙ₊₁ = Xₙ - (f(Xₙ)/f '(Xₙ)) Xₙ₊₁ Raiz aproximada Xₙ Aproximación inicial f(Xₙ) Función evaluada en Xₙ f '(Xₙ) Derivada evaluada en Xₙ La función igualada a cero es nuestra ecuación originál despejada f(x) = 0 x^x - x - x = 0 x^x - 2x =0 La derivada f '(x) = (x^x)(ln(x)+1) -2 Para la aproximación inicial Xₙ deberemos hacer tanteo Para la ecuación x^x - x = x Compruebo valores en el intervalo (0,1) Pruebo x=0,5 (0,5)^(0,5) - 0,5 =?= 0,5 0,207... ≠ 0,5 x=0,5 se aleja mucho de la igualdad Como sabemos que es decreciente en (0,1) entonces probamos valores anteriores a x=0,5 para tratar que se aproxime más la igualdad Pruebo x=0,4 (0,4)^(0,4) - 0,4 =?= 0,4 0,293... ≠ 0,4 x=0,4 se aleja mucho de la igualdad Pruebo x=0,3 (0,3)^(0,3) - 0,3 =?= 0,3 0,396... ≠ 0,3 x=0,3 se aleja mucho de la igualdad Pruebo x=0,35 (0,35)^(0,35) - 0,35 =?= 0,35 0,342... ≈ 0,35 x=0,35 podría servir como valor inicial Xₙ Xₙ = 0,35 La expresión completa del método sería Xₙ₊₁ = Xₙ - (((Xₙ)^(Xₙ)-2Xₙ)/((Xₙ^Xₙ)(ln(Xₙ)+1) -2))) Xₙ = 0,35 Xₙ₊₁ = 0,35 - (((0,35)^(0,35)-2(0,35)/((0,35^0,35)(ln(0,35)+1) -2))) Xₙ₊₁ = 0.346316... Ahora si comparamos Xₙ₊₁=0.346316 con el valor de solución aproximada hallada por computadora que es x=0,346323... El error aparece a partir de la cuarta cifra decimal, por lo tanto si queremos mejores aproximaciones deberemos iterar el metodo utilizando el valor obtenido Xₙ₊₁ como valor inicial Xₙ en la siguiente iteración del método de Newton-Raphson Por lo tanto los valores de x que son solución a nuestra ecuación x^x - x = x Serán x≈0,3463... ∧ x=2 (Si ven errores corrijanme, y si tienen aclaraciones u otro método dejen su comentario también)

Es un buen razonamiento, aunque dudo un poco de la solución x=0, ya que se supone que 0 elevado a 0 es una indeterminación, ¿no?

@@mbravopiano Según entiendo en álgebra y teoría de conjunto por convención 0^0 = 1 pero en cálculo 0^0 es indeterminado debido al tratamiento de las funciones y el límite indeterminado por lo que depende de si tratamos a x^x = 1 como intersección de funciones o si la tratamos algebráicamente como ecuación en los reales

@@danielaromero8474 entiendo

Cero no puede ser solución porque ln(0) no existe

​ @joseluisgarciapallero5133 estrictamente tienes razón sobre la convención de indeterminación de 0^0, pero como la aplicación del logaritmo consecuentemente anula dicha raiz puedo solventarme en el limite de x^x tendiendo a cero para afirmar que hay continuidad en 0, y además se podría abusar de la convención de conjuntos de 0^0=1

0^0 es indeterminado. Cero elevado a cero no es 1, por lo que no es una solución del problema

@@juanizamora2125 decir que 0^0 es "indeterminado" es un disparate de grandes proporciones que siguen repitiendo una y otra vez. Regularmente viene de quienes no han hecho una simple serie de Taylor de e^x alrededor de x=0. ...o una simple expansión. binomial.

@@MrBeen992 Me atrevería a decir que si aproximas por series de Taylor la función e^x y tiene resultado para x=0 es simplemente por que la base no es 0, estás representando mediante polinomios una función de tipo k^x donde k no puede ser 0… lo de la expansión binomial sinceramente no lo he entendido, no encuentro una respuesta al ejercicio planteado mediante ese teorema. Podrías plantearla?

@@DiegoCenalGracia el primer termino de la serie de Taylor de muchas funciones, no solo e^x, alrededor de 0 (serie de MacLaurin) envuelve evaluar el polinomio x^n dónde x=0 y n=0, o sea 0^0. No hay otra forma de definir 0^0 que no sea 1. Con respecto al teorema binomial 0° puede salir al definir los coeficientes. Por ejemplo, haz la expansión binomial de (x + y)^n con n = 1 y luego evalúa con y= 0. Vas a ver qué sale 0° y la única forma de definirlo es como 1.