【初中生能看懂的微积分】入门篇：1. 什么是微积分 

我刚出生15天 看了你的视频突然就学会微积分了 现在在准备论文 谢谢

微分就是“化曲为直”，通过无限分割，把曲线化成一系列无限短的直线段。积分就是“还直为曲”，通过无限累加，把一系列无限短的直线段还原成连续的曲线。简单的说，微积分就是通过无限分割和无限累加来处理非线性关系的一种数学方法。对一个非线性函数进行微分，就是把它分解成无穷多个、无穷小的加权线性序列。对一个函数进行积分，就是把这个函数加权的无穷多个、无穷小的线性序列，还原出原始的非线性函数。

大半夜完全睡不著 本來以為可以催眠...結果竟然認真看完了...真的講的很好呀👏

要说我，微分就是麦子磨成面；积分就是面做成馒头。 两句话概况了微积分。

很喜欢你字幕的配色。熟悉的味道，bgm一直在脑中萦绕不能自拔。这才是探讨姿势的正确颜色，爱了爱了。

微積分，是微分學以及積分學兩種數學概念的簡稱。 微分學主要是研究無窮小的極限情況，積分學則是研究無限累積所得到的結果。 這裡面還牽涉到"趨近無窮大"這個概念。但要解決這些問題，則需要對所謂的"極限(limit)" 這概念先給予明確的數學定義。 然後微分學裡主要的定義是導數或微分的概念。導數的概念，則是透過函數在某點導數值的存在來定義函數在該點是可微分。 微分或是導數 (differentiation) 指的是在計算導數值的整個過程。 然後是積分。積分值最初是先把要計算的區域做分割，然後再將所有分割數加總所得到的值。在估計這總和，需要先考慮估計值的上界和(upper sum)以及下界和(lower sum)。當分割的每個區域值趨近於 0 時，如果 upper sum 及 lower sum 的值能趨近同一個有限值，則以此極限值來定義為該區域的積分值。 本來微分跟積分是兩種不同的理論。但由於微積分基本定理被證明出來，才將這兩種理論連結在一起。 也由於微積分基本定理，讓微積分理論有更多的應用可能性。 一般人，對於學習數學總覺得很難。 這是因為數學理論都是以邏輯以及集合論為基礎建立起來。這基礎的建立，是以百分之百無法以人為因素去竄改所能得到的結果。 因此，數學裡面所得到的結果稱為"定理(Theorem)"。離開數學領域，其他的科學領域就稱為"定律(law)"。這兩者的差異， 主要是後者是建立在實驗結果的基礎上。而數學則純粹的是透過邏輯所推導出來的結果。 因此，數學理論的結果並不受空間及時間的限制。其他科學領域的結果，在不同的空間則可能會有不同的結果(因為無法證明都一樣)。 回到學習數學中的障礙問題上。 主要障礙有一個。就是人的思維方式是建立在自己所累積出來的經驗及習慣上。 而且人的思維模式，經常會與數學邏輯模式發生衝突。因為無法習慣及適應，所以才會覺得很難。 至於其他的障礙，如記性不好等，都是可以透過特別的學習方式改善。 就如同數學裡面的無窮級數，把無窮的 1 累加起來，總和一定是無限大。 但不同的級數，有的趨近無窮大速度較快，有的則較慢。這類似不同本質的人，在學習數學的效果上會有所差異。但只要時間足夠，其實絕大多數情況都是可以克服的。 但若本人拒絕(排斥)的話，就真的無法克服了。

口齿伶俐，吐字清晰，语言幽默，比喻恰当，一下子就能抓住人的注意力。相声演员来讲数学，数学老师要没饭吃了。

看了这个视频回顾自己的学习生涯，大学高等数学学完又学了六本工程数学，真没少学，我自己对数学也非常感兴趣，特别爱做习题，高等数学习题集做了四遍，又去买其它数学题集继续做，物理习题也特别喜欢，还有电路习题，工作以后用上了不少，对专业有很大帮助，请记住，想在科学技术专业上有发展，必须学好数学

冲着者封面颜色进来的都是绅士

這個封面以及它的配色就足以吸引大量的初高中生

你是一個很棒的老師 , 你用中文來解釋微積分 , 真的好理解 !

