【ゆっくり解説】数学者も発狂した！数学史上最大のパラドックス4選 

小学生でも分かりやすいように教えてくれるのに 小学生が分からなそうな麻雀ボケするの好き

10:45 パターン2では司会がドアCを開けるケースが抜けてる。コレにより2/4＝50%になるべきところが2/3になってしまってる。

数学の話は数学の世界だけに留めていなければいけないことがよく分かるパラドックス

1＝0.99999・・・の命題って正しいのかな？ 1/3＝0.333333・・・ そもそもこれが間違ってると思う。 イコールじゃなく 1/3≒0.333333・・・ ですよね？ ってことは3倍して 1≒0.9999999・・・ なら何ら不思議もない。 1＝0.99999・・・ なんて命題が間違ってると思う。

1.99999...－0.99999...は1になるか？ 例えばRU-vidのグッドボタンで考えるとすると1万〜1万999は表示上1万になる俺たちが見ているのは1万だが中身はどっちが大きいかわからない。 ∞というのがあってもその無限の中身までは見れていないからどちらが大きいか小さいか分からないが中身まで見ればどちらの∞が大きいのか小さいのかそれが分かればこの答えが出ると思う 以上中一の考えでした。

1と0.999⋯の間にほかの数字が入らないから1=0.999⋯って聞いた時納得出来た思い出

1万円のもの買うのに9999円の後 9銭出して9厘出して…ってやってたら もう面倒臭いからやるよ！ってなる訳か🤔（バカ）

1=0.999…というのは「理解」した……だが「納得」はしていないッ！！！

司会がはずれのドアを１個つぶしてくれるやさしさと、確率が上がることがわかっててドア替えたのに外れた時の悔しさｗ

1=0.99‥が納得できない人の説明みると、数学を感覚とか直感でやってる人が多いね。特に、無限小数なのに勝手に有限にしてる人多い。

わい｢1÷1は0.9999...にならんぞ！｣ 先生｢1÷1を解く時に安直に1としないで0を置いて、小数点以下のバトルに持ってけば延々と9が続くじゃろ？｣ わい｢解せぬ｣

扉の問題は例えば扉が1000個あって、自分選んだの以外の9998個を開かれたとしたら、直感的にも分かりやすいかも

授業で最初に積分を習った時、もしかして騙されてるのかなと感じた事を思い出した。

0.999…のような無限小数を、「0.9, 0.99, 0.999, …と1に無限に近づいていく『過程』」と捉えてしまって、 「どんなに近づいても1にはならないから 0.999… = 1 ではない」と思ってしまう人が多いと思います。 無限小数が表すのは「近づいていく『過程』」ではなく「近づいていく『対象』そのもの」なんですよね。 無限小数を「過程」と捉えてる人に 　　1/3 = 0.333…だからその3倍 0.999… は1 と言っても 　 そもそも 0.333… も 1/3 そのものではなく 1/3 に無限に近づいていく過程なんだからその3倍も1そのものではない となりますし、 　　0.999…の10倍 9.999… からもとの 0.999… を引いたら 9 になる。だから 0.999… = 9 / (10-1) = 1 だ と言っても 　　0.9 の 10倍 9 から 元の 0.9 を引いたら 8.1 　　0.99 の 10倍 9.9 から 元の 0.99 を引いたら 8.91 　　0.999 の 10倍 9.99 から 元の 0.999 を引いたら 8.991 　　… 　　でどこまでいっても 9 にはならないからその 1/(10-1) もどこまでいっても 1 にはならない で終わりです。 つまり「近づいていく過程」っていう誤解をどうにかしない限りどうにもならない。 モンティ・ホール問題は、もし条件が 　回答者が最初にドアを選択したあと、出題者が残る2つのドアから無作為に1つ選んで開けたところ、そのドアは外れだった。 だったら答えは「選択を変えても変えなくても当たる確率は1/2」になりますね。 元の条件とこの条件の違いを理解できるかどうかがこの問題の要になると思います。

まず0.999…って書き方が極限というバリバリ数学的概念の産物なのよ。 それを算数のレベルで無理矢理あつかっているから、小さなところで矛盾っぽいことが起きる。 もちろん大元の極限の考え方では、全くおかしい所は無い。

