ЛЮБИМАЯ ЗАДАЧА ИЛОНА МАСКА. Решает Нейролинк! (Оригинал) 

Задача, где не хватило обоснования некоторых зрителей: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-lMc4qJmzKV4.htmlsi=QaFDS9hYUZ6dN3sl

👍 интересная воскресная задача. Спасибо! Решила почти также, другой подход к обозначению неизвестных. Суть та же.

Решение от троечника-семиклассника. Продолжаем РN и KN. Три подобных треугольника. Стороны большого, малого квадрата и их разности относятся 15: 10: 5. Из треугольника NPD а) соотношение катетов 1:2 б) МС -- половина ВС. Примем МС за х. Тогда 5*х^2=15^2. х^2=45. Ответ:180

Спидран по задачам, поехали. Продолжаем отрезки NP и КN так, чтобы в правом верхнем углу квадрата АВСD получился прямоугольник. Назовем их как - нибудь NH и NT. Дальше, треугольники прямоугольные оказались подобны по двум углам (это легко доказать самому), их соотношение сход. сторон равно 2, тогда примем MH за Y, а NH за Х, тогда, получается, так как внутри квадрата АВСD фигуры ВКHN, NHCT, PHTD - прямоугольники, как оказалось (это тоже можно доказать с помощью прямых углов и квадрата АКNP), тогда сторона квадрата равна 3х а также и 2x + 2y. 3x = 2x+2y, 3x = 2(x+y), 1.5x = x + y, 0,5x = y, x = 2y. Все, дальше легко. Сплошные расчеты. По Пифореме Теогора найдем Y в прямоугольном треугольнике MHN (y = корень из 5) , через него - х (2 корня из 5), а через х найдем площади двух квадратов, а оставшаяся желтая область получается равна 180 - 80 = 100. Красивый ответ, классная задача. Едит: На превью я по - своему понял, что надо искать желтую площадь, а оказалось, надо площадь всего квадрата найти. Так что ответ получается 180.

Спасибо Илону за приятную воскресную задачу ! Сторона квадрата а=СD, MC=a/2, из треуг-ка МCD по т. П. 225=5а^2/4, а^2=180. И настроение улучшилось! 😊

Если бы Маск знал, что он -играет такие мудреные партии- решает такие -сложные- простые задачи, то он крайне удивился бы...©

Благодарю.

Belíssimo exercício de geometria. Obrigado, mestre.

По т. Фалеса BK/KA=5/10=1/2. Обозначим BK=PD=y, тогда AK=NP=2y. Из треугольника PND по т. Пифагора 4yy+yy=100, yy=20. Сторона квадрата 2y+y, S=9yy=9×20=180

Д/З. 1. N - точка касания окружности с отрезком AD. Угол MND равен углу NBM=alpha (поскольку опираются на одну дугу NM). Тогда по т. синусов NM/sin(alpha)=2R, но из тр-ка NMD: sin(alpha)=x/(2a), где а=NM, из этих двух равенств получаем, что x=a^2 2. Из точки N восстанавливаем перпендикуляр, он пройдёт через центр окр-ти и пересечёт сторону квадрата в точке F и далее окр-ть в точке P. Далее, вспоминаем, что перпендикуляр, опущенный из центра окр-ти на хорду, делит её пополам, след-но, AN=BF=FB'=y. Тогда по т. о пересекающихся хордах получаем: BF*FB'=NF*FP, или y^2=x(2-x), откуда y=sqrt(2x-x^2) 3. ND=x-y. Тогда по т. Пифагора из тр-ка NMD получим: a^2=(x-y)^2+(x/2)^2 4. Ну вот, получили три ур-я с тремя неизвестными. Подставляя первое и второе ур-я в третье, получим: x=x^2-2x*sqrt(2x-x^2)+2x-x^2+x^2/4, после упрощения приходим к квадратному ур-ю: 65*x^2-120x+16=0 получаем два корня x1=1.70148373 x2=0.14467011, так как x>sqrt(2), то второй корень не подходит. Получается, сторона квадрата равна 1.7015 (с точностью до десятитысячных).

Если окружность проходит через середины сторон, то 1) её центр лежит на серединном перпендикуляре между этими точками, 2) серединный перпендикуляр проходит через левую нижнюю и правую верхнюю вершины. Таким образом, центр окружности лежит на диагонали квадрата, т.е. равноудален от осей. Значит, первый рисунок неверен в принципе.

Простенькая, но классная задача. Спасибо))

Задача решается более просто, т.е. наиболее лучшим шикарным способом🙂. "Разрисовываем" большой квадрат на 9 равных квадратов со стороной х по теореме Фалеса. Рассматриваем правый нижний прямоугольник с диагональю 10. х²+(2х)²=100, 5х²=100, х²=20 и финал 20·9=180. Самое простое решение на мой взгляд.

