Геометрия и группы. Алексей Савватеев. Лекция 1.5. Проективная геометрия 

А мы в 11 классе считали площадь треугольника по клеткам

Наверняка, эту задачу можно решить средствами обычной планиметрии. Я бы даже показал, как именно, только без рисунка это сделать довольно сложно. И вряд ли здесь подразумевалось, что нужно сделать какое-то "проективное преобразование". Его МОЖНО сделать, это верно, но вряд ли НУЖНО, вряд ли это самый простой путь. Другое дело, я не знаю, как можно рассказывать эту задачу и не вспомнить о линейной перспективе. Потому что линейная перспектива - это и есть тот "физический смысл", которым в данном случае нужно наполнить эту задачу. Тогда бы все объяснения получились гораздо короче. Кстати, с точки зрения линейной перспективы на новом рисунке у вас должен был получиться эллипс, а не окружность. Причем, эллипс, вытянутый горизонтально, а не вертикально.

ну там же очевидно, что лучи расходятся, не параллельные, угол больше нуля, расстояние увеличивается,и ,коснувшись рас,второй уже не коснутся. Обычна теорема Пифагора, и расхождение должно быть больше радиуса, а оно зависит от расположение точки и угла от нее.

Такое преобразование называется афинным ведь, правда?

Традиционное просвещение продолжает поддерживать "атавизмы математики" - тригонометрию, начертательную, синтетическую, аналитическую, проективную геометрии и т.д. Здесь система аксиом эквивалентная, но везде далеко не лучшая. И так, что полезнее, - излагать учебу на неподходящем аппарате, несвязанных событий и фактов, или основывать образование на простых ключевых идеях..?