補助線のセンス問われます　巣鴨　図形 

数学を数楽にする高校入試問題81 amzn.to/3l91w2K オンライン個別指導をしています。数学を個別に習いたい方は是非！ sites.google.com/view/kawabatateppei

巣鴨の数学は個人的に大好き。解けた時の快感が半端ない問題がゴロゴロある。

受験は何十年前に終わったおっさんです いつもは動画を見てるだけで、 それでもなんとなく解法がわかりつつあるようになりましたが やっぱり図形問題は実際にペンを動かさないとだめですね。 今更ながらあらためて痛感いたしました。 高校受験の数学はちょうど良いレベルなので 川端先生の動画が一番楽しいです

私は塾講師のアルバイトをしていてよく中学生に数学を教えているからか、見ていておもしろいなと思います

後の解法は50年以上前にやってたことを思い出して当時が懐かしかったです。

説明が本当に分かりやすい。

高校範囲ですが、三角関数（倍角公式）を使って解きました。 AからBCに垂線AHを引く。角Cの大きさをθとすると、 　AH＝3sin2θ＝5sinθ　（この式は正弦定理から導くこともできる） sinの倍角公式よりsin2θ＝2sinθcosθだから 　6sinθcosθ＝5sinθ 　cosθ＝5/6 ここで、 　BH＝3cos2θ＝3{2(cosθ)^2－1}＝3×{2×(5/6)^2－1}＝7/6　（途中でcosの倍角公式cos2θ＝2(cosθ)^2－1を使った） 　CH＝5cosθ＝5×5/6＝25/6 であるから、 　BC＝BH＋CH＝7/6＋25/6＝32/6＝16/3 川端先生の2つの解き方（相似を使うのと三平方の定理を使うの）は、どちらも美しいですね。

こういう教え方だったら、 当時、図形問題嫌いにならなくて済んだかも知れない。

ペンを持つところまでは一緒でした

この問題は良い問題ですね！さすが巣鴨です。良い問題を出題します。

貴方の動画ほとんど理解出来ました！！！ 私には貴方の説明が一番理解できる！！！ 有難うございます！今年で59歳になりますが 40年前の理系時代が、懐かしく思えてきます！！ 当時、赤本や各学校出題参考書を良く 解いていたな～ッ！！！

角Bの二等分線とACの交点をD BDと平行でAを通る直線とBCの延長線との交点をEとして 三角形BAE∽三角形AEC 3:5＝5:BC+3 というふうに解きました。

上手い事解けるものだ。頭が、溶けそうになる。

こういう問題パズルみたいで楽しいから社会人になっても解きたくなってしまうｗ

この問題は、最初のやり方で角度○○のセンターに補助線を引いて、相似で解くのが一般的だと思います。後半の解き方は50分と試験時間でやるとなると危険だと思いますが、そのやり方を知っていれば、それでいいと思います。ちなみに、この問題は40年前に兵庫県の滝川高校の過去問題❨赤本❩で見ていた記憶があるので、直ぐ解き方がすぐに分かりましたが、川端先生の三平方の定理で解くのではなくて、相似で解いていた解答を見たのを40年も経つのにはっきり覚えています。

相似と三平方の定理の二通りの解き方の説明は直ぐ理解出来ましたが、この問題の勝負所は補助線が引けかが全てだと思います。簡単なようで難易度は高いですね‼️

ちゃんと同じ値になるところが凄いなぁ✨

良く分かる、川端先生、貴方は偉い！

三平方による解法は面白いですね❤

ついに、自力で相似比を用いて素早く解けました！

前半のやり方で解きました😉 角度が2倍だから半分にするために補助線を引いた→二等辺三角形が出来上がった→となりに相似の三角形があった→相似比で一辺だけ長さが求まる→もう一辺も相似比で出せるじゃん！てな感じですね。

解き方は１つ目の相似を使った解き方になるのですが、対応する三角形を構成する３辺の和の比も辺の比と等しくなる事を使えば、 (AB+BD+AD):(AC+BC+AB )＝AB:AC (３+X+(５－X)):(５+BC+３)＝３:５ これを解いて BC＝16/3

解説ありがとうございました。 ”２組の角がそれぞれ等しい！（相似条件）ですね・・

4年も前の動画にコメントするのもなんですが。 この問題はかなり昔からある問題で、解法も先生がやった2通りだと思うのですが、算数的な超速の解法見つけました。 Dを通りABと平行な直線を引き、BCとの交点をEとします。 △DEC∽△ABC（☆） △EBD∽△DBC （二等辺三角形）　 あとは図の中に直接比を書き込んでいくだけ。 DC=DB=⑤とすると ED=EB=③ BC=⑤×5/3 =○の25/3 EC=BC−EB =◯の16/3 （☆）よりBC=16/3 記述だと長くなりそうですが、答えだけなら、計算量が少なく、最速だと思います。