*Д.З.* Только две теоремы Пифагора и ничего больше. Не выходя за пределы квадрата. Проведем через центр окружности прямую, параллельную касательной. Она пересечет сторону АВ в точке Е. Также проведем из точки касания перпендикуляр к АД. Он пересечет ВС в точке Т. Пусть сторона квадрата равна а. Обозначим : ЕО =х. ОТ = а -1. По т. Пифагора: (1) х² + (а - 1) ²= 1. Из точки М проведем перпендикуляр к КТ. Он пересечет КТ в точке Р. ОР = 1 -а/2, PM = a - x. Тогда снова теорема Пифагора: (2) (а - х) ² + (1 - а/2) ² = 1. Исключая из (1) - (2) переменную х, получим: 65∙а² - 120∙а + 16 = 0. Отсюда: а = (4/65)∙[15+4∙√10]≈1.70148 .

Доказав что М - это середина отрезка ВС (через подобие, используя теорему Фаллеса или используя свойство точки пересечения медиан) Можно сказать что СD^2 = S площадь которую мы ищем, а МС^2 = 1/4 S Тогда 15^2 = S + 1/4S S = 225 * 4/5 = 180

Симпатичная задача. Я так понимаю, это была самая ранняя любовь илона маска(7-8кл)? Пусть АВ=ВС=...=х. Из подобия PND и MCD -- NP=2/3x, PD=x/3. Отсюда: (2/3x)^2+(x/3)^2=100. Sabcd=180

А вы Маску отстегиваете сколько-то за использование его имени в рекламных целях?

ДЗ, все же аналитически (многабукв, не выходя за квадрат) Сторона квадрата=a, тогда A=A(0,0), B=B(0,a), M=M(a,a/2). Серединный перпендикуляр к BM (СП): a(x-a/2)-(a/2)(y-3a/4)=0 | ×2/a 2x-y=a-3a/4=a/4, y=2x-a/4 ① Центр окружности лежит на СП, расстояние от него до B=B(0, a) равно радиусу R=1. Проведем из B окружность радиуса 1. x²+(y-a)=1² ② Нижняя точка пересечения (при наличии) будет искомым центром окружности. Решая {①,②}, получим: x²+(2x-a/4-a)²=1, x²+(4x²-5ax+25a²/16)=1, 5x²-5ax+(25a²/16-1)=0 D=25a²-20(25a²/16-1) D=20-25a²/4 ③ x=(5a-√D)/10 ④ Из ①, ④ получили координаты центра окружности. Перпендикуляр из него на основание равен радиусу R=1, то есть при найденном x (④), y=1: y=2x-a/4=(a-√D/5)-a/4 y=3a/4-√D/5≝1, √D/5=3a/4-1, √D=15a/4-5, D=225a²/16-75a/2+25 ⑤ {③=⑤} 20-25a²/4=225a²/16-75a/2+25 325a²/16-600a/16+80/16=0 a=[300±√(90000-325•80)]/325 a=(300±80√10)/325 a=(60+16√10)/65≈1,70148

Про предыдущую задачу: Доказательство того, что продолжение стороны AB - касательная: 1) Соединим серединки сторон E и F, с одной стороны, полученный отрезок EF это хорда окружности, с другой - диагональ квадратика 1×1 2) Проведём диагональ квадрата 2×2 перпендекулярно EF, причём эта диагональ разбивает отрезок на равные части, т.е. является серединным перпендикуляром. А как мы знаем, серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности 3) В итоге, прямоугольный треугольник AOK (K - точка касания) будет равнобедренным, т.к. угол между диагональю и стороной квадрата равен 45° Отсюда оба катета равны радиусу окружности 4) Проведём радиус OH перпендекулярно радиусу OK, тогда четырёхугольник AHOK будет прямоугольником, а значит AH - касательная

CN- биссектриса, делит сторону треуг. MCD, МД в соотношение 1/2 Далее МС=х, CD=2x По теореме Пифагора из тр. MCD 225= x^2+4x^2 x=3√5 CD°2x=6√5 S=CD^2=180

А чем не понравилось провести диагональ АС, которая пройдет через точку N ибо вершина А у обоих квадратов общая? Тогда CN будет биссектрисой угла С, а значит МС:СD = 5:10 = 1:2 => M середина стороны квадрата, а дальше элементарно

Por el punto M trazo una perpendicular a AD en punto O. X es el valor del lado del cuadrado, MO es igual al lado del cuadrado. OD es igual a X/2. MD mide 15 u. Aplico teorema de Pitágoras: 15²= X²+(X/2)². X= 13.42 u. Área del cuadrado: X²= 180.10 u².