本来想着半夜看视频用以催眠。结果越看越清醒，越看越兴奋……好吧，你赢了。的确是太精彩了。

微积分最难是计算，把一道题给微分出来非常之难，因为这是大自然的真实情况，人类对大部分变化的数字其实是无解的。不过现在有了电脑，电脑就是把图形无限小（视精确度要求）后，用小方块堆积得出结果。

油管中真的充滿天才，初生嬰兒十五寫微積分論文👍

配色相当棒，能勾起学习的欲望。

我二專是機械科（理工）、大學是歷史系（文史）；雖然在文科領域風光一時，但是出社會後發現文科是對求職與升遷毫無用處，既使讀到博士一樣要面臨求職窘境。 我曾經期許一定要把數學、微積分、物理學給學好，把英文能力加強，並希望把我們中國國學學好，至少豐富我的生活。 未來時代文理並重是趨勢，擅長理科的會輔以人文教育，擅長文科則會加強理工素養。

通俗易懂、声音好听，很好的入门介绍，期待你的更多视频。

說得清楚 簡單又明白 誏我得益良多 感恩 非常好的演講。👍👍👍👍👍👍

凌晨三点半突然醒来，打开手机居然点开了推送过来的这个视频，这是要我把四分之一世纪前的课补回来啊！当年学了四次加起来一百分，痛失继续深造机会。 果断订阅。力争一雪前耻。

谢谢小哥缓解了我的睡眠障碍 已订阅

微積分同時也是工業的基礎運算法， CAD、統計、自動化等， 都必須依靠微積分 運用計算機進行海量的數學運算。

喜欢这样的课程,从最最基本的常识和原理讲起

遥想当年我的数学也是全班第一全级第三的水平，现在做的工作，小数点后四位的加减乘除已经完全满足了

講的好，給你按個讚！我們常常是學了半天的微積分結果是很多符號代表意識都搞不清楚，真洩氣！市面上的微積分教科書都是假設你已是大學數學係的學生寫的，很快的講一講就直接進入各種公式了，假如10個公式能看懂8個那沒問題，假如10個公式有8個看不懂甚至10個都看不懂，那就只好對微積分教科書說一聲---對不起，打擾了！

謝謝你放這個教學影片，裡面有幾個片段真的太好笑了哈哈哈

解释得非常通俗易懂，容易让人明白👍

這位老師講得十分之好。 比喻有很貼切。

这部影片很安眠，已经睡着了，谢谢！

感谢你分享这么好的微积分系列。解出了我年轻时学微积分的模糊不清，有醍醐灌顶的解脱。

下次学校要求做ppt时，我也用这个色配好了……

自動導航也運用到了積分的原理， 在導彈上尤其明顯， 當飛行航線與目標面呈貼合之時， 理論上就能準確命中目標， 但實際上還是有近20%以上的誤差， 必須依靠陀螺儀與感測器修正才行。

我个人理解的微分积分，应该是无限分割无序（微分），再用有序来无限求和（积分，基于加减乘除其实都是求和的一种形式）

結果最基本最重要的概念卻沒講，微積分是微分和積分是兩種互逆運算的統稱。

拉丁语：小石子 计算
 把无穷引入计算后，产生的一套计算方法
 把有限的东西分割无穷多次后观察，把无穷小累积后观察的行为
 既然无穷小，还有什么意义？ 我看懂了的是：使用无数的长方形去计算一个梯型的面积。 深入浅出，希望能够使用termux的python来进行就更好了。 例如输入：j， 显示：a=1;b=1;print('a=1,b=1 a+b=',a+b)

声音好，速度控制得好，通俗易懂，幽默但是不庸俗，是我看到最好的视频。希望继续做更多好视频！

我初中就放弃数学的人 现在居然在油管看微积分

看到你解释成分割成小的梯形然后再加回去，我就意识到，微积分不是个精确的算法，说白了就是估算值，它的数值算出来100%是不正确的，只是比较靠近极限值而已，就像圆周率。

