【伝説の東大模試】因数分解せよ 

ぱっと見でその解みつけるの強

ラマヌジャンいた

えっ...キモ...(褒め言葉)

おはラマヌジャン

これ好き

全く同じ流れでした…。

ウーン、必要性の証明がないので5点！

@@user-yk3ve9wq5yどちらかというと十分性じゃね？ 必要で絞って十分で確認でしょ

いや因数分解せよだから十分性もいらん =でつながってるんだから

@@user-yk3ve9wq5y すまん、君の言ってることが合ってたわ。 十分性は割り切れたところで示せてるね。 ｽﾝﾏｾﾝm(__)m

@@uetai この解答だと十分性は示せてた。なぜx＝−1＋√2が解になるのか書かないとこの問題はそんなに点数はないと思う。 因数分解せよって書いてあるが一種の証明問題みたいなもんだから。 東大ならなおさら書かないと0点だろうね。運が良かっただけの回答になってしまうから。

すご

これは頭いい

まねする

すげー参考になった

一応、係数が整数じゃない場合もあり得るのでしょうが、係数比較の式が結局高次方程式になるのでおそらく整数で考えれば十分だろうと予想できますしね。

見た時これ思いついて嬉しかった

これと説明されてるやつ両方見つけれたぜ😊

相反方程式は一瞬頭を過りましたが、 「（うーん、相反方程式じゃないかぁ。。）」でおしまいにしてしまいました(>_

与式＝ｆ（ｘ）と多くと、ｆ（ｘ）＝０には4つの実数解があるぞ。出て来た2つの2次式＝０と置いて解の公式を使うべし。

発想は悪くないけど、残念ながら今回はたまたまそうなってないだけで、4次式が(1次式)(3次式)の形に因数分解出来ることはあり得る。 例えば x^4+2x^3+3x^2+3x+1=(x+1)(x^3+x^2+2x+1) が反例で、x^3+x^2+2x+1はこれ以上因数分解出来ない。 ただ、これは整数係数での話。実数の範囲で考えるなら、x^3+x^2+2x+1=0は実数解を一つ持つ(このことは微分すれば示せる)ので、まだ因数分解出来る。その意味でコメ主の考えはそんなに間違ってはいない。 さらに言えば、複素数解も含めると、全ての4次式は(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)と因数分解出来る。 ただ、実際はこれを求めるのが難しい場合もあって、最悪四次(or三次)方程式の解の公式(あまりにも長い事で有名な公式)を使う必要が出てくるから、入試では整数の範囲までで因数分解出来ることが多い。

いつの間に官僚育成学校の東大は京大の真似事をするようになったんだ？

数学できるやつなら普通にできる問題だと思うけど

説明に過剰な部分があるのはその通りで、なおかつ一番肝心な既約性の説明が不十分だと思います。一応(ア)の形式がないことを示したことで結果的には(イ)の２次式が既約であることも示したことにはなるものの、明らかにそういう文脈にはなっていないので減点されても仕方ない気がします。 （細かいことですが既約性に触れずに式の形式だけで「因数分解した結果は(ア)と(イ)の２パターンなので～」という説明だと「２つの１次式×既約２次式」と「４つの１次式」が漏れているように受け取られる可能性もありますね）

@zetakeiz2971　 詳細な問題文を見ていないので不明ですが、高校までの範囲において、 通常因数分解せよと言われて、二次の多項式に因数分解されるケースで 既約性や一意性について言及するケースなんてないと思うのですが・・・ @user-zc1cu1zj9m　さんの言う通り、結果さえ明示できていれば全然いいような。 まず、因数分解の計算問題で、決まった答が必ず一つあるのは、因数分解の一意性によるものなので、 細かく言えば因数分解では、必ずその性質使用しています。 既約性については、仮に問題文で指定されていたとしても、 二次多項式をそのまま分けるなり、判別式で見てあげるなりしてあげて、 整数係数上で分解できないことを確認すればいいと思います。 特別な指示があれば別ですが、計算問題の範疇だと思われます。

