【難関大学】油断すると間違える一橋大学の整数問題が面白い 

9:02 で6で割った余りが2と5になる理由がわからない人へ nを6で割った余りを考える→n=6k+0~5と表す nを3で割った余りが2よりn=6k+0~5≡2(mod3)であればよい 6k+0~5≡0~5≡2 であればよい 0~5の中で3で割った余りが2であるのは2と5のみ

大学受験の問題見るの本当に好きで社会人になった今でも本屋で赤本立ち読みしてます 河野さんの大学受験解いてみたシリーズも大好きです、これからも動画待ってます！

前回の動画で知ったmodを使用する良問で分かりやすくてスッキリした笑

すごい分かりやすいです！

とてもわかりやすい

気持ちい問題ですね！

はやく見れたーーー

a≡b(mod m) ⇔ na≡nb(mod mn) は初めて聞きましたが、言われてみれば明らかですね

神解説

やべぇ神やん

mod楽しい、初めてこういう系でノーヒントで行けた。モチベなるわ

今数Aでやってる範囲だからありがたい

6で割ったときの余について。n=6k+0〜5と表せる。 今、n=6k+0〜5≡2(mod3)となればよい。 6kは3の倍数だから6k≡0(mod3)となって、 (6k+)0〜5≡(0+)2(mod3)を考えて、2になるのは2と5。 これは、nが2か5である時、割り切れると言っているが、2つ目の条件でn=2のときは1余ると言っているから5が当てはまるとわかる。

1:40 理解できず詰み 毎回こんなんだけど見ちゃう

(2) aを整数として3a-1の形になるものを奇数乗する(定数項は±1または0と置ける、また式全体の定数項が零になればよい)と考えて n=6a-1,但aは自然数 しかしながら 検算が暗算では困難 余はラマヌジャンではないのだ

受験終わってから受験数学が強くなってく自分w

Mod使えば楽ですね。 普通なら因数分解して答えを求めるのが筋

めちゃおもろ

最後の余りが5になる理由教えてください！

実は京都よりも一橋のほうが整数大学

(1)別解 与式=(n+1)(n^2-n+1) より、n+1またはn^2-n+1が3の倍数 n+1のときn=3k-1(k≧1) n^2-n+1のとき n^2-n+1=(n-2)(n+1)+3 ⇔n-2またはn+1が3の倍数 ⇔n=3k-1(k≧1) 従って、n=3k-1(k≧1)のみ (これより題意を満たすとき与式は9の倍数であることもわかった) 別解2 与式=(n+1)^3-3n(n+1) より、 (n+1)^3が3の倍数 ⇔(n+1)が3の倍数 ⇔n=3k-1(k≧1) だがmodは偉大

記述するときはどんな感じで書けばいいんですか？動画のをちょっと丁寧に書けば点数貰えますか？

合同式では指数の変換はできない modを使って条件を満たす自然数を求める かけることができる

Modular arithmetic offers concise solutions like what Kouno Sensei did in his video, yet experience-based tricks such as 2ⁿ ≡ (-1)ⁿ (mod 3) being shown might not appear in your mind. Binomial theorem (actually serves to prove some basic mod properties, and used to "filter out multiples of 3" in this question) is a tool that helps to bridge gaps. Let f(n) = nⁿ + 1. If n is a natural number, the division algorithm asserts that n = 3m+k where k is an integer and k ∈ {0, 1, 2} - the 3 cases are explored separately: Case 1, k=0: f(n) = (3m)ⁿ + 1 ≡ 0 + 1 ≡ 1 (mod 3) ⇒ f(n) is not divisible by 3 Case 2, k=1: f(n) = (3m+1)ⁿ + 1 = [(3m)ⁿ + ... + Cⁿ₁(3m) + 1] + 1 ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 3) ⇒ f(n) is not divisible by 3 Case 3, k=2: f(n) = (3m+2)ⁿ + 1 = [(3m)ⁿ + ... + Cⁿ₁(3m)(2)ⁿ⁻¹ + 2ⁿ] + 1 ≡ 2ⁿ + 1 = (3-1)ⁿ + 1 = [3ⁿ + ... + Cⁿ₁(3)(-1)ⁿ⁻¹ + (-1)ⁿ] + 1 ≡ (-1)ⁿ + 1 = (-1)ᵐ + 1 (mod 3) (Spotting f(n) = [3(m+1)-1]ⁿ + 1 would do the same with only 1 expansion.) When 2ⁿ appears, to keep separating multiples of 3 out, 2ⁿ = (3-1)ⁿ is a quite natural way to do so. This bails you out even when 2ⁿ ≡ (-1)ⁿ (mod 3) is overlooked (many geniuses would think that it is obvious...). From here things proceed as in the video: there are 2 sub-cases, which are "m is odd" and "m is even" - clearly only the former sub-case makes f(n) divisible by 3.