9999.999円で1万円のものは買えない、 なぜなら0.001円足りないから 0.999は1じゃない、 なぜなら0.001足りないから 0.999...が1じゃないとすると、 足りないのは0.000... この0はずっと続くから、 足りないのはぴったり0 よって1=0.999... 有限で成り立っていたことは、必ずしも無限でも成り立つわけではない

1=0.999...を理解出来ないってコメで文系とキッズ透けるの面白い

てか普通に3進数で表したら自明なんだよなぁ

モンティホール問題は、司会が外れの扉を1つ開けるっていうことを、当たりと外れの扉が1枚ずつ残った状態を作ると言い換えると理解しやすい。 つまり、最初に選んだ扉が外れの場合は司会が残した扉は当たりである。そして最初に選んだ扉は当たり(1/3)より外れ(2/3)のほうが多いので、司会の残した扉を選択し直すのがベスト。

これがすんなり納得できる人は数学のセンスがあるんだろうな

「1=0.999…」に疑問を持つ人を納得させるのに「1/3=0.333…」を使うのは何の解決にもならないように思う。

循環小数0.9999…をxと置いて x=0.9999…とする。それとそれを10倍した 10x=9.9999…を連立で解いて 9x=9になってx=1になる。 よって x=0.9999… x=1 1=0.9999… つまり1=0.9999…になる っていうのを昔やったのを思い出した

0.999…=0.9+0.09+0.009+… よって初項0.9 、公比0.1の無限等比級数を考えて、 0.9/(1-0.1)=1

10進法という人間の都合で作った世界だと3で割る時に不便だというだけで、例えば3進法なら10進数の0.3333は0.1になる。 数学という人間が決めたルールだから苦手なところがあると考えればいい。

例えばピザがあったとするだろ？ ピザを1/3にすると1枚は中心角120°の扇型になるわけよ。 同じように0.333…枚に切るとするとこれもまた1枚は中心角120°の扇形になるわけよ。 もちろんこれらは全く同じ形だし、どっちも3枚ずつ合わせれば1枚に戻ると 1/3のピザ3つで 1/3×3=1 1枚 0.333…のピザ3つで 0.333…×3=1 1枚だけど 0.333…×3=0.999… のはずだよね つまり0.999…=1なんだよ

愚地独歩の幼少期に、このパラドックスは否定されている。 曰く「０．９９９９９…は、近付きはすれど、１にはならない。」と。

1メートルを誤差なく3等分して、どこまでも細かく測れるメジャーで測ったらピッタリのメモリの位置は？

素晴らしいチャンネルを見つけたことを数学の神に感謝します

1-0.999..=0.00…　無限に0、 だから1=0.999...になるって 学校の授業でやった でも、自分の弟は このやり方を教えるまで気づかなかった 教師によって教え方が違うんだって 子供ながら思ったよ

1＝0.999... は納得出来ない人は単なるルールと考えた方がいいと思う エジソンが1+1＝2が納得出来ないとしつこかったらしいけど、公理と定義で証明は出来ても納得させるのは無理な訳で

1/3が0.3333…となるのは割り算した時の10進数での便宜上の話であって、1=0.9999…の証明になってなくないか。というか前者と後者の証明って同じレベルなのに前者を前提としているのが分からない

…そうか、最初に外れのドアを選ぶ確率が2倍だから、選び直すと当たりになる確率が2倍になるんだな。

「（この問題は）0に限りなく近いが0ではない正の数(無限小)は存在するか？と言い換えることができて、これは当然存在しない」というコメントがあったけど、これは誤り。流儀は複数あるけど、超冪構成とかによって0でない無限小を持つ数体系（超実数体）を構成することはそんなに難しくない。実数は超実数に無限小を無視する同値関係を入れた商集合で、1と0.9999... の間の差異を無視するように作られた「粗い coarse-grained」数体系だということになる。0と無限小を区別する世界で証明を行ってから区別しない世界にその結果を下ろしてくる、という超準的手法が測度論のような分野で有用であることもわかっている。

x=0.999999…と置く系の解法嫌いじゃないけど好きじゃないよ

いまいち納得いかん！って人は実数の構築を勉強してみると納得できると思う

3進数で表せば0.1×10=1

2:25 自分が頭悪いからだと思うんだけど、これって0.333333333… ＝1/3っていう証明しないとだから、0.999999999…=1の証明にならなくないですか？

