l’ensemble des solutions est tout simplement l’ensemble des entiers impairs car 5 est premier avec 2 donc 5 / (1+(-1)^x) alors x doit être forcément impairs
Mais que c'est laborieux ! Voilà comment on détruit cette pauvre petite chose : On est dans Z/5Z donc notre équation peut être réécrite comme ceci : 2^x+(-2)^x=0. (car 3=5-2) Ou encore : 2^x.(1+(-1)^x)=0 Comme 2 et 5 sont premiers entre eux, cela implique qu'aucune des puissances de 2 n'est divisible par 5 et donc que, dans Z/5Z, 2^x n'est jamais nul. On se retrouve donc avec 1+(-1)^x=0 Mais (-1)^x=1 si x est pair et (-1)^x=-1 si x est impair. On en déduit donc que l'équation est vraie pour tout x impair. Solution alternative pour ceux qui ne connaissent pas les anneaux quotients mais avec la même idée : 3^x=(5-2)^x Or (a+b)^x=somme(k=0,x,C(x,k).a^k.b^(x-k)) avec ici a=5 et b=-2. Les termes de la somme sont donc de la forme : C(x,k).5^k.(-2)^(x-k). On remarque que si k est non nul, alors 5 divise 5^k donc 5 divise notre terme. Donc (5-2)^x est congru à (-2)^x modulo 5 puisque c'est le seul terme de la somme qui ne soit pas divisible par 5. On se retrouve donc ramenés à : 2^x+(-2)^x congru à 0 [5] (en d'autres termes 5 divise ce nombre). Comme dans la première démonstration on met 2^x en facteur et on remarque que les puissances de 2 ne sont jamais divisibles par 5 (tout simplement parce qu'il n'y a que 2 comme facteur premier). Donc si 5 divise 2^x+(-2)^x, ça veut dire que 5 divise 1+(-1)^x. Et on conclut comme précédemment en discutant de la parité de x.
