Admission Stanford : x³-y³=2019 avec des entiers ?? 

Merci c'est très sympa 😊 !

Oui excellent!

Ça marche aussi 😄

C’est en effet beaucoup plus rapide comme ça 😄 je n’y ai juste pas pensé à l’époque de la rédaction, bien joué 😊

pareil en dessous 3 (x^2 - 3x - 664/3) = 0 664/3 n'est pas un entier donc, pas de solution dans N

Yes c'est plus efficace, quelqu'un m'a fait un commentaire similaire plus tôt : c'est juste que je n'y ai pas du tout pensé en corrigeant l'exo ! 😅

J adore je suis pas le seul a penser comme ca

Très bon merci!

C'est sous-entendu dans le programme notamment lors de l'étude du second degré ! Mais oui top méthode, à diffuser au max pour tous les lycéens

Pas mal du tout :D ! Bien joué pour l'astuce autour de la formule. Pouce bleu !

Faut admettre que ça m’est venu instantanément car j’avais résolu un exercice qui ressemblait un peu il y a peine quelque jours : 2^m-2^n=2016. Pour être honnête j’avais aucune idée de la façon de faire mais j’avais eu comme première idée de faire la décomposition de 2016 en produit de facteurs premiers mais ça me donnait rien d’interessant après deux minutes de réflexion j’ai cherché un lien entre m et n et là ma première tentative d’écrire m comme somme de n plus une quantité à déterminer a fait apparaître immédiatement le bout du tunnel pour moi. C’était par pur hasard que mes premières tentatives d’approche aient été immédiatement les bonnes. Souvent la recherche c’est beaucoup de chance. Raison pour laquelle je crois pas aux génies. On a une idée et par pur hasard c’est la bonne, c’est pas pour autant qu’on est supérieur à ses pairs qui n’y avaient pas pensé auparavant. Donc là j’ai vu ton exercice et immédiatement je me suis dit allons pour appliquer la même méthode. Quand la décomposition de 2019 en facteurs premiers m’a donné 3*673 j’ai cru que ce serait une impasse mais je suis allé au bout de l’idée et j’ai vu au finish que non et que c’était bien une bonne idée et qu’heureusement qu’il n’y avait pas plus de facteurs. Ça me rappelle également un conseil de Connes Alain qui disait qu’il fallait jamais abandonner une piste (il aurait dû préciser « souvent » pour tempérer le sens de son conseil mais en réalité il n’y avait aucune ambiguïté). Et que souvent la solution est comme derrière un mur et que la recherche c’est comme percer le mur. Si le mur est épais on aura comme la sensation d’aller nulle part alors qu’en réalité on se rapproche de la solution et donc qu’il faut explorer complètement une idée. C’est un bon conseil mais qui a également ses limites je pense. Il aurait dû nous préciser à quel moment on sait qu’une piste est vraiment une impasse. Imaginons que le mur à percer est à Paris et que l’on se met à percer des murs à Moscou… comment reconnaître que l’on est dans une impasse? J’aimerais avoir ton avis là-dessus.

Très bonne remarque je suis assez d’accord avec l’idée générale. Sur un exo de maths savoir quand s’arrêter c’est une question de temps passé sur une piste. Ne la jette pas à la poubelle si elle n’aboutit pas au bout de 30 minutes, mais pars sur une autre qui t’est venue, puis tu pourras y revenir par la suite. Mettre un paquet d’effort c’est important puis savoir s’aérer pour mieux revenir c’est souvent la meilleure recette! Que ce soit pour conclure qu’il faut abandonner la piste ou bien pour résoudre l’exo Bien à toi!

C'est top merci !

Mais oui en effet je n’avais pas vu ça :) ! Merci Sylvain pour cette remarque!

Exactement, j'ai pu faire tout l'exercice de tête allongé dans mon lit grâce à cette astuce :)

