да, комплексные числа нынче снова в моде, хайповая тема, а я по-старинке дедовским способом подбором нашел 9 и на этом успокоился, оказывается не всё так просто
Это точно я так же решил просто сразу возвел 2 в 3 степень это будет 8!значит надо из 9 отнять один чтоб было 8 в корне кубическом будет 2!9-7 вторая часть уравнения будет 2!2=2!
*Строго* - исходное уравнение в *поле комплéксных чисел* решений (да и смысла тоже😟) *не имеет!* Знак равенства (=) в *поле комплéксных чисел* означает: *Множество* значений "слева" должно совпадать со *множеством* значений "справа". В поле комплéксных чисел, например, ³√(a³) ≠ a (не верно, что ³√ (a³) = a), но (³√a)³ = a; другими словами: корень кубический из (a³), вообще говоря (если a ≠ 0), не равен 'a', но третья степень (куб) корня кубического из 'a' равна 'a' (по определению!)! 1:21 при возведении в куб в *поле комплéксных чисел* не получим эквивалентное ур-е. Если a = b, то a³ = b³, но не наоборот; из a³ = b³ НЕ СЛЕДУЕТ, что a = b.😟 Например: *2³ = (-1+i√3)³, но 2 ≠ -1+i√3* или 2² = (-2)², но 2 ≠ -2 😟 (в поле комплéксных чисел) Резюме: исходное уравнение следует решать в поле действительных чисел!🙂 P.S. Возьмём ур-е: *√x = 2* в *поле действительных чисел* оно имеет решение x = 4; в *поле комплéксных чисел* решений (и смысла) нет - слева множество из "двух" элементов ±2 [строго: x = 2×(cos(πn) + i×sin(πn)), где n = 0, ±1, ±2, ±3…], а справа одно значение 2.😟 А вот ур-е √x = √4 имеет решение x = 4 и в поле действительных чисел, и в поле комплéксных чисел! 🙂
Если подставить наши комплексные корни в исходное уравнение, то под знаком радикала будет комплексное число. Как в таком случае определить, какое из трёх значений этого корня «правильное»?
Так вы сами же и ответили на свой вопрос. Комплексные числа образуют поле, как и вещественные. Мы можем пользоваться теми же самыми операторами (+-*\) и использовать коммутативность, ассоциативность и т. п. А раз так, то мы просто возведем левую и правую часть в куб и решим кубическое уравнение и получим ровно три решения. Почему вы решили, что кубический радикал слева должен указывать на общее количество решений? А если справа будет полином 100-ой степени?
@@andreygoldfine А, я понял что вы имели в виду. Если подставить комплексное число под кубический корень, то да, будет три разных варианта, но подходить будет только один из них. Какой именно - подскажет правая часть, так как должно быть равенство. Именно правая часть уравнения отфильтрует ложные значения, так как она в данном случае линейная и имеет только одно значение если подставить то же решение, что и под корень.
Как давно вы используете в ответе комплексные числа? Или это для одного уравнения исключение? Помню, просто, смотрел часто перед ЕГЭ, всё решалось в пределах действительных.
В проекте ЕГЭ на 2022 год появились комплексные числа, а это значит, что сначала их должны будут заранее включить в школьную программу. Во всех развитых странах Европы и в США в программах школ комплексные числа есть, видимо поэтому и наши решили вернуть эту тему после 52 летнего отсутствия. До реформы образования в СССР в 1968 году комплексные числа в обычных средних школах были. А после реформы они остались только на факультативах и в школах с углубленным изучением математики. Для всего школьного курса математики достаточно будет посмотреть на канале 4 коротких видеоурока по комплексным числам: 1) Понятие комплексного числа ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-xiEFKyjmlfo.html 2) Тригонометрическая форма комплексного числа ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-sd0xgbrAtC4.html 3) Умножение и деление комплексных чисел ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-gcnTRZNRezg.html 4) Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-0PC2sA7nJKk.html
"50 лет назад их оттуда убрали" Не знаю, на моей памяти в школе (лет 20-25 назад, класс не помню) нам объясняли, что такое "комплексные числа". На уровне "i2=-1" вполне понятны были все решения уравнения. Школа была обычная, без "уклонов", просто учителя хорошие. "Комплексные числа" из школы позже дают фундамент для осознанного их применения в ВТУЗах, когда возникает физ.понимание, зачем "эта дичь" нужна.
вернуть комплексные числа ? оригинально - образование принизили до плинтуса, а чтоб добить еще и мнимые числа в него добавить, чтоб совсем отбить у детей желание учиться.
