Это еще один способ решения! На картинке автора обозначим точки касания окружности к стороне АВ буквой Т и к стороне ВС буквой Е, а также центр окружности буквой О, через который проведем диагональ АС. Тогда из прямоугольного треугольника ЕОС по теореме Пифагора имеем: ЕС^2+r^2=(АС-r√2)^2. (1) Где AC=12√ 2 и ЕС=ВС-ВЕ, причем BC=√(12^2+(12-3)^2)=15, а ВЕ=ТВ=3-r. Подставив ВС и ВЕ, имеем ЕС=15-(3-r)=12+r. Подставив значения АС и ЕС в уравнение (1): (12+r)^2+r^2=(12√ 2-r√2)^2 после раскрытия скобок и сокращений получим ответ: r=2.
Соединим А и С, точка О центр окружности лежит на этой прямой, так как треуг AHO (H точка перпендикуляра с АД из О) и АСД и они имеют общий угол САД. Опустим перпендикуляр из О на BС и обозначим за К, BC = 15, KC = 15 - BK = 12+r ,OC = sqrt(r^2+(12+r)^2), AC = r*sqrt2 + OC, также AC = 12*sqrt2, решаем уравнение, получаем ответ r = 2
у меня долго, муторно, но надежно 1. дорисовываем трапецию до треугольника. Он египетский 12-16-20. Проводим вертикальную касательную. Получаем египету с большим катетом а=4+2*R и вписанным R. Задача решена. произведение катетов египеты равна 3*a^2/4, а периметр 3*а. R=(3*a^2)/(4*3*а)=a/4=1+R/2 Ответ:2
Жёлтое - Египет с прицепом. Верхняя сторона 15. Рисуем вторую касательную из верхнего угла. То что вокруг окружности - площадь 36, периметр тоже. Ответ 2
Продляем ВС и АД до пересечения в т. М . Получились 2 тр-ка АМВ и ДМС - подобные по двум углам , ВА/АМ=СД/ДМ , МА=Х , ДМ = 12+Х , подставляем - 3/Х=12/12+х , 36+3Х=12Х , Х=4 . С центра окружности на ДМ опускаем перпендикуляр , т. К , который равен радиусу и равен АК . r=ОК=АК . Полупериметр тр-ка АМВ равен МК на катете ДМ . МК=р=(МА+АВ+ВМ)/2 , ВМ=\/4*2+3*2=5 , МК=(4+3+5)/2=6 , r=АК=МК-МА=6-4=2 .
Замечательная задача, спасибо. Всегда жду от вас именно такие задачи. Я тоже решила эту задачу несколькими способами, повторять показанное не буду. Замечание по поводу решения Макса. Тангенс ⍺ можно найти иначе, без квадратного уравнения: cos(BCD)=3/5, cos2⍺=-3/5. tg⍺=√(1+3/5)(1-3/5)=2. Еще один способ: можно использовать свойство сторон описанного четырехугольника. AT+BP=AB+PT; 2R+5R/2=3+3+3R/2. И еще не могу не упомянуть "наше все", теорему Пифагора, спасательный круг для утопающих. OC^2=ON^2+CN^2. (12√2-R√2)^2=R^2+(15-(3-R))^2.
ну катя меня приделала( как обычно... развил тут... трапеции вписанные... все забываю что радиусы так же подобны как и стороны... не первый раз так косячу... алхимик блин... спасибо, отл задача
мудрено у меня получилось... простого решения не нашел... пришлось кружок в трапецию вписывать... сначала подобие конечно, продлив DA и CB... тангенс классический 3/4... ну и потом из AD пустил вверх касательную к окружности... зная тангенс наклона, выразил стороны через r и приравнял сумму противоположных сторон (5/2)r+2r=3+3+(3/2)r... r=2... ай, мне мое решение не нравится... лучше детей посмотрю
Не поверите, а задача-то не отпускает. Нашла еще одно решение. BO - биссектриса внешнего угла ∆ABM. Пусть BO пересекает AD в некоторой точке X. AX=x. MX/AX=BM/AB, (x+4)/x=5/3. x=6. Ну а дальше подобие: (3-R)/R=3/6, R=2
Если честно, ожидал, что Андрей просто воспользуется формулой радиуса вневписанной в треугольник окружности. Сорри, написал комментарий не досмотрел ролик до самого конца, не увидел, что тренер тоже предложил решение. Буду внимательнее.