@@zetakeiz2971 もと数学教師です。高校３年生を対象にした校内模試（記述式解答，全5問・120分）の大問1つを丸々使って「x^5+7x^4+12x^3-9x^2-27x-26を整数係数の範囲で因数分解せよ。」という問題を出したことがあります。当然数IIの恒等式を視野に出題したもので，文系に出題しましたが，平均点は低かった覚えがあります。この問題を出すにあたっては，数学科と物理科の先生と一緒に３日ほど協議を重ねて出題したもので，発案は私ですが，模範解答や採点基準等は他の先生が作りました。 後日，教師会がありまして，テストの作成が適切かどうかを大学教授を交えて協議されたのですが，この問題がやはり議題に上りました。論点は「単に結果をしるし，それを解答としたものは正答と認めてよいのか」でした。 結論から言うと，複数の教授らから，「既約性の有無を含めた記述はやや余剰とみるのが良く，さらに既約を厳密に示すには単位的可換環を用いるのが視野に入るが，高校生のレベルでこれを求めてはならない。したがって結果を簡潔に示し，展開して計算すると与式に戻ることだけを記述した解答は評価できる」とされました。 そのうえで，「記述に既約性を登場させれば，（高校教育では言及されていないがゆえに）ただちに大学数学の分野に入ったとみなし，教授が採点するときにはやや厳密にみることは十分考えられる。単位的可換環や既約多項式の概念を取り入れていない浅はかな記述に対し難色を示したとしてもおかしくない」とのこと。 だから，「因数分解としてではなく，恒等式を解く一環として因数分解に帰着させる答案（模範解答）を作成するのであれば，展開したら5次式（動画では4次式ですが）となり得る式をすべてあげて，式を解く，という全く性質の異なるものとなるから，既約性をわざわざ議論に持ち出す必要性がない」 ということで，①因数分解として解く。このときは答えを簡潔に。②恒等式として解く。このときは該当パターンを列挙して場合分け。 のいずれかが適当で，動画のような解答（および私たちが作った模範解答）ははっきり言えば「別解」であるという認識でした。 既約性を恒等式の概念に持ち込むことも，因数分解で既約性を論じることも，大学受験という分野の中で見れば見当違いではないでしょうか。

ええと、二人とも何を言ってるのか全くわからないです。そもそも私のコメントが 『この問題文の４次式が「２つの２次式に因数分解される」ことを示すにはその２つの２次式が既約であること、すなわちその２つの２次式がどちらも１次式の積にならないことを示す必要があるが、この動画の説明だと２次式の既約性（１次式の積にならないこと）の説明が間接的で不十分だと思われるかもしれないですね』 という主張だということは理解されてますか？ それとも理解した上で「それを示す必要はない、２次式が既約かどうかなどどうでもいい」と言ってるのでしょうか？ 「問題文に既約性を登場させる（指定される）」とかいう表現も謎すぎます。因数分解の問題が出ている時点で既約性は当然必須の概念ですよ。ただ「既約性」という単語を用いてないだけで。「整数係数上で分解できないことを確認」が「既約性の確認」以外のなんだというのですか。 私が具体的に与えられた４次式の因数分解における既約性についてコメントしているにも関わらず「既約性」という単語から勝手に話を一般化して「高校生が大学の範囲にまで踏み込む必要はない」などと見当違いの思考に陥ってるようにしか見えないです。 なお私は一意性について全く触れてないのですが、その私に一意性について問うてくるのも意味不明です。 （あー、二人を区別して返答してないです） （追記） 私が（ア）、（イ）などと動画の説明について書いているのにそこには全く触れずに一般論で返してきていることからも動画をきちんと見ずにやりとりしている可能性がありますね。 この動画の方針、特に3:54あたりからの内容に納得されているのであれば後は何も言うことはないです