Я ясно помню, что мы проходили комплексные числа, даже учительница шутила "обед кОмплексный, а числа - комплЕксные". Окончила школу в 2014. Возможно, не везде образование настолько ужасно
@@khorrror У нас в школе точно не было и проходил это в институте, и наш преп. шутил в подобной манере, что кОмплексная - это бригада, а числа комплЕксные
@@ALARMusII Возможно, это связано с тем, что мы в нашем хим-био классе занимались по профильным учебникам алгебры, хоть и не в том же объёме, что и физ-мат.
@@khorrror В мои года не было профильных, ЕГЭ,... Зато помню учитель по химии упоминал, что в его годы, то что мы проодим сейчас в школе он проходил в институте., так, наверное, и с математикой.
Не показывали,что можно заменять переменную? Или что есть формула разности кубов? Или что можно вычитать из обоих частей уравнения одно и то же число? Всё что показано в видео входит в школьную программу,кроме комплексных чисел,а то,как можно использовать эти способы это дело ученика
@@ivan_ivanovich1337 И в 8, и в 9, и в 10, и в 11 классах учат решать заменой самые разнообразные уравнения и системы в самой ужасной школе. Это же как надо было ушами хлопать
возводим в куб, выносим х-9 за скобки (видно из левой части уравнения корень первый) получим обычное квадратное уравнение во вторых скобках. итого (х-9)(х^2-12х+38)=0 не вижу чтобы замена переменной тут что то упростила.
A когда я учился в универе, у нас высшей математики не было. Хотя учился на математическом факультете. 😁 Если кто не догадался: высшая математика - это для НЕматематических факультетов краткая выжимка из математики, а для математиков много разных предметов: матанализ, функанализ, урматы, теория вероятностей, ТФКП, современная алгебра, аналитическая геометрия, теория множеств, теория чисел, вычислительные методы, теория графов, математическая логика и т.д. Поэтому и никакой высшей математики Теория алгоритмов и дифуры забыл. Может и ещё чего не упомянул
Замена: (X-1)^1/3 = m, получим уравнение m = m^3 - 6 откуда m = 2 подбором и X=9. Разделим уголком m^3 - m - 6 на m - 2 и получим : m^2 + 2m + 3 = 0, откуда при D1 = - 2 получим m1 = -1+ i V2, m2 = -1 - i V2. Следовательно X = 6+- i V2. ОТВЕТ: 9; 6+iV2; 6 - iV2.
Практически так же решил. Только сделал замену всей левой части ³√(x - 1) = t. Отсюда x - 1 = t³, а правая часть тогда равна x - 7 = x - 1 - 6 = t³ - 6. Получаем то же самое уравнение t³ - t - 6 - 0. Далее по теореме Безу находим целочисленный корень t = 2 и применяем по выбору либо способ группировки, либо способ деления многочлена на многочлен. В любом случае приходим к разложению (t - 2)(t² + 2t + 3) = 0. А у квадратного трёхчлена можно выделить полный квадрат: t² + 2t + 3 = t² + 2t + 1 + 2 = (t + 1)² + 2. Отсюда видны и комплексные корни, если они нужны.
По теореме Безу ты не находишь корни ,ты корни нашел подбором,основываясь на факте ,что целочисленный корень уравнения является делителем свободного члена.А вот деление уголком -там уже используется теорема безу,надо уметь различать)
Как раз теорема Безу и позволяет найти целочисленные корни. Причём без всякого подбора: чистый перебор. Нужно перебрать все делители свободного коэффициента (или перебирать до тех пор, пока не найдётся корень). Если ни один делитель корнем не является, значит, целочисленных корней у уравнения нет.
Спасибо за напоминание про комплексные числа. Как известно они в пробном образце ЕГЭ на 2022 год. Но "думаю не ошибусь, если предположу" что их в конечном итоге не включат в программу старших классов, так как возникает вопрос а вместо чего?)))) Решение прикольное, но заметив до решения что 9 является корнем можно было задуматься что после возведения исходного уравнения в куб и переноса всех и вся в левую часть кубический многочлен должен делиться на х - 9. Но тогда уже не было бы этого оригинального решения - СПАСИБО!
Я бы решал максимально тупым способом. Во-первых, сразу видно, что 9 - это корень. Далее возводим в куб обе части, получаем кубический многочлен слева, делим его на (x - 9) - остаётся лишь решить квадратное уравнение.
Оригинальный способ решения. Лично я не уиадел так способ решения (замена) и просто решил, возвел в 3 степень, а дальше привести подобные и решить, получились корни 6±√(2)*i (это если комплексные корни)и 9
Х равен 9. Комплексные числа количественным значением не определяются, поэтому я ограничился действительным корнем. Хотя ТФКП в прикладных вопросах играет важную роль.