いい問題ですね！力技不要、そして相似だからと言って2次方程式が出てこないのも良い。

△ABD∽△ACBからAB：AD＝⑤：③となりAB＝3よりAD＝AB✖3/5＝3✖3/5＝9/5が求まり､CD＝5－AD＝5－9/5＝16/5となり、 BD＝CDよりBD＝16/5となります。求めるBCをBC＝Ｘとおいて△ABD∽△ACBからAB：BD＝AC：BCなので3：16/5＝5：X ⇒ 3X＝16となりX＝16/3と求まります。ADは相似から容易に求まるので､求めるBCをBC＝Xとおく方が自然な解き方と思いました。

気持ちよすぎます

当時の自分にリベンジできました。 ありがとうございました。

角ABCの二等分線とACの交点をD 角ABD=角ACB ABは三角形BDCの外接円の接線 AB^2=AD*AC AD=9/5 DC=5-9/5=16/5 BC:BA=CD: DA BC=3*16/9=16/3

これはかなりの良問👍

なんと言っても補助線に気がつかないと！

気楽に視聴できました。

意味深に角の比が1:2だから、二等辺三角形を作れば良いことがありそう、あるいは角の二等分線定理が使えそう、という自然な着想が出来ますね。 奇抜な発想はいりませんが、補助線を引くのが苦手な子に教えるのには、非常に良い問題になると思います。

良い問題ですね！（負け惜しみ）

二つの面積の和では求められないですね👍

できたん♪ありがとうございました

先生が大好きな、平方の差の公式を使うのかと思いましたｗ　8:30

3平方の定理の解き方は、いわゆる頭がいい人（勉強ができる人ではない）が思いつくような解き方かなぁ 。最初の解き方はいわゆる「勉強ができていた」私でもすぐに思いつきました

２番目の解き方は思い付かなかったなあ。あそこに補助線かあ。 W大理系卒ですが中学数学が一番面白いですね。

こういうのを見ると高校入試を思い出しますね。もう大昔？ですけれどもね。

○と○○を見て角の二等分線の補助線を引くのは体得済みです。 底角が等しければ二等辺三角形というのも血肉になっています。 漠然と相似比を使うんだろうな～っていうのも入っています。 そして、やっと外角定理で○○なので相似という一連の動きが自然に出てくるようになりました。 中学受験の動画を見ていなければ、多分後半の方法で解いていたと思います。

2つめ解き方、この発想は難しいと感じました。.

暗算無理です。 角Ｂの二等分線とACの交点をＤとする。 よって AB:BC=AD:DC=3:x (∵BC=x>0とした) から AD=5・(3／x+3)=15/x+3･･･① ⊿ABC∽⊿ADBを定例句で認めれば それぞれの辺の比から AB:AC=AD:AB ∴3:5=15／x+3:3 (∵①) 以上から ∴x=16/3

学校選びは、卒業生の進学先やその人数に目が行きがちですが、入試問題を味わう姿勢も必要ですね

三角形の二等分線の比で求められました

面白い！！

中学受験算数ではAD=3x(3/5)=9/5 ,よってDC=16/5=BDで解きますね。

毎日お疲れ様

（別解） ∠Bの二等分線とACの交点をDとすると、△ABD∽△ACB ∴ AB:AD=AC:AB　3:AD=5:3　AD=9/5 また、AB:BD=AC:BC・・・①　 さらに、△DBCは二等辺三角形となり、BD=CD=5-AD=16/5 ①は、3:CD=5:BC となるので、BC=5 * CD /3 = 16/3

この問題、余弦定理を使って解くなら加法定理も必要になる

自分は、二番目の解法だと正解に導きやすいと思った。

これは解法が1秒でわかった！

正弦定理でゴリ押したw

解法はわかりました。 ただ、与えられた条件を満たす三角形は、いくつも書けそうな気がします。例えば、角Ｂ＝20度、角C＝10度、あるいは角Ｂ＝40度、角C＝20度。 などいくらでも。 それなのに、三角形は一つに決まってしまうということをこの解答の結果が示していると思います。 なぜ、ですかね？

