안녕하세요 선생님 저는 중학교 2학년 학생입니다. 학교 도덕숙제로 선플 달기 챌린지를 하고 있습니다. 이번에 학교에서 경우의 수를 배우게 됐는데 너무 이해하기가 어려워서 선생님의 영상을 보게 되었습니다. 근데 보자마자 바로 이해가 돼서 놀랐습니다!! 어쩜 그리 설명을 잘하시는 지..🥹 감사합니다!!앞으로도 열심히 챙겨보겠습니다(제 친구들에게도 추천해야겠어여....)
[또는(or) / 그리고(and)의 명확한 개념 구분] ## 선생님께서 잘 가르쳐 주시네요. 길지만 이 글을 통해 학생들이 느끼는 애매함이 많이 해소되길 바랍니다. ## ## 이하 글은 100% 순수 자작글입니다. ## #01. 이 두 개념을 명확히 하기 위해서는 '또는'의 개념을 먼저! 이해하고 그 후 '그리고' 개념을 이해해야 한다. 대부분의 중2 수학 교과서에서도 '또는'을 먼저 설명한 후 '그리고'를 설명한다. #02. '또는'의 경우는 동시에 발생되지 않음을 의미한다. 한식 3종류, 양식 4종류가 있을 때 철수가 한식 또는 양식 중 1개를 선택하는 경우의 수는 3+4가 된다. 이는 특정 한식 1개와 특정 양식 1개를 동시에 고를 수 없다는 뜻. #03. [x ≥ 3] 는 [x=3 또는 x >3]으로 나타낸다. x가 3 이면서 동시에 3 보다 클 수는 없다. 이 예에서도 '또는'은 동시 발생이 될 수 없다. 단, 집합의 개념에서는 약간 달라진다. '또는'은 합집합의 개념이다. (A ∪ B)는 집합 A와 B를 다 포함하기 때문에 (A or B)는 A도 되고 B도 되며 A와 B 둘 다도 가능하다. #04. 일반적으로 '그리고'는 '또는'의 반대 개념으로 볼 수 있다. 이러다 보니 '또는'은 동시에 일어나지 않음을 말하고 '그리고'는 그 반대로 '동시에 일어남'의 개념이 되어 버린다. 그러나 '그리고'의 '동시'라는 개념은 한국 사람이 흔히 알고 있는 '동시'와는 약간의 미묘한 차이가 있다. 그런데 영어권 사람들은 쉽게 이해하는 듯하다. 이러한 이유는 *주석1* 을 참고하자. #05. 예를 들어, 줄세우기에서 5명 중 3명을 골라 줄을 세운다고 하자. 그럼 첫 번째 1명, 두 번째 1명, 세 번째 1명을 각각 선정해야 하는데 이것이 '동시'라고 ??? 3명을 한꺼번에 선정하여 데리고 나와도 다시 첫 번째, 두 번째, 세 번째의 자리를 정해줘야 한다. 이것이 한국 사람들이 흔히 알고 있는 '동시'의 개념일까? 이 부분이 한국의 학생들이 and와 or를 이해하는 데 가장 큰 걸림돌이 된다. #06. '동시'라는 의미를 이해하기 위한 한 가지 방법은 '연립방정식'의 연립(聯立)이다. 한자가 등장해서 벌써부터 머리가 아프기 시작하겠지만 뭐 알고 보면 별 거 아니니. #07. 연립 1차방정식 x+y=2, 2x+y=3 에서 자연수 x, y의 해는 x=1, y=1이다. 첫 번째 식에 대입해도 2=2로 성립되고 두 번째 식에 대입해도 3=3이 성립된다. #08. 연립 방정식을 영어로 나타내면 simultaneous equations이다.(주석2 참고) simultaneous를 연립(聯立)으로 번역했다. 이때 연(聯)의 뜻은 '잇다', '연결하다'의 뜻이다. 영어 뜻 그대로 하면 '동시의 방정식'인데 한자어 뜻으로 하면 '연결된 방정식'이다. 연결되어 있어서 해를 1st 방정식에 넣어도 성립하고 2nd 방정식에 넣어도 성립된다는 의미. 이게 확률에서의 '동시'를 이해하는 단초가 된다. #09. 