Tu t'embêtes encore. L'erreur de débutant à faire dans cet exercice c'est de continuer à utiliser les identités remarquables alors qu'on en a besoin seulement pour écrire que x-y divise x²-y² et x^3-y^3. Voilà ma solution : Bon alors déjà pour la décomposition de 2019 en facteurs premiers, pour éviter de faire son galérien, voilà comment on procède. Le début est trivial pour 2, 3 et 5, on voit que seulement 3 divise 2019 et mais pas 2019/3=673. Ensuite on peut tester 7, 11, 13 et 17 EN MEME TEMPS. On écrit simplement que 2019=2002+17. On connaît en effet le nombre 1001, très utile en calcul mental parce que sa décomposition en facteurs premiers est 7x11x13. On voit donc tout de suite que puisque 17 est premier avec tous ces nombres, ça empêche 2019 d'être divisible par tous ces nombres, et que puisque 2002 n'est pas divisible par 17, 17 peut être écarté aussi. On écarte facilement 19 en écrivant tout simplement 2019=2000+19 et même conclusion. Et enfin, pour 23 même pas besoin de se fatiguer sachant que le premier nombre ayant 23 comme plus petit diviseur après 23² est 23x29, dont il est évident qu'il est plus grand que 673. Donc c'est torché. Pour la suite, on n'a besoin d'exhiber les identités remarquables que pour montrer que x-y divise, x²-y² ainsi que x^3-y^3. On a aussi besoin de dire (ce qui a été totalement zappé dans la vidéo) que comme la différence est positive ET x et y tous les deux positifs cela force x-y>0 (sinon pour x et y quelconque les valeurs négatives sont aussi à considérer). Une fois que j'ai dit ça x-y vaut 1 ou 3. Je vais donc me contenter d'écrire x=(y+1) ou x=(y+3) et je vais voir ce que ça donne. Pour x²-y² et x=y+1 : 2y+1=2019 donc y=1009. Torché. Pour x²-y² et x=y+3 : 6y+9=2019 donc y=335. Torché. Pour x^3-y^3 et x=y+1 : 3y²+3y+1=2019 soit 3.(y²+y)=2018. Si y entier le premier membre est multiple de 3 mais pas le deuxième. Pas de solution. Torché. Pour x^3-y^3 et x=y+3 : 9y²+27y+27=2019 : pour y entier le premier membre est divisible par 9 mais pas le deuxième. Pas de solution. Torché.

Oui c’est beaucoup plus simple! Quelques personnes l’ont souligné également en commentaire, c’est plus efficace! Je n’y ai juste pas pensé quand j’ai fait ma correction 😄

Merci Guillaume très bonne remarque! C’est une excellente méthode qui m’a échappé sur le moment. Pour terminer sur la table de congruences il faut aussi étudier les cas mixtes x=3a et y=3a+1 x=3a et y=3a+2 x=3a+1 et y=3a+2 (pour celui ci c’est même plus rapide avec y=3a-1) A bientôt sur la chaîne!

@@TheMathsTailor Il a justement écarté les cas mixtes au début en remarquant que x et y sont congrus modulo 3.

@fabien vous avez raison ! J’ai été un peu trop vite en besogne sur ce coup là 😅

Faut aller jusqu'au bout de la video

Merci! Dans le cas que vous citez un des deux nombres serait 1009,5 Ça serait une démarche valide en cherchant des réels mais ici nous sommes contraints à chercher des entiers !

@@TheMathsTailor oui on cherche x et y entiers, mais cela ne veut pas dire que (x-y) et (x2+xy+y2) soient également des entiers ?

Je pense qu’on peut dire : x, y entiers => x-y entiers , x2 entier, xy entier ;)

C'est cette étape de la demo qu'il me manquait ;-)

@@heymanuel3557 Content que ce soit débloqué 😊!

Je ne le connaissais même pas! Merci c’est tellement pratique 😄! Ça se démontre bien en utilisant que 10^(2p) congru à 1 modulo 11 10^(2p+1) congru à -1 modulo 11 ;)

Le théorème fondamental de l'arithmétique dit que pour tout entier naturel non nul n il existe une unique famille (v_p) d'entiers naturels tels que n= prod_{p premier} p^{v_p}, on appelle v_p la valuation p-adique de n. En élevant au carré on voit que n²= prod_{p premier} p^{2v_p}, donc dans la décomposition en produit de facteurs premiers d'un carré parfait toutes les valuations p-adiques sont paires. En fait il se complique la tâche, il n'était pas nécessaire de décomposer Delta, il suffisait de remarquer que la valuation 3-adique vaut 1, autrement dit que 3 divise Delta mais 3² ne le divise pas.

Bonjour Gabriel, l’idée peut être comprise simplement : un carré parfait peut toujours s’écrire comme (quelque chose)². Or ici c’est impossible avec la décomposition fournie : il n’y a pas moyen d’agencer les termes qui les fasse apparaître comme (truc)² J’espère que ça clarifie un peu ;)

Yann de quoi tu nous parles🤦‍♂️. Même pas besoin d’introduire ces notions pour résoudre cet exercice.

@@yannld9524 D'accord je te remercie. J'avais pas vu ça comme ça mais effectivement une fois qu'on a cette notion il suffit de montrer qu'un entier naturel divise n , mais que cet entier naturel ² ne le divise pas ce qui est ultra rapide.

@@TheMathsTailor J'avais bien compris l'idée mais je ne voyais pas pourquoi décomposer n sous forme d'un produit de nombre premier assurant qu'il ne "cachait" pas un carré sous une autre forme. Mais avec le commentaire de Yann j'ai bien compris l'histoire des puissances paire quand on passe au carré la décomposition en nombre premier.

je me demandais la même chose ^^. On parle des entiers positifs ( N ) donc les entiers pairs et impairs.

parce que 673 admet une décomposition en facteurs premiers et si aucun nb premier ne divise 673 alors il est premier.

Parce que si un nombre n'est pas divisible par 7 (premier), il ne le sera forcément pas par l'un de ses multiples (comme 14).