А.7.10 Смешанное произведение векторов 

30:00 Т.е. смешанное произведение это векторное произведение, но только в 4x-мерном пространстве?

Здравствуйте, помогите, пожалуйста, разобраться. Если один из векторов принадлежит линейной оболочке других векторов, тогда смешанное произведение равно нулю. Как это работает с двумя векторами и третьим лежащим в их линейной оболочке понятно, а вот в пространстве большей размеренности сложно представить. Допустим ми имели пять линейно независимых векторов, но после преобразования получили три. Т. е. ранг равен трем, имеем трехмерное выходное пространство. Но если каждый из этих трех векторов задает новое направление (компоненту), тогда два базисных вектора задают площадь основания, а третий высоту, почему тогда объем равен нулю?

25:35 верно ли я понимаю,что когда мы делаем векторное произведение в 3 измерении,то когда мы переносим проекцию на к примеру ось yz, то эти спроецированные вектора будут находиться на осях y и z(вроде как это называется коллинеарные),и они не будут находиться на описываемой этими осями плоскости,а только строго на осях. Ведь наши 3 мерные вектора описываются суммой векторов вдоль осей(правило параллелограмма и треугольника) ?

Можете подсказать, пожалуйста, мы на 22:19 расписываем наш "определитель", то там by, bz и cy, cz записываются построчно. Но в прошлом видео на 32:10 мы записывали xb, yb и xa, ya построчно. Это разные вещи, или нет разницы как записывать: по строкам или по колонкам? Буду очень благодарен за ответ) спасибо большое за уроки!

2:14 не обязательно будет длиннее, если перемножаем единичные вектора, то точно не длиннее

Если смешанное произведение - это Матрица, то векторное произведение это тензор?

6:30 но объем может быть иногда отрицательным 🙊

Добрый день, помогите, пожалуйста, разобраться почему так получается. На 27:24 Вы говорите что взять N - мерные вектора и взять из N-1 штуку и посчитать векторное произведение, то найдем N-ый вектор перпендикулярный к остальным N-1 вектору. Или если посчитать векторное произведение для N-мерных векторов и взять их N штук, то получим последнюю компоненту вектора размерности N+1, а остальные компоненты равные 0. det( 1 0 0 1) = 1 то есть эти вектора были на самом деле {1. 0, 0 }. {0, 1, 0} и получили вектор, перпендикулярный к ним {0, 0, 1} или Вы показываете можем посчитать это иначе: det( i j k 1 0 0 0 1 0) = 0 * i - 0 * j + 1*k то есть тоже все получается, получаем вектор {0, 0, 1} для трехмерных векторов {1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 1, 0} получаем 4-х мерный вектор {0, 0, 0, 1} обоими способами. Но если мы берем одномерный вектор {1}, то det(1) = 1, то есть по факту имели двухмерный вектор {1, 0} и получили перпендикулярный к нему {0, 1}, направленный вверх, то есть по правилу Буравчика(против часовой стрелки) , а если посчитаем иначе det( i j 1 0) = 0*i - 1*j то получаем вектор {0, -1}, то есть направленный вниз, это тоже перпендикулярный к первому, но почему он получается повернутый против правила Буравчика(по часовой стрелке). Почему так получается?

Немного не понял на 12 минуте почему мы умножаем на сам вектор, а не на его проекцию.