Продляем NР до ВС , точка Н , получаем 2 подобных тр-ка НNМ и РNД ( по двум углам ) , из подобия НN/NР=МN/NД , НN/NД=5/10 , сокращая - НN/NД=1/2 , НN=Х , NД=2Х , 2Х - все четыре стороны квадрата АКNР , НР=НN+NР=Х+2Х=3Х , отрезок , который равен всем сторонам квадрата АВСД - АВ=ВС=СД=АД=3Х . Из тр-ка РNД по т. Пифагора NР*2+ДР*2=ДN*2 , где ТР=2Х , ДР=АД-АР=3Х-2Х=Х , ДN=10 , подставляем - (2Х)*2+Х*2=10*2 ,5Х*2=100 , Х*2=20 . Площадь квадрата АВСД - S=АВ*2=(3Х)*2=9Х*2=9х20=180 .

После выражения сторон решил алгебраически, обычной системой

логика это искуство правильно мыслить, а математика - красиво. все дело в том, что в отличии от полноценной логики в математики она всего-лишь формальная.

Спасибо, побольше подобных задач.

// Стесняюсь спросить, а надо доказывать, что диагональ АС проходит через N и совпадает с диагональю АN ? Тогда АND~MNC AD/MC=10/5=2; a²+(2a)²=15²; S=(2a)²=15²*4/5=180; //

СN-биссектриса, СМ:CD=5:10=1:2, далее теорема Пифагора

ДЗ. Свёл задачу к другой, уже ставшей вирусной: найти R окр-ти, проходящей через концы наклонной стороны прямоугольной трапеции (АВМD) и касающейся противоположной стороны этой трапеции. Предварительно: х = 1,7015. Проверка и обоснование - позже.

Д/З. Способ 1 - ошибочный 1. Угол В прямой, поэтому сразу соединяем точки пересечения угла В с окружностью и говорим, что это диаметр и он равен 2. Тогда из теоремы Пифагора BB'=sqrt(2), где B' - точка пересечения отрезка BC с окружностью. 2. Из точки касания N окружности с отрезком AD восстанавливаем перпендикуляр, он пройдёт через центр окр-ти и пересечёт сторону квадрата в точке F и далее окр-ть в точке P. Далее, вспоминаем, что перпендикуляр, опущенный из центра окр-ти на хорду, делит её пополам, след-но BF=FB'=BB'/2=sqrt(2)/2, NF=x (x - сторона квадрата), а FP=2-x 3. По т. о пересекающихся хордах получаем: BF*FB'=NF*FP, или (sqrt(2)/2)^2=x(2-x), получаем квадратное ур-е 2*x^2-4x+1=0 Получаем два корня: x1=1+sqrt(2)/2, x2=1-sqrt(2)/2. Диагональ квадрата равна x*sqrt(2) и она больше диаметра окр-ти (2), след-но x>sqrt(2). Значит, подходит только первый корень x1=1+sqrt(2)/2, что с точностью до сотых равно 1.71 Итак, сторона квадрата равна 1.71 Интересно, то, что точка М - середина CD, вообще не понадобилось. Д/З. Способ 2 - ошибочный 1. Сохраняем принятые обозначения в способе 1. Также, пусть AB пересекает окр-ть в точке A', О - центр окружности. Поскольку тр-к A'BB' - равноб, О - центр A'B', то BO биссектриса и угол A'BO=45 гр. 2. Применим т-му косинусов к тр-ку ABO: AO^2=x^2+1-2*x*1*cos45 3. По т. Пифагора из тр-ка AON: AO^2=1+AN^2 (из способа 1 уже доказано, что AN=sqrt(2)/2 4. Объединяя 2 и 3 получаем: 3/2=x^2+1-2x*sqrt(2)/2 или 2x^2-2*sqrt(2)*x-1=0, корни этого уравнения: x1=1+sqrt(2)/2, x2=1-sqrt(2)/2 Подходит только первый корень. Ответ: длина стороны квадрата равна 1+sqrt(2)/2 или 1.71 Опять не понадобилось условие, что М - середина CD. Д/З. Способ 3 и на этот раз, надеюсь, правильный 🙂 В способах 1 и 2 выше допущена эпическая ошибка: тр-к A'BB' принят по недоразумению равнобедренным, а это, действительно, ниоткуда не следует. Срочно перерешиваю... 1. Сохраняя принятые обозначения в способах выше, угол MND равен углу NBM=alpha (поскольку опираются на одну дугу NM). Тогда по т. синусов NM/sin(alpha)=2R, но из тр-ка NMD: sin(alpha)=x/(2a), где а=NM, из этих двух равенств получаем, что x=a^2 2. AN=BF=FB'=y. Тогда по т. о пересекающихся хордах получаем: BF*FB'=NF*FP, или y^2=x(2-x), откуда y=sqrt(2x-x^2) 3. ND=x-y. Тогда по т. Пифагора из тр-ка NMD получим: a^2=(x-y)^2+(x/2)^2 4. Ну вот, получили три ур-я с тремя неизвестными. Подставляя первое и второе ур-я в третье, получим: x=x^2-2x*sqrt(2x-x^2)+2x-x^2+x^2/4, после упрощения приходим к квадратному ур-ю: 65*x^2-120x+16=0 получаем два корня x1=1.70148373 x2=0.14467011, так как x>sqrt(2), то второй корень не подходит. Получается, сторона квадрата равна 1.7015 (с точностью до десятитысячных).

