Wenn man von vorn herein überzeugend (also nicht vage) argumentieren kann (und ich denke, das kann man), dass die grüne Fläche gleich groß wie die rote ist, dann ist es klar, dass sie beide je halb so groß sein müssen wie die rote Box. Dann kann man sich das Integrieren ersparen. Man teilt einfach die Fäche der Box (also 4Pi) durch 2.
Bei Minute 2:46: Sollte es nicht heißen, dass cos(x) seine HP immer bei y = 1 hat und durch die Verschiebung um 1 nach oben die HP jetzt bei 2 sind? Danke für deine Arbeit, ist sehr hilfreich fürs Matheabi!
Abitur: ICH schrieb es wahrscheinlich tatsächlich. Du kennst mich ja…. Es ist Wahnsinn. Ich bin auch mit meiner Hausarbeit fast fertig Von der Waldorfschule bis aufs Gymnasium gekämpft
Lösung: a) Die Funktion ist periodisch und alle Hochpunkte liegen auf der Geraden y = 2. b) Durch die Symmetrie und durch die Tatsache, dass die Funktion periodisch ist, kann ich auch die Fläche von 0 bis π berechnen und mit 2 mal nehmen, dann ist das gleich der grauen Fläche: π π 2*∫[cos(x)+1]*dx = 2*[sin(x)+x] = 2*[0+π-(0+0)] = 2π ≈ 6,2832 0 0 Liebe Magda, man könnte auch deine Idee mit dem Rechteck von 0 bis 2π nehmen und durch die Periodizität und die Erkenntnis, dass die Schlangenlinie der Funktion genau dieses Rechteck zur Hälfte teilt, und könnte die graue Fläche ganz ohne Integralrechnung berechnen. Dann ist nämlich die graue Fläche die Hälfte von diesem Rechteck, also 2*2π/2 = 2π ≈ 6,2832
Zu a) Da ja die Funktiosgleichung f(x)=cos(x)+1 lautet, schneiden die Gerade g die Gf-Funktion durchgehend im Höhepunkt 2 die y-Achse und nicht bei 1, sonst würde die Gleichung gelten y=cos(x) Zu b) Der Inhalt der grau schraffierten Fläche lässt sich relativ leicht berechnen, durch (2•2π)÷2=6,283 qcm. Wollte man die Fläche durch Integralrechnung bestimmen, müsste man eine umständliche Stammfunktion aufstellen, etwa in der Form: ∫ 2->-π (cos(2)^2/2+(2^2)/2+2 - (-π^2/2)-π •dx ∫ [6,292qcm•dx]2->-π
Endlich wieder Mathe (kleiner Scherz, sorry!) 😉. Die wie ich finde richtige, weil einfache Idee hatte Magda doch auch gleich zu Beginn des zweiten Teils der Aufgabe: Das Rechteck mit der Fläche A = 2 × 2π Die gesuchte graue/rote Fläche ist dann genau die Hälfte davon (auch das sagt Magda im Video selbst), also ½A = ½ × 2 × 2π = 2π Fertig! Warum dann noch "auf-" und ableiten, integrieren und mit Sinus und Cosinus "herum jonglieren"? 🤔 🙂👻
Die Gleichheit der beiden Flächen muss auch erstmal nachgewiesen werden, ohne diesen Nachweis ist es nichts weiter als eine Vermutung. Dafür benötigt man ebenfalls Integrale, aber man muss sie möglicherweise nicht berechnen, sondern nur die Gleichheit von Integralen feststellen unter Ausnutzung der Achsensymmetrie der Cosinus Funktion. Ich bezweifle, dass dieser Nachweis schneller geht als die direkte Berechnung, die ja nun wirklich sehr elementar ist.
@@Eddizet Für jede Funktion gilt h(x)+(-h(x))=0 - nicht nur für cos(x). Dann müsste die Gleichheit der Flächen ja für beliebige Funktionen gelten, was wohl kaum der Fall ist. Das kann als alleiniges Argument nicht der Grund sein.
@@berndkru na ja, wenn Sie verlangen, dass ein Schüler _beweisen_ muss, dass die Fläche unter zwei halben Cosinus Perioden genauso groß ist wie die einer ganzen (auf dem Kopf stehenden) Periode, also praktisch, dass ½+½=1 ist, dann dürften Sie aber einem Schüler, der Magdas Lösung wählt, nicht _unbewiesen_ durchgehen lassen, dass Sinus und Cosinus sich gegenseitig ab- und "aufleiten" lassen, oder? Nicht falsch verstehen, Magdas (komplizierter) Lösungsweg ist völlig legitim, der einfache übers "halbierte" Rechteck zumindest für diese konkrete Aufgabe m. E. aber auch. Nur darum ging's mir. 🙂👻
Ist der genaue Grund, beide Funktionen sind zur x-Achse symmetrisch und demnach die Flächen über und unter der x-Achse auch gleich... reicht doch als Beweis 😊
Kommt auch aufs Bundesland an und darauf, was dein Lehrer für euch wählt. Also keine Sorge, wenn ihr das nie gemacht habt, wirst du davor verschont bleiben!
Ich gehe doch davon aus, dass sowohl Winkelfunktionen und Additionatheoreme noch in der Oberstufenmathematik dran kommen, oder täusche ich mich da!? Aber ich habe schon gehört, dass teilweiße e-funktionen keine Rolle mehr spielen.
