A Very Nice Geometry Problem | 3 Different Methods To Solve 

If D is a point on AB such that CD bisects ∠ACB, then ∆DBC is Isosceles with DB = DC. Also, ∆ACB is Similar to ∆ADC, hence AB/AC = AC/AD = BC/DC (X+1)/(X-1) = (X-1)/(X+1-BD) = X/BD = (2X-1)/(X+1) (The second and third equalities can further be simplified by adding numerators and denominators) This gives X² = 5X X = 5

@6:45 , instead of cross-multiplying, we can also use componendo and dividendo, we get, 3x = 2x+5 giving x=5.

Thank you for your videos.

I looked at the canonic elipse so that B and C are the focuses. 2a = x + 1 + x - 1 = 2t , BC length is t . Using the formulas of the radius vectors , that their length is t - 1 and t + 1 .... and using the tg2alpha formula .... I managed to solve.

Love it when you say ² - "e-sqwe" 😉 Happy New Year, keep 'em coming!

By tangent lemma (x+1)²=x-1(x-1+x)

راه حل م: قانون کسینوس ها . وراه حل هندسی محظ از فرمول مساحت ممحسیط مثلث و...

По теореме синусов найдем cos t=(x+1)/2(x-1), затем применим теорему косинусов относительно стороны (х - 1), ответ 5.

Nice. 👍

Teorema dei seni...x+1/sin2θ=x-1/sinθ=x/sin3θ....x+1=(x-1)2cosθ...x-1=x/(4(cosθ)^2-1)...ricavo cosθ dalle prima e la metto nella seconda...x=5..x=1 da scartare, ovviamente...e θ=arccos(3/4)=41,4°

Какой ебиси, если такого быть не может? Прведи из угла 2Q биссектрису на АВ, чтобы получился равнобедренный треугольник. Что, не получается? Так вот нарушаются заповеди Евлида, который сказал, что в геометрии главное, правильные построения!

3rd method is suprior

Пусть m - проекция AB на BC. Теорема Пифагора для высоты треугольника из вершины A на сторону BC: h^2 = (x+1)^2-m^2 = (x-1)^2-(x-m)^2 => 4x = (2m-x)•x => m = (x+4)/2. Пусть D - точка на BC, такая, что DA=AC. Рассматривая углы треугольников ADC и DAB, получим, что DAB - равнобедренный, то есть DB=DA=x-1, также то, что DC=BC-DB=1. Высота ADC из точки A делит DC пополам, то есть проекция AB на BC: x-1+1/2=x-1/2. А это и есть размер m, который найден выше: x-1/2=(x+4)/2 => x=5.

3....234 triangle and multiple of thereon

x=5

X=5cm

. sint/(X-1)=2sintcost/(X+1) --> 2cost = (X+1)/(X-1) . sin3t = sin(2t +t) = sin2t cost + cos2t sint = 2 sint cos²t + (2 cos²t -1) sint = sint ( 4cos²t -1) . sint/(X-1)= sin3t/X --> X/(X-1)= 4cos²t -1 . X/(X-1)= 4cos²t -1 X/(X-1)= [(X+1)/(X-1)]² -1 . X(X-1) = (X+1)² - (X-1)² X² -X = 4X X² -5X = X(X-5) = 0 --> either X=0 (rejected) or X=5 is the answer .

For your second part of solution I think it was better to use Heron's formula to solve for x.