多分数っていう概念も人間が決めたものやからこういうパラドックス起きちゃうんやろな 先人の欠陥って感じしてなんか面白い

数学者はこんなので発狂しないですwwwwww

0.999…　の「…」を「表記上の省略」だと思うと違和感がある 「…」は「極限を求めよという計算記号」だと解釈すると 0.999…＝（0.999が無限桁続くとき、どの数字に向かって近づいていくか求めよ）＝　1 と計算できる だから 0.999　≠　1 0.999…＝　1 ってコト…？ 5! ＝5x4x3x2x1 みたいに、数字の後ろに付くタイプの計算記号ってあるよね

モンティホール問題は最初にハズレを引けば必ず当たるって考えれば簡単。

きめぇ丸先生、鬼畜で草

9が無限に続いているため、末尾がない。1=0.999…が気持ち悪く感じる原因の一つに、みんな無意識に末尾のある数字を連想してしまうからというのがありそう。

ｘを使う方法は納得できるけど三分の一のほうはいまだに納得いかない

やっぱり納得できない。 だって「0.999…」で単独みたら、「0.000…」分だけ小さいだろうが？、納得できない。 子供の頃、テストでは「そう書かないと間違う」から、そう書いていただけで、納得していた訳じゃない。

零環使って証明しておけばええやろ(脳死)

その昔、X68000というパソコンがあって、純正ツール名には***** PRO-68Kと命名されていた。 そこに同人ソフトで「女子高生 PRO-68K」というボットが出た。 「いちたすいちは？」と聞くと、女子高生は「だいたい2」と答えた。 68Kに聞くと「1.999999999999999999」と答えて、場内爆笑になった。

文系は文系でもFランをも想定した解説ありがてぇ

モンティホール問題は、「はずれを選んだら当たる、あたりを選んだら外れる」と考えるとわかりやすい。はずれを引く確率がそのまま当たる確率になる。

1=0.999...のやつは、小学生の時に自分で気がついて「世界の法則変えちまう」って1人で恐れてた記憶がある

扉の問題を分かりやすくすると、3つの扉のうち、初めに正解の扉を選んでいる確率と、不正確の扉を選んでいる確率を比較すると良いかも。 最初に選んだ扉が不正解の可能性は3分の2もあるんだから、選び直しだ方が当たりそうだよね。

0:40 小四喜和の時点で純チャンじゃない😂 チャンタでしょ😂

誕生日に関しては自分の前の番号の人が同じ日に同じ病院で生まれていたことがわかった時はビックリしました

0.99999…自体が極限操作を含む表記ってことですね

7:30 30分の100ｗｗｗ

ちなみに純全帯么九と小四喜は小四喜が役満である事を無視したとしても複合する事はありえない

10進数の欠点 といっても便利な12進数だと5で発生するのか

1と0.999..って、10進数で表せないモノを10進数で表そうとするからややこしくなるんだよね。

初めて 0.999... = 1 を聞いた時から、それだと 1 > x と 1 ≧ x が同じ意味になってしまうのでは？と思っているのですが... 1 > x を満たすxの最大値は xM = 0.999... 0.999... = 1 なので、xM = 0.999... = 1 つまり、 1 > x を満たすxの最大値が１になって、１を含む 1 ≧ x と同じ意味になるのでは？

モンティホール問題は、100個のドアで考えたらいい ・最初に選んだドアが正解の可能性は1％である ・選ばなかったドアが正解の可能性は99％である ここまでは明白ですね？ 上記の状況で『最初に選んだ1個のドア』『最初に選ばなかった99個のドア』 どちらが正解の確率が高いと思いますか？　というのも明白ですね？ では、モンティホールで言う司会者がドアを開けるという部分が 『チェンジを選んだ時、99個の中に正解がある場合は司会者が正解のドアに案内してくれる』 って条件だったらどう思いますか？　正解率が高い行動は明白ですね？ では・・・チェンジするかどうか考えてる間に、98個の無駄なドアを 司会者が開けるというパフォーマンスをしたらさっきの条件と何か変化はありますか？ もうお分かりですね？　私は分かりません