刚看完熵，有来看微积分。高数二全忘了，又补回来了，太棒了

這標題的配色我再熟悉不過了

感谢制造视频，其实还是有很多人看的，希望您能坚持下来

老師👨‍🏫請多開教程，很有用。教🉐️好。聲音好聽啊。

你的口才很好，使学生能接受，这极其难得。但要写出世界级，也就是能让人人包括文科人才都明白“微积分是什麽”？ 就要这么讲 （1）为什么当时人类社会出现微积分与极限概念的 （2）为什么微积分会极为有用 （看科学院士的电视演讲“微积分只需要一个例子”，他的黑板书写不要被他人挡住）（3） 你的更多的 分割细化的例子。其中 （1）（2） 部分 文科人也要学得基本数学概念，你的（3）能让理工科学生学习。 最后，（也可与讲“微积分只需要一个例子“的人合作）祝你发表一本了不起的，世界上杰出的微积分入门哲学著作。对提高中国人的科学数学知识，有大贡献！ 关于（1）的话题，你打个电话给我，我可略微启发你一下.www.hslrj.com 马连良梦露全球后援会 20.9K subscribers Subscribe是什麽有历史价值的入门书，

好视频！感谢🙏！大学和研究生时代上了三次课都不太清楚，后来只能简单应用一下。今天似乎有点听明白了！所以学习是好事但一定要遇上好先生。

不错不错， 加油， 我要一直跟着看！我高数是英文学的，以前都对不上中文是什么意思。现在开始跟着你用中文继续学习。已收藏点赞💪支持你

微積分之所以艱澀難懂最該負責任的就是課本與老師 尤其是老師 沒辦法以一般人能理解的方式教授 以致從頭到尾都霧煞煞

非常有帮助，非常感谢您❤❤❤

從極限跟連不連續出發點根本是在拐好幾個彎 比較直觀的物理意義與模擬直接從工程數學上手可能還比較快 頂多把常用的一些微積分跟三角函數算法學會就可以解大部分的題目了

你这个图片选的非常幽默！

講的真的很好 謝謝您

个人看来微积分就是将某个对象放到坐标轴上，进行堆积。就好比我们在求正方形的体积公式底面积乘高就是对于底面积的在高上的堆积。

微積分的英文不叫靠克累死，叫開課樂死。 表面積分進行中，只剩下Stokes這麼最後一個山頭就登頂了。

课本的最求严谨，是来自于作者都是已经懂的人。但对于初学者，这不是有效的方法

就我個人經驗 講解最易理解的 讚讚讚 中國人特別適合教書 哈哈

数学应用于诸如软件开发这种工作就很有意思。

看到up主这个名字我就果断选择关注了！哈哈

计算机软件3D模型就是多个三角形面构成的，面数越多模型就越真实，精细。

以前我的微積分也是很強悍的,可..我TMD忘光了！謝謝您的視頻！

微分就是拆，积分就是堆，关键对象不对称不规则，用最小的极限量来拆和堆。不难就是公式，不要绕。

看了，感觉挺好的， 亲切易懂~~ 加油~ 看好你哦。

在中國，可以說是，格物-致知-這宇宙是個動態，易經是按正-逆63種-大卦變化，又以絕對方位和相對方位，陳述了有形及無形的變化，在陰-中性-陽..的變化，經由分析，識別，而能在三度空間，理解超乎三度空間的大宇宙基本循環。