Прошу прощения, но когда я учился в школе в 90е в СПб, нам давали комплексные числа. Отличная подача материала, мне в этом во всём сейчас нет никакой необходимости, смотрю иногда просто так, нравится)
Метод постановки 9-1 будет 8 в кубе корне будет 2!!!вторая часть уравнения 9-7=2!!!!!какие на хер комплексные числа! уравнение элементарно решается!!!!!один ответ икс равно 9!
Кому-нибудь приходилось видеть дореволюционные учебники по арифметике для гимназий? Там вообще чёрт в ступе: системы исчисления с разными основаниями, правила делимости на простые числа типа 7, 11 и даже большие. А таблицу умножения иногда учили до 20
Я бы сэкономил на мозговой деятельности: возьмём построим два графика, убедимся, что они пересекаются в одной точке, после чего просто угадаем решение х=9. Но комплексные решения конечно так не найдёшь. ;-) Но если один корень угадали, то можно возвести в куб, потом поделить на х-9, получить квадратное уравнение, а дальше уже просто.
Извините,но это очень путано и не понятно.Методом подбора можно сразу определить действительный корень = 9.комплексные числа в школе не изучают ,поэтому можно на этом остановиться.
После реформы образования в СССР в 1968 году комплексные числа в обычных средних школах не изучаются. На факультативах и в школах с углубленным изучением математики по плану в том числе и на самостоятельное изучение отводится около 15-20 часов.
простой примерчик, такие обычно легко решаются подбором, если х до сотни. Тут сразу виден ответ - 9. Расскажите, зачем вообще нужны комплексные числа? Где на практике они требуются, без них не обойтись, в каких физических моделях и процессах?
@@NightStarReal насколько мне известно, в физике (т.е. электротехнике) можно обойтись без них - есть альтернативные теории/формулы. Думаю, что в гидродинамике и картографии в них также нет необходимости. Имхо, комплексные числа - лишняя сущность, плод воображения, которая не нужна на практике нигде, в законах природы нет места несуществующему)
Заменить корень на t, тогда правая часть это t^3-6 t^3-t-6=0 t=2 очевидный подбор, дальше по Горнеру комплексные корни Имхо такая замена как-то приятнее, хотя по факту ниче не меняется
По поводу этого уравнения возникает вопрос о правомерности его решения над полем комплексных чисел. Обычно иррациональные уравнения рассматривают над полем действительных чисел. И это не случайно, так как иначе встречаешься с целым рядом неудобств. Например,от арифметического корня придется отказаться. Даже когда в школе изучали комплексные числа( а я изучал их в школе),то иррациональных чисел это не касалось.
У меня маленькая поправочка. Мы изучали алгебру по Кочетковым. И у нас были в программе комплексные числа. Так что их отменили не 50 лет назад,а позднее.
После реформы образования в СССР в 1968 году комплексные числа в обычных средних школах не изучаются. На факультативах и в школах с углубленным изучением математики по плану в том числе и на самостоятельное изучение отводится около 15-20 часов.
Нехорошо добавлять комплексные ответы, потому что если мы считаем x комплексным, то корень становится многозначной функцией. А уравнение где слева многозначная функция, а справа однозначная имеет мало смысла
@@Kirill.Dubovitskii Благодарю за ответ, Кирилл. Но как это можно сделать на практике? Например, как следует указывать ветви при наличии нескольких радикалов разных степеней? Вы исходите из общего определения уравнения и его решения или у вас имеются источники, в которых рассматривается этот вопрос? Поле комплексных чисел расширяет поле действительных чисел и было бы крайне желательно, чтобы уравнения над полем комплексных чисел имели как минимум те же корни, что и над полем действительных чисел. Возможно, нам для этого придётся _обобщить_ понятие уравнения и его решения на случай многозначных функций, чтобы иррациональные, показательные и логарифмические уравнения имели смысл и над полем комплексных чисел. Полагаю, в литературе этот вопрос уже обязательно где-то рассматривался и подходы к такому обобщению существуют (и предложенный вами подход через уточнение ветви комплексного корня - один из возможных).
@@ОЛЕГБрыгар, да-да, «мы говорим не „штормы“, а „шторма“, слова выходят коротки и смачны». Как бы вам ни хотелось, в русском языке нет слова «компле́ксный». Ко́мплексный обед в столовой имеет несколько «компонент», ко́мплексное число тоже имеет два компонента. Аналогия с обедом тут прямая.
@@andrew.borodin кто вы такой, чтобы решать, какое слово в русском языке есть, а какого нет? В русском языке есть любое слово, которое хоть кто-то употребляет. Не говоря уже о том, что слово комплЕксный - заимствованное.
@@ouTube20 "пускай не может и что?" То что: "Факториал - функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел." Иначе придётся рассматривать обобщения понятия факториала на множество вещественных чисел, через гамма-функцию или Пи-функцию, а это уже не "элементарная математика" …
