#01 Exercício de Transformação Linear. | 05. Álgebra Linear. 

Núcleo de T: (x - z, y, - y) = (0,0,0), logo: x - z = 0 y = 0 - y = 0, cuja solução é y = 0 e x = z. Arbitrando x = t, t ∈ ℝ, temos que ker(T) = {(x,y,z) ∈ ℝ³ tal que x = t, y = 0, z = t, t ∈ ℝ} Como ker(T) é gerado por (1,0,1), uma vez que (t,0,t) = t(1,0,1), e {(1,0,1)} é LI, temos que B1 = {(1,0,1)} é base de ker(T) e dim ker(T) = 1. Imagem de T: (x - z, y, - y) = x(1,0,0) + y(0,1,-1) + z(-1,0,0), portanto Im(T) = [(1,0,0),(0,1,-1),(-1,0,0)], porém esse conjunto é LD, portanto não é base. Isso pode ser identificado pois (-1,0,0) = -(1,0,0) portanto são múltiplos. Ao excluir um deles, (-1,0,0) por exemplo, obtemos um conjunto LI: a(1,0,0) + b(0,1,-1) = (0,0,0) (a, b, - b) = (0,0,0), da qual resulta imediatamente que a = b = 0. Dessa forma B2 = {(1,0,0),(0,1,-1)} é base de Im(T) e dim Im(T) = 2.

Aula maravilhosa Aquino 🙏

Obrigado pelas aulas professor, fiz um PIX.

EXCELENTE AULA!!!

Álgebra Linear é top...parabéns professor pela aula! Obrigado pela aula!

suas aulas me salvaram mt obrigado (so foi dificil nas primeiras aulas)

Você é top! Aula muito boaa!!!

Boa explicacão professor! Mto bom 👏 poderia pensar assim, como vc fez ker(T) = [(0,1,1)] e do teorema do núcleo imagem concluímos que Im(T) = 2. Logo, tome a base de IR3 {(0,1,1),(1,0,0),(0,1,0)} que claramente é LI e obter T(1,0,0)=(-1,1,0) e T(0,1,0)=(0,0,1) que são LI e, portanto, base de Im(T), ou seja, Im(T)=[(-1,1,0),(0,0,1)]

Parabéns

A imagem não deveria ter uma base com 3 vetores já que o contradomínio é R³ ? Não poderia adicionar um terceiro vetor da base canônica?

Base para Im(T) que eu achei foi { (-1,0,0) , (0,1,-1) }

Como classifica sobre a injetividade desta questão?

e se T: R³ --> R³, T(x,y,z) = (x + y + z, x - y + z, x + y - z) , qual seria o Nucleo ?