ПРОСТАЯ СЛОЖНАЯ ЗАДАЧА. Две самых крутых теоремы! 

Здравствуйте, Валерий, приведу доказательство, что точка касания M является серединой AD, кстати это будет работать и для прямоугольника. Доказательство: Обозначим точки пересечения сторон AB и CD с окружностью за N и K соответственно. Проведём CN и BK, их точка пересечения O будет центром данной окружности, так как углы ABC и BCD прямые, значит опираются на диаметры. Проведём прямую OM до пересечения с BC в точке F. Так как радиус, проведённый в точку касания перпендикулярен касательной и прямые BC и AD параллельны, то OF будет перпендикулярен BC. Треугольник BOC равнобедренный, так как OB и OC радиусы, значит высота OF будет являться и медианой, то есть BF = FC. С другой стороны ABFM и MFCD прямоугольники, так как все углы прямые, значит BF = AM = FC = MD, то есть M - середина AD

Мой вариант докащательтсва: соединяем B и K, BK - диаметр,значит знаем центр. Из центра проводим диаметр, перпендикулярный к BC, получим параллелограмм( Диаметр будет перпендикулярен к AD и BC ввиду их параллельности => имеем 4-угольник с четырьмя прямыми углами)ABFC. Так как радиус, перпендикулярный к хорде, делит пополам хорду, отсюда и выходит, что bf= 4. поскольку параллелограмм, то и am = 4.

Центр окружности соединим с одной из верхних вершин квадрата и опустим перпендикуляр на сторону при этой вершине. Получится простой прямоугольный треугольник, в котором: R² = 4² + (8 - R)² R = 5.

Тригонометрия так тригонометрия. Проведём высоту МН. tgα =1/2 Угол между радиусом проведённым к В равен 2α (как половинки соответственно центрального и вписанного угла, операющихся на одну и ту же дугу) Его тангенс (по формуле тангенса суммы углов) будет 4/3. Отсюда ОН=ВН/tg(2α), получается 3. О -центр окружности. Радиус как гипотенуза равна 5.

Просто Пифагорим. R^2=4^2+(8-R)^2 R^2=16+64-16R+R^2 16R=80 R=5 Дале в жёлтом квадрате спрятался Египет :)

Если из т.М провести хорду через сере дину ВС ,то 8*Х=4*4 откуда диаметр 10 и радиус 5

Из центра окружности О проводим радиусы ОВ и ОМ. Соединяем точки В и М отрезком ОМ. Из ∆АВМ:

После того как выяснили, что СК=6, проводим ВК - получаем треугольник 6-8-10. Прямой угол опирается на диаметр. А диаметр это - гипотинуза ВК. Радиус 5

Если ученик не знает теорему о секущей, то можно и без нее... Достроить прямоугольный треугольник и дальше можно устно

Спасибо!

Опять вы проигнорировали мою любимую теорему о хордах :) Проведем серединный перпендикуляр к ВС. По теореме о серединном перпендикуляре к хорде, он проходит через центр окружности и является диаметром. Дальше просто записываем произведения отрезков хорд 4 * 4 = 8 * (2R-8) R=5

Совсем просто через теорему о секущей и касательной. Сторона квадрата сечется на 2 и 6. Прямой угол опирается на гипотенузу-диаметр. По Пифагору они равны 10 Ответ:5

если тригу не трогать, а только формулой r=abc/4S то из треуга МВС r= (8*√80*√80)/(4*32)=5

Without pen and paper for 30 seconds: Chord property for vertical line through the center of circle x×8 = 4×4, x = 2 Then 8 + x = 8 + 2 = 10 = 2×R

У этой задачи в старых учебниках есть интересное продолжение. Сторона квадрата берется произвольная и нужно определить какая площадь больше квадрата или круга

Класс! Много нового.

ну вроде получилось... пересеч АВ с окружн - тчк К, пересеч DC с окружн - тчк М.. прямоуги КВС и МВС равны по гипотенузе-диаметру и общему катету...АК=DM.... тогда КМ хорда, параллельная и равная AD... и перпенд из центра бьет их надвое

Аналитичка геометрија. M(0,0), C(4,8) N = (MC)/2 = (2,4) k(MC) = 2*kN(MC) = -1/2. y - yN = kN*(x - xN). y(0) - 4 = (-1/2)*(x - 2) R = y(0) = 5. Поздрав из Београда,😎

кстати я тоже задумался как доказать равенство ам=мд... слету не получилось) думаю, что попозже решу, не подсказывайте... но это ппц подвох)

Из точки М проведу прямую через середину стороны ВС, к противоположной стороне окружности, которая пройдёт через её центр и будет являться диаметром. 8×Х=4^2, Х=16/8=2, тогда диаметр = 8+2=10, радиус соответственно 5.

У нас dzen блокируют ! Остаемся тут :)

13:10-14:45 "Проня Прокоповна падает в обморок!"