俺は∞+∞=∞を初めて見た時に今までの常識を全部捨てて数学をやることを決めたわ

メッチャバカバカしいかもしれないけど 0.99999999～は確かにイコール1と言うには違和感があるかもしれない。 しかしもし1からそれを引いたとするとその答えは 1-0.9999999～＝0.000000000～ と、永遠に0が続く数になる。 0と0.0000000～はイコールと言っても違和感ない。 だから0.99999999～はイコール1・・じゃだめ？

0.9999…=1は、0に限りなく近いが0ではない正の数(無限小)は存在するか？と言い換えることができて、これは当然存在しない そのせいで人類は微分を実現するために極限という概念を発明しなければならなかった

モンティ・ホールはわからない人は一生わからないので適当な所で説明に見切りをつけたほうがいい。

0.999...=1だということを説明して納得してもらった後でも、「じゃぁ0.999...は整数ですか？非整数ですか？」と聞くとサッと「整数」と答えられない人が結構多い。整数か非整数かというのは数の分類の話で、0.999...か1かというのは単に一つの数をどう表現するかの話なので迷う必要はないはずなのに。

23人じゃひとクラスに足りないって？田舎をなめるな。過疎地域はひとクラス30人にもいかないわ

最初の問題 x=0.999...として 10x=9.999... -)x=0.999... して 9x=9 つまり x=1 になるので x=1=0.999... になり 1=0.999... も行けるね。

モンティ・ホール問題で100の扉云々とか言い出す人は、分かってない人の思考を分かってない。

まあ厳密にいうと1/3=0.333...というわけではないもんな..

モンティホール問題ってさ 回答者が最初にハズレ引いたら「はいハズレ！残念！」 最初にアタリ引いたら「大チャンス！ハズレ扉一個教えます！」 ってやったら知ってる人全員ハズレに誘導できるのでは？

1=0.99...は数直線考えるとむしろ直感的 1≠0.99...と仮定すると、1と0.99...の間で線が途切れるからね (この話はあくまで直感的にぼんやり理解できるってだけで証明では無い)

１÷３＝１/３ １÷３＝0.33333・・・ これは、１/３を0.33333・・・と近似したからだと思います。 ・・・・は、３が無限回繰り返されますか、それはアレフ１の無限のときは近似になり、アレフ２の無限の時は正確な小数表示になる、というべきか。

数学は神の作った完全な学問...では決して無い。だから、恣意的な定義が求められるし、変なとこもある。

この説明では、0.3333....×３が、0.99999 .... では無く１である事。を証明しただけであって、0.999...=1 と証明できた事にはならんよ。　どちらかと言えば数式では事実を表記出来ないという数式限界を証明するのが、 １＝０．９９９９・・の話だな。

コメ欄に実数の連続性を理解してる奴はほぼいない

小学生でも認識できるアキレスと亀のパラドックスを突破するには、大学数学のイプシロンデルタまで待たないといけない矛盾

0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, …という数列は1に限りなく近付く(どんなε>0についてもある項から先では1との誤差がε未満になる)ので1と等しい。 極限の定義に従えば明らかではありますが、「では何故そのように極限を定義するのか？」という疑問も確かに自然な発想ですね。 これは初学者である私の個人的な考えですが、「実数全体の集合は無限小が含まれないように定義されているから」というのもあるのかもしれませんね。 実数の連続性と呼ばれる性質(実数の公理とも定義とも言えるような感じのやつです)にはいくつかの同値な表現がありますが、アルキメデスの原理(無限小を含まない)を満たすことを条件の1つとする定め方もあります。 もしも無限小を含む数の体系であれば0.9999….と1の差は0ではなく無限小になるのかもしれませんね。

1と0.999...は私が中学生の時学校で証明したけど誰も理解してくれなかった思い出。

双曲線y=1/xのx≧1の部分をx軸に関して回転させて得られる回転体の表面積は無限大ですが、その体積は有限です。 「六面さいころを２回投げて全部１の目が出る賭け」と「硬貨を５回投げて全部表が出る賭け」とでは、一見難しそうにみえる後者の賭けのほうが有利です。