다시 줄세우기로 돌아가자. 5명 중 3명을 뽑는다. 1st 자리에 5명 중 1명을 데려온다. 이때의 경우의 수는 5이다. 2nd 자리에 (5-1)명을 데려 온다. 경우의 수는 4이다. 3rd 자리에 (5-2)명을 데려오는 경우의 수는 3이다. 이 3가지 단계의 경우의 수를 곱하여 총 경우의 수는 5 × 4 × 3 이다. 왜 3 가지 단계 각각의 경우의 수를 곱하지? 이게 '동시'라는 의미? 더 구체적으로 말하면 시간적으로 동시인가? 아니다. #10. 줄세우기에서 1st 자리에 A를 세웠다고 치자. 그럼 '그 다음'/'연결해서'/'잇달아' 인 2nd 자리에 B를 세웠다 치자. 또 '그 다음'/'연결해서'/'잇달아' 인 3rd 자리에 C를 데려 올 수 있다. 첫 번째 단계에서 두 번째 단계로 넘어갈 때 '그 다음'/'연결해서'/'잇달아'가 나오며 두 번째 단계에서 세 번째 단계로 넘어갈 때도 '그 다음'/'연결해서'/'잇달아' 가 나온다. 이게 경우의 수와 확률에서의 '그리고(and)'의 개념이다. #11. '그 다음'/'연결해서'/'잇달아' 외에 이해하는 방법이 또 있다. 1st 자리에 A가 오든 B, C, D, E가 오든간에 5명 그 한 명씩 '그 각각에 대하여' 2nd 자리에 4명이 올 수 있고, 또 4명 '그 각각에 대해' 3rd 자리에 3명이 올 수 있다. 이 '그 각각에 대해' 라는 설명은 중2 수학 교과서에 공통적으로 다음과 같이 언급하고 있다. --------------------------------------------------------------- 일반적으로 사건 A가 일어나는 경우의 수가 m이고 '그 각각에 대하여' 사건 B가 일어나는 경우의 수가 n이면 두 사건이 동시에 일어나는 경우의 수는 m × n이다. 좋은책신사고 p.247 동아 p.251 미래엔 p.232 비상 p.235 ----------------------------------------------------------------- #12. 마치며) 우리가 흔히 아는 '동시'라는 것과 경우의 수, 확률에서의 '동시'라는 것이 약간의 차이가 있다는 것이 핵심이다. 제목은 항상 "두 사건 A와 B가 동시에 일어나는 경우의 수" 이렇게 표현해 놓고 있지만 실제 설명에서는, #11 에서 알 수 있듯이. '그 각각에 대하여'라고 명확하게 설명하고 있다. 경우의 수와 확률에서 '그리고(and)'는 문제에 따라 '동시'의 뜻도 물론 포함되겠지만 덧붙여 '그 다음/'연결해서'/'잇달아'/'그 각각에 대하여' 라는 의미가 있다는 것을 알아야 더 쉽고 정확하게 이해할 수 있다. 영어권 사람들은 경우의 수나 확률에서의 and의 뜻을 한국 사람들보다 쉽게 받아들일 수 있다. 왜냐하면 and의 뜻 자체에 다음과 같은 뜻이 포함되어 있기 때문이다. (1) A와 B가 시간상 연속해서 일어날 때: She washed dishes and she dried them. 고급영문법해설 제3개정판(박영사, 문용 저) and 용법 중 p. 449 옥스퍼드 영영사전에 나와있는 simultaneous equations의 뜻은 다음과 같다. equations involving two or more unknowns that are to have the same values in each equation. (연립방정식이란 두 개 이상의 미지수를 포함한 방정식들이며 각각의 방정식은 같은 값의 미지수를 가진다.)