うちの親父が60年前にこんなに頭よかったのかって、驚きました。

shiroyagi31415という方が、数ヶ月前に「高校数学を使えば簡単に解ける、中学数学は本当に無駄」という様なニュアンスのことをおっしゃていた様なので、実際に高校数学を使って解いてみましょう。 三角形ABCにおいて、AB=3,AC=5,∠ABC=2•∠ACB ∠ACB=xとして、正弦定理より (3/sinx)=(5/sin2x)・・・(イ) ド・モアブルの公式{(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ)}より(ただしiは虚数単位) sin2θ=2cosθ•cosθ cos2θ=cos^2(θ)-sin^2(θ)・・・(ロ) (ロ)より、(イ)・・・(3/sinx)=5/(2cosxsinx) 両辺に2cosxsinxを掛けて 6cosx=5 ∴cosx=5/6 ∴cos^2(x)=25/36 cos^2(x)=1-sin^2(x) よりsin^2(x)=11/36 (ロ)より、cos2x=cos^2(x)-sin^2(x)=(25/36)-(11/36)=14/36=7/18 BC=AB•cos(∠ABC)+AC•cos(∠ACB)=3•(7/18)+5•(5/6)=(7/6)+(25/6)=32/6=16/3 この様になります。彼は、正弦定理、余弦定理、倍角と言っていたのですが、まあ余弦定理に関しては倍角を証明するために使ったのかな？と推測して、ドモアブルの方が早いので、こちらで証明しました。 さて。。。。。かなり丁寧に書いたからとは言え、中学数学と高校数学、どちらの方が楽でしょうか？ 僕は、高校数学なんてクソだと思うんですがw 中学数学の方がよっぽど美しくないでしょうか？w ご意見お待ちしております。

面白すぎる

🔺ABCの線AC上のD点からBに向かって角ABCを二等分する様に点Dの位置をきめ、🔺DBCをつくると、🔺ABCと相似となる。二角ひとしい。DC=DB=xとし、BCをxであらわすと5x/3でAC:AB=AB:ADで 5:3=3:(5-x) X=16/5. BC=5/からxに代入するとま5/3x16/5=16/3となります。

相似というアプローチで解くのであれば先生の仰る通り相似の式に元々の図形である△ABCが組み込まれた形が理想ですね。

∠Bが∠Cの2倍になっているときに∠Bを二等分する補助線を引くのって、もはや定石みたいになってきてる気がする…

補助線まで引けたけど、そこから進まなかった。。

解法2 a²=b²-c² が出てきて「和と差の積だ！」と思ってしまった訓練され過ぎな私。

4と即答した人は私だけでは無いはず…ww

角ABCの二等分線を引き線分ACと交わる点をDとして点Aから線分BDに垂線を引き、線分BCと交わる点をEとする。それでなんとかAD＝9/5,CD=16/5,BE=3になってメネラウス使ったらできた

60歳から高校の社会人も生徒と一緒に学べる単位制で、数学勉強します、昨年からコロナで通学出来ず、毎日RU-vidで、楽しんでますよ

このような形は無限ニ等半三角形になります。

５０年以上前に「全国高校入試問題集」に「巣鴨高校」がありました、「すがも」という特徴のある名前で覚えています・・

めんどくさそうだから、考えない → わからない 高校で習う式（名前忘れた）で解けば出来そう。でも公式忘れた。

ぱっと見で 角B=角C×2 の条件で勝手に1:2:√3って決めつけちゃったから俺はこの問題間違えてしまうらしいw スリッパって覚えてたけど"外角の性質"って言うのね👦🏻

掃除じゃなくて相似

補助線を引くと5:3の相似形の三角形が出来て、更に二等辺三角形が出来て、どうちゃらこうちゃらして5分の16×3分の5=3分の16で答えは3分の16。 三平方の定理を使う方法はなるほど。

当然だが三平方使わなくても解ける

2個目の解き方って角Aが角Cよりも大きい場合に限るんじゃないんかな。記述じゃなく、答えだけを出すならいいのかもしれないけど。

図形問題は線を足しまくってたら途中でわかんなくなる...

あんたを4年前に知ってれば…

高校入試だから正弦定理余弦定理禁止なんだね 角C=αとして3sin2α=5sinα　cosαが出るから3の2乗＝5の2乗+BCの2乗-2×5×BC×cosαで 2次方程式解けば答え　しか思いつかなかった

相似でも三平方でもない方法で解いてしまった。美しくはないけど笑

現代の中学生は賢い！

その垂線が思いつかなかった!!チクショー!!センスないなぁ

三角関数使ってごり押ししました。。。

二等分線からの相似で瞬殺

まず、一つの解なのか考えて数分要した すると 3sin(2θ)＝5sin(θ) の時の 3cos(2θ)+5cos(θ) を出すのかと思って暗算の領域が破綻した

〇〇の意味が〇の2倍の角度を示すという事を綺麗さっぱり忘れ去っていた・・・

母校だ

掃除がわかりまてん

誰か正弦定理で殴れ()

草はえる

CADで絵を描いて長さを図る、計算するなんて時代遅れ。

正弦定理、余弦定理、倍角公式を使えば楽に解けるのに・・・ 中学数学ってホント無駄！