Не любая формальная система имеет недоказуемые утверждения. Формальная система должна удовлетворять трем свойствам: быть непротиворечивой, иметь перечислимое множество аксиом (то есть все аксиомы должны порождаться неким алгоритмом) и уметь кодировать натуральные числа. Если хотя бы одно условие не выполнено, можно привести примеры полных систем, то есть таких что каждое истинное утверждение будет доказуемым. В случае с арифметикой, сначала строится утверждение вида G(a) которое говорит что утверждение с геделевским номером а не имеет доказательства. Иными словами, не только утверждения имеют геделевский номер, но и цепочки утверждений тоже. Доказательство - цепочка утверждений. Значит, если утверждение доказуемо, то у его доказательства существует геделевский номер. Если утверждение недоказуемо, то никакое число не будет геделевским номером его доказательства. Далее, G(a) тоже имеет геделевский номер, зависящий от a. Если для какого-то g номер утверждения G(g) будет равен g, это будет значить, что утверждение ссылается на само себя и утверждает что оно недоказуемо. Очевидно, что утверждение G(g) либо истинно, либо ложно. Если оно истинно, то мы получили пример истинного недоказуемого утверждения, если оно ложно, то G(g) доказуемо, но само G(g) утверждает что оно недоказуемо, значит арифметика противоречива. Итак, если арифметика непротиворечива, то G(g) истинно, а значит недоказуемо. Вторая теорема о неполноте утверждает, что из непротиворечивости арифметики следует G(g). Значит, если мы можем доказать непротиворечивость арифметики (внутри самой арифметики), то мы можем доказать недоказуемое утверждение, что ведет к противоречию.
@@user-kb1ue8vm2sда теорема переоценена, вникать не обязательно. Достаточно как Арестович на эту хуйню ссылаться как на какое-то доказательство существования Бога и прочее. Я неиронично с помощью этого приема своего кореша убедил не пытаться читать Гегеля и Маркса Энгельса типа «вот те пруф что диамат это не суперкрутое описание вселенной от математиков», и это помогло.
@@rotrhino следующий уровень математического шизоугара это определение Бога через одноточечную компактификацию вселенной, о чем в своё время иронично заявил кто-то из Бурбаки. Но для гоев это еще туманнее теорем о неполноте. К слову, если мне не изменяет память то теоремы о неполноте использовал Вассерман чтобы «доказать» отсутствие Бога, так что твой друг может тебе парировать.
А почему G(a) имеет геделевский номер зависящий от a? Почему для утвержд. g, гедель номер доказывающий ложность g, то есть G(g), будет тем же номером g, то есть первоначальным утвержд? Как это понять, я тупой?
@@user-kb1ue8vm2s по определению геделевский номер формулы (обозначим его #F для произвольной формулы F) зависит от констант, то есть G(a) и G(b) должны иметь разные номера для разных констант a и b. Интуитивно, это потому что мы должны иметь возможность по геделевскому номеру восстановить всю формулу сразу, значит и само вхождение конкретной константы также должно быть закодировано в номере. На счет второго вопроса, почему для какого-то утверждения #(G(g))=g, это на самом деле действительно неочевидно. К счастью, есть отдельная диагональная лемма, которая гарантирует что это условие выполняется в любой формальной системе, которая может выражать вычислимые функции и допускает геделевское кодирование, к которой относится и арифметика. Вообще, диагональная лемма это частный случай теорем о неподвижной точке (да, их много), которые гарантируют существование при определенных условий такой точки х что F(x)=x.
В общем да, очень похоже на породокс лжеца по форме. Но дело не совсем в этом. В тереме Гёделя не "это утверждение ложно", а "это утверждение не является теоремой", т.е. недоказуемо в рамках этой формальной системы. Таким образом если мы докажем, что утверждение верно(то что оно не является теоремой), то одновременно опровергнем его, ведь сам факт доказательства его верности говорит о том,что теремой оно всё таки будет являтся. А если мы докажем, что оно НЕверно, то есть, всё таки является теоремой, то опроверженее этого утверждения тоже будет ему противоречить. Вообще, рекомендую посмотреть разбор теоремы и её доказательство на канале New Deal, в двух частях. Мне приходилось несколько раз пересматривать, чтобы понять всё до последнего символа, но результатом остался доволен. Самый понятный из детальных разборов на ютубе. В самом конце, когда видишь само утверждение, вокруг которого всё и вертится,записанное математическим языком и понимаешь, как оно устроено и каким образом умудряется говорить о самом себе и о своей недоказуемости, наступает математическое "прозрение". Таким умным я себя ещё в жизни не чувствовал.
