【无痛高数】所有数都是无理数？有关无限所有困惑的答案（上） 

我也想到这个问题了，没想出答案，能否赐教？

@@jianingzhuang104 本質的原因是如果用diagonal argument產生的數字不一定是有理數，所以我們無法得出產生的數同時“在且不在”這個表上

@@MH-sf6jz 哦，对，谢谢

無理數連續嗎

在一定範圍內連續, 比方說圓的周長就是一個連續的線段, 除了特定位置，包含連續的無理數

了解

很棒的联想

因為要讓無限級數收斂，你也可以用其他方式衰減，只要他能收斂成epsilon 的倍數，然後就可以設定epsilon 為任意接近為0。

不對。你說的「極大於0」是一種極限概念，不是一個任何一個數字，而且任何一個大於0的數都不對，所以概率只能為0，而非大約0

如果有一個數列xn趨向一個極限L，那你會不會說L趨向L？我們說lim xn = L 是因為我們定義L為xn的極限。當然xn各自未必等於L，但我們定義了極限的等於，它符合所有relation的條件，所以我們延伸了等於的定義。 在實數裡面沒有無限小的元素，任何「無限小」都等於0，這是因為對於所有大於0的\epsilon 來說， 0

@@MH-sf6jz 你所谓的延伸等于号，实际上不就是混为一谈的意思？滥用等于号，实际上就是在企图消除随机性，实际上是办不到。例如所谓骰子=1/2的概率，永远只是趋向于1/2，从未等于过，一旦等于就相当于于世界停转，等于号，是一种数学想象。

@@weiryan5413 您能解釋一下為什麼等於1/2就世界停轉嗎

@@weiryan5413 同樣地，一個數字並不能趨向任何東西。那麼如果概率是個數字，那麼他就一定等於某個數字，而不是趨向某個數字，因為所有數列才能趨向。

@@weiryan5413 我猜你是在說sampling的過程中，event的比例未必等於概率本身，那這必然是對的，但我們常說的概率並不相等於event的比例，因為他們兩個的關係只是剛好滿足：event的比例在極限的時候會等於概率分佈。我們不用event的比例來定義概率的原因之一就是因為不可確定性。

当然能找到

精辟，而且这个视频就证明了找到长度为1的棍子的概率为0

@@tqian86 我可以设任何棍子长度为1。数学只关心比例。不关心实际大小

問題就出在無理數不只π

沒有最小長度，只有最小可觀測長度，意思是我們觀測的精度無法超越普朗克長度。 但這並不意味這長度只能是整數倍的普朗克長度，不可觀測不代表不存在。空間、位置並不是量化的，如果你實際去解schrodinger equation/dirac equation， 你會發現空間的特征解是連續的，並非可數無窮。

空間的特徵也會是物質的特徵嗎？

普朗克長度是最低且“有意義的長度”，數學上不存在普朗克長度的限制。

@@chunhung76 這就取決於人們對“有意義”的定義了

普朗克长度之内是另一个宇宙

数学不依赖物理，其合理性仅来自于构建数学的定义本身。

@@ethanz3153不錯!

@@ethanz3153不錯

数学是可以小于普朗克长度的。多读读书

@@abcabc-gl7ug一看人家就是来俏皮话整活的…干嘛人身攻击

概率學本身就是測度論的延伸，所有probability space本身就需要是measure space，只不過所有的event是measurable set而已

是

這個部分在數學上應該是可定義數的概念了 無理數在數學上的定義就是無法使用兩個整數比來表示的數 而pi滿足這個定義

pi並不是真正的圓弧與直線的比例 因為圓弧(包括圓周 圓面積) 人類從未真正得到正確的值 哪怕使用80萬億位的pi去計算 得到的也是約值 有理數不可用一個“約值”去比一個“精確值” 必須是兩個“精確值”的比值

不是圆弧定义了pi，是pi定义了圆弧。 圆弧=pi*线段，pi包含了无限信息，圆弧也包含了无限信息

編號從0開始會有問題。 若"你"這個字編號為0，則 "你"這個句子對應到的是整數2^0=1 "你你"這個句子對應到的是整數2^0+3^0=1 ... ... 以此類推 "你你... ..."這類的句子對應到的都是整數1。 這樣就不會一一對應了。

@@user-liangjun 確實 有道理 我沒想到

1-1就夠，不用onto

證明這件事我們需要兩個知識： 1. 有理數集合Q包含於領地集合D 2. 在機率中事件A包含於事件B時，事件A的機率小於等於事件B ＃關於知識1: 假設q是一個有理數，則q在影片中的排列方式下一定有一個編號，我們把這個編號記成n。 現在我們考慮所有領地中的第n個領地，也就是區間[q - epsilon^n, q + epsilon^n]。很顯然，q屬於所有領地中的第n個領地。 也就是任意一個有理數q都會屬於所有領地中的其中一個領地（當然就是由他自己展開的領地），也就必然屬於所有領地的聯集－領地集合D。 任何一個數，只要他是有理數，那麼他就一定也屬於領地集合D。這句話的意思就是有理數集合Q包含於領地集合D。 ＃關於知識2: 機率公理中做了以下定義。 給定樣本空間S，事件空間F，以及機率函數P。當他們滿足以下三個公理時我們才說(S,F,P)是機率空間： 1. 對於任意事件空間F中的事件E，P(E)大於等於0。也就是所有事件發生的機率都要大於或等於0。 2. P(S)=1。也就是樣本空間－作為事件空間中最大的一個事件－發生的機率是1。 3. 如果可數個事件(E_1, E_2, E_3, ...)互斥，則這些事件的聯集E滿足這個等式：P(E)=P(E_1)+P(E_2)+P(E_3)+... 有了這三個公理就可以推導出知識2。 現在我們假設事件A包含於事件B，並且我們定義事件E為「事件B差集事件A」（屬於B但不屬於A）。則很顯然事件A和事件E互斥，而且事件B是事件A和事件E的聯集。 我們可以從公理3中得知：P(B)=P(A)+P(E)。 而公理1告訴我們P(E)大於等於0，所以我們可以知道P(B)大於等於P(A)。 反過來說就是P(A)小於等於P(B)。 我們就推得了：只要事件A包含於事件B，則事件A的機率小於或等於事件B。 希望有幫助到你👍