昔の電卓(カシオ以外)。。１÷３×３＝０．９９９９９・・・　　カシオ電卓は、１÷３×３＝１　となってたｗ

無限に続くってことは最後まで計算できてないから３分1は0.333～ではないから問題ないな

「『...』に意味がある」そうそう。 「0.9999...」と「0.9999」は違う。

でも「1/3」って、「0.333333...」と等号(＝)で結んでいいのかな？ その証明はされているのかな？ 証明は置いといて等号で結ぶことが前提となっているなら、そりゃあ両辺を3倍したら「1＝0.999999...」になるのは当たり前。誰がやったってそうなる。 つまり最初から結果が分かっている出来レースであり茶番であるってこと。

最初のやつ、『誤差みたいなもんだからヤスリで研磨してやるぜぇ！』的な男らしさがあって好き

そもそもに1/3＝0.333....が怪しくないか？ 計算を打ち切った時点で≒にしかならない。 無限の概念を厳密に定義する必要がある

思ったんですが1=0.999... の三分の一＝0.33333...ってずっと3しかだけじゃ無いと思うんです多分٩( ᐛ )و←俺

1=0.999... これは、真の曲線を扱えない現代数学では正しいのでしょうが、真の曲線を扱える遥か未来の数学では、間違っているのかもしれません。

0.999…のやつは連立方程式で x=0.999… 10x=9.999… 10x－x 9x=9 x=1 っていう風にやるゆうて習った

思ったんですけども、0.333...の数字は小数が無限に続くからたとえ3倍にしても必ずしも0.999...という保証がないのでは？(だからイメージっていう表現なのでしょうか。。)

霊夢なら特別に¥9,980にマケといてやるよ♪

1/3=0.333…と習いましたが、精度的には、 1/3=0.333…余り1/(10の∞乗)が正解では？ あまり考える事を排除した為、∞に割れば割切れると思い込み、余りを考え無かっただけでは？ 数学では1/(10の∞乗)を無視していいのですかね？ 1=0.999…+1/(10の∞乗)では？ ∴計算式が一部間違ていたので、(∞→10の∞乗に)訂正しました。

霊夢の「純チャン小四喜？」のボケが好きすぎるｗ

実際には1÷3≒0.333･･･なはずなのに、これを等式として扱ってるからこーなってまうんやろな。

うーんわからん。簡単に言えば最初から選択しは２つしかないので５０％。 ３枚のうち１枚のはずれを開けてくれるのだからね、残った２枚はあたりとはずれしかない。 確かに当初の３３％からは確率は上がってるんだが・・・扉を変えると確率が上がることが納得できない。 例えばこの問題は３つの扉を挑戦者が最初に選ぶと３３％だが司会者からはずれを開けてくれたら５０％になる。 結局この問題はどちらが最初に選ぶかで一見同じようにみえて意味合いが変わるという事ですね。 司会者からはずれを開けてくれたら扉を変えても５０％になる。

1=0.9999···というのは１から限りなく小さい数を引いても答えは変わらないと言うことだから、両辺限りなく小さい数を引くと0.9999···=0.9999···8で最初の式と合わせると1=0.9999···8これを無限にやっていくと理論上1=0が成り立ちそう

数学ガチ勢じゃないけど循環小数については 任意の数a,bがある時、a,bの間に入る数がなければa,bは等しい(a

0.333...×3=0.999...ってのがおかしいのだけでは？ 0.333...という表現はそもそも10進法で表現しきれていない不完全なものでしかなくて1÷3=0.333...と定義づけた表現とも言えるものでしかないと考えられるので0.333...×3=1と考える方が自然かと思うんだが。 もうちょいわかりやすく言うと0.333...のうちの「...」の部分が3を掛けるとどこかしらで繰り上がりが発生する値だと考えられるから延々と繰り上がりし続けて最終的に1になると言えるのではと。 まぁ「...」自体が定義が曖昧な表現だからこの考えが1=0.999...自体を否定できるものではないかもしれんが。

1/3＝0.333…だけど割り切れないなら≒で表記したほうが良いとおもうわ

ディラックのデルタ関数に0.9999...と1を入れると結果が違うから、必ずしも数学的にいつも同じというわけではない。

1>x>.999…が存在しないで子供の頃納得しました