@@zetakeiz2971 すいません。私も論点が不確かになっておりました。 部分的な回答になりますが、よろしくお願いいたします。 ＞『この問題文の４次式が「２つの２次式に因数分解される」ことを示すにはその２つの２次式が既約であること、 ＞すなわちその２つの２次式がどちらも１次式の積にならないことを示す必要があるが、この動画の説明だと２次式 ＞の既約性（１次式の積にならないこと）の説明が間接的で不十分だと思われるかもしれないですね』 動画内においても、約数の話も出ていましたが、因数定理が利用できるケース（ア）が不適となる時点で、 一次の項ではくくることができないので、因数分解できるならば、 （既約の二次式）×（既約の二次式）のパターンのみです。 この部分のみ取り上げれば動画内の説明では、間接的で不十分と言われればそうとも言えますね。 ＞なお私は一意性について全く触れてないのですが、その私に一意性について問うてくるのも意味不明です。 （ア）や（イ）のパターン分けが十分かどうかについて触れられていたので、記載しました。 因数分解の一意性があるので、何らかの形で分解されること（または分解できないこと）が分かれば、 特定の形に絞られます。 また、一つ見つかれば、それが答えに他ならないので、網羅性の議論は正直あまり意味がないと思われます。 以下については、厳密には別の話でしたね。失礼しました。 （今回のxの二次式のケースを含む）ある文字において二次式以上で因数分解されるケース（※）において、 既約性を明示させているかどうかと言われたら、そうでもないのではないでしょうか？という意見です。 そのため、因数分解の結果さえ書けていれば、@user-zc1cu1zj9m さんとほぼ同意見で、 立派な回答として問題ないとの認識です。 （もちろん書いてあればより良い回答ではあると思いますし、当然確認しておくべきことではありますが、 　書いてないことによる不利益を受けるべきではないと考えています。） ＞「問題文に既約性を登場させる（指定される）」とかいう表現も謎すぎます。 既約性が必須なのは理解していますが、上記の通り、単に「因数分解せよ。」という問題において、 結果が既約であることを明示させる問題を知らないですし、不親切な気がします。 例えば「既約性について明示した上で、因数分解せよ。」程度は必要なのではと感じました。 （既約という言葉をならっているかは不明です。） だから、明示されているならば、二次の多項式部分について相応のチェックは記述すると書いたのです。 （追記） ・（※）例えば、ソフィージェルマンの恒等式のような形の因数分解の問題の時に、 既約性について記述していますか？ 既約かどうか軽くチェックすると思いますが、通常結果のみしか書かないと思います。 ・因数分解せよ？という問題で、与式が既に既約である場合には、私の認識だと困りますね。 出題される可能性はほぼないと思われますが・・・

単純だけど思いつかない感じ不思議だなあ

答え当てて 答案には展開したら一致することと それ以上因数分解できないことを言えばいいと思うんですけどどうなんでしょう

合同式で。 mod24 で見ると 221^n-169^n-119^n+91^n ≡5^n-1^n-23^n+19^n ≡5^n-1^n-(-1)^n+(-5)^n ≡0

互いに素である方が都合がいいのでmod8とmod3の方がいいんじゃないかな、、

​@@user-jp6ny5sw1w　君にとって12は24の倍数なのか、、、

与式は、（17^n－13^n）（13^n－7^n）と書ける。 それぞれn乗差の因数分解が出来るので、前半は常に4の倍数、後半は常に6の倍数。よって、常に24の倍数。

あ、あと、nは非負整数じゃないとダメよ。

素因数分解えぐ

この問題では与えられた多項式がZ上可約なことを仮定しています。 そこから具体的な係数を求める問題なので、何も終わってはいません。

仮にZ上可約という仮定がない場合でも、基本的にまずはZ上での既約性を考えるでしょう。 そうするとこの問題では同じ答えが出てきます。当然、C[x]はUFDですからそれが唯一の解であるという保証もされます。 ではあなたの主張はいつ役に立つのか考えてみました。それは与えられた多項式がQ上既約であった時です。Z上の既約性の次に、Q上の既約性を調べる必要がないことがわかるため時短になります。 ただし、そのような問題では整数係数の多項式のR[x]における既約性を見なければいけません。その苦労に比べれば上にあげた時短などチリのようなものです。

既約性云々よりも可約なら(1次)(3次)or(2次)(2次)が取れることが保証されるため係数比較っていう容易な計算で終わり、当たり前の発想であって閃きを欲してないということを伝えたかった次第です。