他這個是很強的數理資優生吧，超前學習了好多年，我好多年前高一的時候也才出自興趣學了微積分而已。

@@陳玠廷-u3l 我们这边主要是缺书，如果不进数学系根本看不到相关的书籍。

@@骷髏的回憶 你們上網翻牆找，有免費英文數學書可以下載阿，我大學畢業後想休閒讀大學數學系的課就是這樣上網下載，然後還有不錯的知名大學的免費公開課可以看，就是英文不能太爛就能聽得懂了。

邏輯上是正確的，只可惜長度有一個最小值叫普朗克長度，只要能把整個宇宙和所有星體的大小以普朗克長度表示，就能找到隨機取一點是否為天體的機率

错误，天体是有体积的。数轴上的数是一个个的“点”，不可一概而论。

《你爱他但不爱我》

不存在有无限位的自然数

如果用證明實數不可數的方式去套用在偶數上： 一.列出所有偶數 0002 0004 0006 0008 0010 0012 ... 二、取與第n個數字的第n位不同的數字 個位數與0002不同：4 十位數與0004不同：1 百位數與0006不同：1 ... 三、最終構造出的數字 ...111111111111111114 它不是一個有限的數字，所以它不是偶數，因此你沒辦法用這個方法證明偶數是不可數的

實數無法一一對應你所構造的「個位＞十分位＞十位＞百分位...」方法 所有無限小數，例如3分之1，都無法被對應到。 如果有一個整數n對應到1/3，那麼逆向推導，這個整數n將會是： ...30303030303030 這不是一個整數，所以不存在整數n使得n對應到1/3，同理，可以證明所有無限小數皆是如此

@@guangboxu2117 可是自然數不是有無限多，為何不能有無限位？感謝抽空教學解釋一下

@@dying476 為何不是有限數字就不算偶數

《你爱他但不爱我》

​@@blueman等等我去重算（崩潰

ε一直都是/epsilon/

@@chunhung76但是他读的确实是ύψιλον 😅

​@@chunhung76υ雖然拼音上寫u 實際上一般唸y

是不要把 w 唸成 double u，不然我以為你說的是 d 的概念嗎？😂

@@zhao3415 Έψιλον 和Ύψιλον 讀音差很多

😂

制作有点仓促QwQ

@@manshi_math 那你急什么，靠这个吃饭？

@@ymj5161 后面会更注意的！

@@ymj5161 你是不是觉得所有人该给你无偿服务啊😅

@@manshi_math 太谦逊了老哥

2的N0次方

请好好学习！一个在德国的大学研究数学和教数学快十年人的一点忠告。

哪怕是自然数也不见得存在于现实世界：有谁能说1亿这个数字真实存在？无理数和自然数一样，既依赖人的想象，又依赖数学的抽象框架，只是无理数离直觉更远一些。

這就是數學的哲學，到底哪些公理值得選擇。如果放棄無窮公理，那麼數學的一切都會變得索然無味，因為幾乎所有工具都無法使用，我們會失去微積分，實數分析，複分析，PDE，等等。 後者為我們的生活帶來數不盡的工具，當然如果你認為現實沒有無窮，那也不阻礙人們研究無窮，因為無窮可以用作近似很大的數目。現實充斥著大數，所以學習、分析無窮也很有用。數學未必代表的是現實，你不必太較真說問題成不成立，畢竟這不是物理。

你比較搞笑

你太自大傲慢了，根本看不懂影片說的吧，跟畢達哥拉斯一樣拒絕無禮數存在...

无穷小本来就不是0，而是你举出任意一个大于0的数，我都比你小。是一个永远取不到的数，0是它的极限。

@@user-djelwJsskI8964 无穷小不是0，那0.99999就不等于1

​@@spacefreedom在數學上（這裡講的是標準實分析模型，簡單來說就是最常見到的數學），無窮小不是一個數字，它是一個序列的極限，所以你不能說「無窮小不等於0」，因為它不是一個可以直接比較的數字 數學上的「極限趨近於」會被視同「等於」，我知道這很違反直覺，不過你可以這樣想，把「極限」當成一個運算符號，他的功能是把趨近於替換成等於，所以如果你堅持「趨近於」不是「等於」，那至少「極限趨近於」是「等於」，而這是由極限的定義所導致

⁠@@dying476非常感谢回复👍🏻，我肤浅的理解是无穷小的极限是0，但无穷小不是0。 微积分用极限定义也是为了避免出现无穷小的概念。但又有很多地方用到无穷小的概念，而且我觉得“无穷小“和“无穷小的极限”也有些区别，但一直理解不透彻。