Специально для Андрея . Построим Квадрат со вписанной окружностью . Соединим т. с т . С , получим равнобедренный треугольник АСД . На диагонали квадрата гипотенуза равна 4R , построил прямоугольники получим 6R=12 .
На построенном квадратике со сторонами 2r вычислим его гипотенузу , она =2r* на ^из 2 . Построим прямоугольный треугольник с катетами=2r*^ из 2 , его гипотенуза лежит на прямой АД и =4r , и дальше построив прямоугольники получим r=2.
Почитал немного комментарии, вроде не увидел моего решения. Провёл АС, которая прошла через центр окружности О, т.к. AD=CD. Площадь ABC=3*12/2=18 Площадь АВО=3г/2. Площадь BOC=15r/2. 3r/2+15r/2=18. r=2
Рассматривают подобные треугольники МСД и МВА. Сторону МА обозначим за х. Из отношения: МА/МД=АВ/ДС получаем, х/(12+х)=3/12, то 4х=12+х, тогда х=4. Получаем МА=4.
@@GeometriaValeriyKazakov если треугольник подобен египетскому, то он египетский? это всегда верно? т.е.все возможные египетские треугольники подобны друг другу?
Уравнение прямой ВС: 4у - 3х - 12 = 0 (А - начало координат). Центр окружности О(r, r). Расстояние от точки О до прямой ВС равно радиусу: (-4r + 3r + 12)/5 = r ⟹ r = 2.
Из левой верхней вершины проводим горизонталь, которая отсекает треугольник со сторонами 12; 9 и 15. Далее проводим вертикаль, касающуюся окружности справа, от этого треугольника она отсекает подобный треугольник, одна из сторон которого равна 2R, а остальные находим из соотношений подобия: они равны 3R/2 и 5R/2. В результате получаем окружность, вписанную в прямоугольную трапецию со сторонами 3; 2R; 3 + 3R/2 и 5R/2. Воспользуемся свойством описанного четырёхугольника: суммы противоположных сторон равны. Отсюда 3 + 3 + 3R/2 = 2R + 5R/2. Простое линейное уравнение относительно R, откуда R = 2.
Опять вневписанная оеружность. Ответ 2. Продолжим АД до пересечения с ВС. Получим треугольник 3,4,5. Надо найти его радиус вневписанной окружности по катету 3. р/(р-а)=R/r, где r=1.
Спасибо автору, который методично заставляет повторять одни и те же упражнения, в результате чего формируется «мышечная» память. По сути, имеем интерпретацию ДЗ в одном из последних роликов. Мне понравился вариант, когда проблему решает «Египет» с бОльшим катетом 2r +4. И еще скажу пару слов, в основном для зрителей, но и автор, может быть, возьмет себе что-то на заметку, тем более что к нему есть вопрос. Путей решения задачи может быть много. Все зависит от подготовки и мотивации «спортсмена». Принять «упор лежа» можно разными способами: предварительно став на колени, или же сразу из положения «стоя», или сделав предварительно пару акробатических трюков… Результат, по сути, будет одинаковым… Вопрос: чего мы хотим добиться? Выполнить заданное упражнение или показать свою физподготовку? Если просто выполнить упражнение, то логично выбрать путь, требующий наименьших усилий. Если хотим еще получить дополнительные баллы «за артистизм», то выбираем самую красивую комбинацию, доступную нам технически. Учитываются ли баллы «за артистизм» при решении школьниками задач экзаменационных и задач олимпиадных?
Спасибо. А как тренируют футболистов? Они что, одни 11-метровые бьют? Вы ж сами сказали: задача - повод для тренировки умственных мышц. Тогда и на экзамене, и на олимпиаде ничего не страшно. Ну, а для любителей геомтерии - это эстетика, игра ума, фигурное катание на плоскости ... Радость от силы интеллекта зрителя. Геометрия - это искусство красиво мыслить.
Кстати, здесь тоже можно получить общее решение, если обозначить : AD =a, AB = b. Уравнение прямой ВС: ay - (a - b)x + ab =0 (А - начало координат). Центр окружности О(r, r). Расстояние от точки О до прямой ВС равно радиусу: r = [-a∙r + (a - b)∙r + a∙b]/√[a^2 + (a - b)^2]. Осюда получим квадратное уравнение, решением которого является : r = b∙[√[a^2 + (a - b)^2] - b]/[2∙(a - b)]. Подстановка а =12, b = 3 даёт: r = 3∙[√[12^2 + (12 - 3)^2] - 3]/[2∙(12 -3)] = 2.