二項定理で解いたら大変😱

n^3+1を因数分解してしまった。 n^n+1でも出来るんですかね？

一橋と東工大って憧れる

最後の部分、中国剰余定理を使っても解ける

金輪際数学受験することなんてないのに、問題みた途端にmodかな？って思えるぐらい数学力ついてしまった。元々そんなに得意じゃなかったのに… 今の受験生は本当に恵まれている。

合同式で必要条件攻めまくったらいけた

合同式は代入のための式ではないということですねー

合同式習ってない段階で今年の青チャート(数Ⅱで)は練習7で出してきました。(2番目の問題の類題だけどまあほぼこれと同じ) 合同式ってすごい便利そうだなと思いました新高2です

高一なんですがこれ解けるの凄いですか？

8:22のnが偶数で2、nが奇数で0ってのは自明ということで大丈夫なのでしょうか。

阪大プレの過去問に似たようなのがあった気がする

8:50 3で割ったときの余りが2なので6で割ったときの余りは2か5ってなるのが分かんないです。誰か教えて下さい🙏

これ数2青チャートの最初の方の例題であるよね

9:42 黄チャの基本例題123でこれ使ってみたんですけど、できませんでした。 確認なんですが、 2n≡-34(mod84)は2と84が互いに素ではないから2で割ってはいけないんですよね。 でも、 2n=84k+50 n=42k+25(k≧0)←(この問題では) の形ならokですか？ どなたか分かる方教えていただけると助かります 追記 n≡1(mod12) n≡4(mod7) 7n≡7(mod84) 12n≡48(mod84) 35n≡35(mod84) 36n≡60(mod84) n≡25(mod84)でいけました。

なんか河野くんと解いてみると河野くんがどう解いているのかが分かる！

(1)って、n=3k-1(k≧1の自然数)でもいいの？

商業科の自分には何一つ分からぬ…

備忘録60G"【 mod3 の合同式を用いると、】 n ≡ 0, 1, 2 と表すことができる。 ⑴ n≡ 0 のとき n³＋1≡ 1 ∴ 不適, n≡ 1 のとき n³＋1≡ 2 ∴ 不適, n≡ 2≡－1 のとき n³＋1≡ 0 以上より、 n≡ 2 ⇔ n＝ 3k＋2 ( k ∈非負整数 ) ■ ⑵ n≡ 0 のとき nⁿ＋1≡ 0ⁿ＋1≡ 1 ∴不適, n≡ 1 のとき nⁿ＋1≡ 1ⁿ＋1≡ 2 ∴ 不適, n≡ 2≡－1 のとき nⁿ＋1≡ (－1)ⁿ＋1≡ 0 ( ただし n ∈奇数 ) 以上より、n＝ 3k＋2＝ 2ℓ＋1 ･･･① ( k, ℓ ∈非負整数 ) 《 1次不定方程式 》 ⇔ 2･( ℓ－2 )＝ 3･( k－1 ) 2と3は 互いに素より、 k－1＝ 2m ∴ k＝ 2m＋1 ①に代入して、n＝ 6m＋5 ( m ∈非負整数 ) ■

(2)の答えってn=6k-1(kは自然数)でも可能ですか？

なんかそこまで難しく感じなかった、成長というのか…

頭良すぎてついていけない…

法まで整数倍していいってみんな知ってた？割と数学マニアだけど初めてしった！！！！衝撃

(1)で n^3+1≡0(mod3) n^3≡-1 n:自然数より n≡-1 3k-1 (k:1以上の整数) とやったのですが間違えているところなどありますか？

油断してたけど間違わなかった。

1番って3k－1(1く＝k)でもいですか？

問題はさておき、modの読み方俺の地元の高校ではモッドって言ってたけどみんなどうなの

自然数…習ったのは正の整数なんだけどなぁ…答えにkやらxやら入っていいんや…

n 5乗＋n＋1が素数となるnを教えてください。お願いします。

これ文系プラチカにあって簡単に初見でも解けました。

自然数は0以上ですか？ それとも1以上ですか？ わかる方教えてください！

これ解いた時直ぐにmod6閃いて怖かった

動画の1:30~2:10にかけての質問なのですが 0³+1、1³+1や2³+1などと1、2、9は≡で結んで良いのでしょうか？それとも=で結んだ方が良いのでしょうか？誰か教えていだけると幸いですm(_ _)m

これは良問なのか？

9:00 なんで2か5になるん？ 誰かヘルプ

2と3しか扱わなくて済むから運が良かったですね。

9:02 これ分からない

源斗さんが使っているホワイトボードみたいなアプリは何ですか？

文系プラチカのやつやん

(1)の答え3k＋2までは理解しましたがこれが答えじゃないですよね？

なぜ6で割ったときの余りが2か5なんですか？？ そこだけ本当に詰まってるんで誰か教えて下さい！(._.)

9:00 の「6で割った時のあまりは2か5」ってどうやって分かるのでしょうか？誰か助けてくださると嬉しいです>

2n^2×2+1 2×整数^2×2+1 は3の倍数になります なぜ3の倍数になるか説明せよ っていうのを中間で出てきたのを思い出した。 by私学中1

明日の「Qさま3時間スペシャル」に、河野玄斗さんと、山上大喜さんと、上田彩瑛さん他が出演するので、河野玄斗さん達の事、応援しております‼️

この問題青チャに載ってたな

なんか解説あると、解ける

これって高校何年の内容で解けますか?

全く分からない、高３間に合う？

今日やったばっかなんだが

例外はあるかもしれんが、一般に理系学部のある大学の入試なら、「すべて求めよ」って言ったら解が有限個の場合になるのが暗黙の了解だと思う。なんか変。

きもちええええ

プラチカ、、、

おほほ

おー

いち