微積分就是幾何意義就是 y=f(x) 圖形, 任一 (x,f(x)) 的切線斜率

“你不是一个人”这句话一定要把握好重音位置啊。

讲的真心不错，有亲和力

谢谢你，我人到中年，因为需要，重新学起。感谢有你，不然真的学习不下去。

初中生如何学微积分
 拉丁语：小石子 计算
 把无穷引入计算后，产生的一套计算方法
 把有限的东西分割无穷多次后观察，把无穷小累积后观察的行为
 既然无穷小，还有什么意义？ 我看懂了的是：使用无数的长方形去计算一个梯型的面积。
 深入浅出，希望能够使用termux的python来进行就更好了。
 例如输入：ryl
 显示：a=int(input('input：任意两个数相加 第一个数:'));b = int(input('input第二个数：'));print('两个数加法：' + str(a + b)) 希望作者把后面几个部分，先把实际计算写出来，再进行解释，一般的人都可以看懂。 特别结合python编程。 例如输入：j， 显示：a=1;b=1;print('a=1,b=1 a+b=',a+b,') 我偶然发现不学python编程的语法，也可以学会一些python编程的方法。

微積分許多教學沒有花時間説數理的目的，就像是學語言先叫你背單詞字母筆劃卻不先告訴你詞的意思是什麼。學習起來當然難。有笑話說這些老師故意不想教好怕你跟他搶工作。😂

封面好评

說得非常好

时隔一年，我又来了看来了

修了三學期的微積分, 對它一絲印象都沒剩, 但最後畫面的第三個符號喚起我的記憶, 視頻是看完了, 不好意思打擾了

不错，干货，正需要这个

就冲你在视频，果断订阅，希望来更多干货视频，加油~~~~

这个封面让我想到了P站上的微积分视频。。

哈哈哈 加上这些轻松的表情包之后，真的感觉自己行了（叉腰）

这个封面...有点眼熟

从國小到大學數學沒及格過，現在人過中年一事無成，處處工作受挫。

作为一个曾经的高数教师，我承认你比我讲得好

讲了两分钟半的废话非常好

看到一半我关掉了，我微积分考过0分，偶尔午夜梦回还能梦到微积分考试，一个学渣的我的理解是函数已经很烦了，你还要倒过来算，我也不知道演算法怎么会推给我的，这个微积分应该是我这辈子都过不去的坎吧

讲得很好！要是能做成纯音频当听书来听更好了

感谢，我中学没学到感到遗憾，现在学到概念了，知道什么是微积分

我用我自己的方式解讀微积分 凡事要做到誤差最小化

微积分 高等乘除法 小学数学是这样的 一共10个箱子 一共20个苹果 我平均放苹果 问每个箱子装几个苹果 。到微积分 就变成 一共10个箱子 一共20个苹果 但我每个箱子里放的苹果数都不一样 第一个少放 越往后 放的越多 我可以按照不同 函数关系放 我要 问 第四个箱子 我放了多少个苹果。这时候我就设想定义了 可以说幻想一下， 把20个苹果在分成无数份 一个个放 试试 必定箱子是有限的 放进去直到放不下为止 就是极限了 都是我想象的一种方法 最后按照函数关系 我找到那个第四号箱子里的苹果数

讲得太好了 希望能有后续视频

这个我第一次学微积分的时候就明白了，比方说一条抛物线，函数是计算抛物线上点的位置，微积分是求抛物线的面积，就这么简单。

很有帮助，谢谢

有机会讲一下矢量积分吧

我学过两边，人家上高中数学的时候，我就学高数了。 后来是名校退休教授没什么体力了，上来就写大纲，从来不照教材讲课，讲完了就做题，我到现在也不知道实际能干什么。

对！以自然的顺序理解科学

某網站也有教微積分

繼續出片了吧很不錯

，极限，导数，微积分的核心就是渐变，大多数人一听就头疼，没有一个好的教学方法，老师也讲不清楚

你这个封面搞得啊，Exciting！~~~

《如何阅读一本书》的作者也说过，任何实用类的技术，都要通过实操来真正掌握。比如编程、骑自行车、修行、炒股、微积分。

再看，有没有后续了？

好赞

讲的很好 能不能用白色背景， 方便做笔记截图。 我现在的笔记都是手写的， 毕竟看你视频的估计没几个会在电脑上打字的。 还有能不能讲讲关于人工智能的数学知识

謝謝你

要验证概念是否行得通， 少许的 script, 然后交给 rhino grasshopper 处理。。。。。

Cosx. dx. dx是一個點。cosx. 是軌道上的向量軌跡