確かにZ上可約ならガウスの補題とかはどうでもよかったですね、申し訳ないです

はっきり分かれんだね

@@uu9416黙れ

@@uu9416なんか臭うゾ

四人に一人が解ける感じか。

全く同感です

展開した結果の係数を比較してるから、①②③を満たすことを示せば、逆が成り立つことは自明

q=3,s=-1はq=-1,s=3と同じだから 考える必要ない

でも中学生でも解ける？問題は基本工夫なりなんなりで楽しいことが多いと思う

その場合も(xの二次式)(xの二次式)で表せますよね?今回はこれ以上因数分解出来ないってだけです

x-a(aは整数)の形の因数が存在しないから 「３次式は含まれない」って言ってるけど そこはポイントじゃない

その条件、解く上で自分で設定するやつじゃないですか？間違えて見てたらごめんなさいですけど

全部のコメントにハート付けてるのが気持ち悪いよな こんだけ言われてるのに直さないのマジでどういう感覚なのか気になる

しかしこれもまた、解けるように作ってあるだけ感が否めない問題ですねえ

（ｘ－２）＾４＝１１

解けて良かった❗「解けない子」に入っちゃったらどうしようかと思ったワイ。 x＝2tと置いて、両辺16で割って、4乗完成ですね。

お前だけに分かりやすく書いてるわけじゃないから😂

こういうのって記述どうするんだろ

@@user-mm1no1mb3y 仮定が誤りだったので結論として「不適」と書き、次に、別パターンを示せばいいと思います。

「最初のa,bの式で定数項は-3、+1もあるが」のところですが、与式を眺めて、係数や定数項の絶対値を比べて ＋3 にしておいたほうがよいと考えました。 もし、係数の ＋16 が －16 であったら ( －3 , ＋1 ) の組合せを選びます。

@@Choetsu-suu-pさん。 それもいいですね。

@@Choetsu-suu-pさん。 見通しが付けば正解の組み合わせで解いた方が速いですね😊。 ただし、因数の定数項の組み合わせは2通りあるので、なぜ片方のみにしたのかを説明する必要があります。もし、説明が上手くできない人は、2パターンを解いて示せば説明になります。

二つの二次式で置くと展開したあたりで部分点があるのでなければ。 4人中20点が1人で0点が3人、中央値は0点 部分点があるなら最初の部分点が中央値かな？

(2p-1)=qm,(2q-1)=pn ( mとnは、m > nの正の整数 )とおける。4p-2 = 2qm = m(pn+1) だから、　p = (m+2)/(4-nm)。 これが正の整数だから、nm = 3または2または1または0 m>nで両方が正より、以下の場合しかない。 m=3,n=1の時 p= 5, q = 3 m=2,n=1の時 p= 2, q = 3/2 で非成立。

展開すれば証明できるぞ 最悪ラマヌジャンみたいにこれは展開すると一致するって書き方でも問題ないはず

因数分解の一意性から1つ見つければいいんじゃない？

@@sdgrebjt8598 一意性解の一意性であって二次式では使えない。例えばx(x+1)(x+2)(x+3)=(x^2+x)(x^2+5x+6)=(x^2+2x)(x^2+4x+3)=(x^2+3x)(x^2+3x+2)となる。一度複素数解を用いて一次式の積に因数分解してから整数係数のものを示す方法なら一意性を満たしてることになる。

@@ライ麦 うーん、それを示す必要はないと思うな 因数分解できるとすれば二次式×二次式であることが必要条件である時点で与式が因数分解できるとすれば共役な2組の複素数解をもつから実数係数での因数分解は一意に定まる気がするんだが...

@@sdgrebjt8598 確かに複素数解のみの場合は一意だけど、”自身と掛けても足しても実数になる複素数は共役複素数以外に存在しないことを示せ”を自明で済ませるのは少し厳しいと思う。

カルダノの公式は実践的ではありませんが、フェラーリの公式はまだ実践的です。 変数変換により3次の項を消して、2次の項の値を調節して平方完成する方法です。 標準問題精講にも例題として載っていたはずです。

年齢なんて関係ない気がします。一度模試とか受けてみてはどうでしょうか。

@@user-xm2ul7tt4k 模試は受けていませんが、数検1級を受けています。なかなか受かりませんが汗

4次方程式の？ ヤバすぎw