Сразу возникает подозрение, что точка М - середина ВС. Действительно, AN и AC совпадают, следовательно, NC - биссектриса тр-ка MCD и тогда по свойству биссектрисы MC/CD=5/10, т.е 1/2. Пусть MC=x, тогда CD=2x. Тогда по т. Пифагора к тр-ку MCD: 15^2=x^2+4*x^2, откуда x^2=45 Площадь квадрата равна 4*x^2=180 кв. ед.

В тр.PND NP=2/3 от CD =x . По т. Пифагора NP^+PD^=ND* ,(2/3*x)^+(1/3x)^=10^, откуда x^=900/5=180

Пусть AD = x; AP = y; (x - y)^2 + y^2 = 100; sin(ADN) = 0.1y;

Валерий Владимирович, нельзя не уважать мощные методы аналит геометрии, но зачем же хаять простые методы, обвиняя их в сложности. На самом деле всё очень просто. Соединим средины сторон квадрата ВС и СД отрезком КМ, который одновременно является хордой жёлтой окружности. В р/б треуг КСМ проведём медиану из т.С, которая одновременно явл высотой и биссектрисой. Эта медиана как биссек угла С попадёт в т.А, а как срединный перпенд хорды - в т.О центр окружности. Биссек угла А попадает в центр окружн, сторона АД этого угла по условию явл касательной, значит и вторая его сторона АВ тоже касательная. Нет никакой необход двигать квадрат и смотреть как изменяются длины отрезков сторон квадрата внутри или снаружи окруж. Из данных задачи с полным основ сост ур-ие (R - 1)² + (R - 2)² = R², откуда R(1) = 1, R(2) = 5. Первый корень не подходит, т.к. в этом случае продолжение стороны квадрата не явл касательной. Остаётся R = 5 Вы обещали посмотреть моё док-во т. Штейнера-Лемуса в комменте к ролику Специальный выпуск! Для элиты канала!

Композитор, конечно, зануда и симметрия при нём.

Полный примитив. Более простой задачи на этом канале не доводилось видеть. Да уж, не особо блещет талантами маск, что впрочем и так очевидно

Про вчерашнюю задачу. Отчего же неправильно? Вы не учли того, что некий % зрителей (в т.ч. и я) уже лет эдак 30+ как закончили школу. Ну и соответственно идут самым быстрым путём (жисть научила))). Уотакуот🙃

Интересно зачем выражать сторону большого квадрата через "3y". А не через "y". Ставлю автору двойку. Ну вообще канешно задача на подобие и найти квадрат стороны через теорему пифагора это ни о чём

Почему вы решили, что точки M, N, D лежат на одной прямой?

Чтобы не будить Пифагора и не копать квадратные корни отрежем справа по красной и переставим влево. Затем почитаем что от А до красной 12 и умножим на 15 Ответ 180

Это нормально, что решила в уме за 5 минут?

Печатаю третий раз, почему-то пропадает. Решал с помощью уравнения окружности, двух точек и касательной. Получается простая, легко решаемая, система, х = 1.7014837... . Решение в радикалах привел Адепт, нет смысла повторяться. Решение чисто техническое, делается автоматически, без раздумий. Для экзамена предпочтительней.

ну хоть полегче задачу Маэстро дал... а то пугает, понимаешь, хордами с полувписанными трапециями... AD=a... из подобия PDN и верхнего треуга PN=(2/3)a=AP... PD=√(100-(4/9)a^2)... PD+AP=a...3√(100-(4/9)a^2)=a...900-4a^2=a^2... S=180

лень даже смотреть, простая задача сразу видно что 15/х= 10/y то есть сторона большого квадрата в 1,5 раза больше маленького, а площадь в 2,25 раза больше площадь маленького квадрата легко найти 100=(1,5y-y)в квадрате + y в квадрате 100= 1,25y в квадрате y в квадрате равно 80 а значит большой квадрат в 2,25 раза больше - 180

🗿🗿🗿

не правильное решение .s 144

Это не самое красиво решение. Ужас не догадаться, что можно решить ещё проще и в уме. Позор автору.

Первый 😂