Algebraische und geometrische Vielfachheit?

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Hier erzähle ich etwas über algebraische Vielfachheiten und geometrischen Vielfachheiten von Eigenwerten einer Matrix, Diagonalisierbarkeit, Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix und rechne ein Beispiel in kompletten Umfang vor.
(Aufgabe passt zur Vorlesungen wie Mathematik für Ingenieure, Mathematik für Physiker, Mathematik für Naturwissenschaftler, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler und natürlich auch für Mathematik-Vorlesungen für Mathematiker)

Опубликовано:

13 сен 2024

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Комментарии : 102

@jonikasemi 6 месяцев назад

Nach 6 Jahren immer noch die beste Erklärung zum Thema. Du bist klasse!

@danielkuhn9230 7 лет назад

Klasse! Das mit Abstand beste Video, das ich zur algebr. und geom. Vielfachheit gesehen habe! Danke.

@brightsideofmaths 7 лет назад

Wow, danke für das Lob. Es freut mich sehr, dass ich dir helfen konnte.

@Aki20100 6 лет назад

"Und ich hoffe, das hat etwas geholfen." - Yeah, man! Es hat! :D

@Ahmad-fd7gy 4 года назад

Yeah man mir hat das auch weiter geholfen

@sturm9680 3 года назад

Jetzt muss ich mich aber auch mal bedanken, das hat das Thema um einiges klarer gemacht!

@brightsideofmaths 3 года назад

Gerne!

@sandrakoch3473 5 лет назад

Super Erklärung! Das Beispiel hilft unglaublich !!

@aroussiderbel1 7 лет назад

Einfach danke

@brightsideofmaths 7 лет назад

Gerne :)

@waitforpasi3584 4 года назад

Du rettest mir die Prüfung!

@rest0ck 7 лет назад

Super Video, vielen Dank für die Mühe :)

@brightsideofmaths 7 лет назад

Sehr gerne :)

@sufyan_kamal 3 года назад

Wer kein like zu diesem tollen Video und dieser tollen Erklärung gibt, würde nirgendwo ein Like geben. Herzlichen Dank🙏

@MahyaSeven89 4 года назад

Super! Das Video hat mir echt geholfen. Danke! 🤗👍👍👍

@checkenwing3029 4 года назад

Super Video. Gerne hätte ich noch ein Beispiel gesehen, wie denn ein Eigenraum mit geom. VF 2 oder mehr aussehen würde. Kenne das bisher gar nicht

@ahmedmasoud3612 6 лет назад

Danke sehr :) ,es hat mir viel geholfen, dies gut zu verstehen

@mewkid156 5 лет назад

Super erklärt!!!

@criminalbanana99 6 лет назад

Super Video, super erklärt, Top, Danke !

@Lukra12 3 года назад

Gutes Video, vielen Dank für die Erklärung! :)

@danocreations 4 года назад

An was erkennt man jetzt ob es 1 oder 2 dimensional ist? Anzahl der Vektoren? Oder hat es was mit den Komponenten zu tun?

@AraDeanMaffy 7 лет назад

Gut, dass jemand auch mal erwähnt warum es geom.V. genannt wird. - Falls du an Verbesserungspotential interessiert bist? Ich hätte die erste Matrix komplett MIT dem charak.Poly. eingefügt; die Berechnung lenkt die Konzentration vom Knackpunkt weg, macht dein Video zusätzlich 3-4 min kürzer - du bist ruckzuck beim Punkt des Videos. Leider kann man nur einen Daumen nach oben geben ! Thanxxx für dein Engagement und deine Uploads. (nebenbei: den gelben Hintergrund find ich super gewählt ;)

@brightsideofmaths 7 лет назад

Danke! Ich werde natürlich weiterhin versuchen, die Videos kürzer zu halten. Es ist leider nicht immer ganz einfach, den richtigen Mittelweg zwischen "zu schnell" und "zu langsam" zu finden.

@milkyshot195 6 лет назад

Hat sehr geholfen. Vielen Dank !

@muhammedgold3 5 лет назад

Du kannst echt richtig gut erklären!

@AffeAffelinTV 7 лет назад

dass die alg. multiplizitäten summiert immer n sind liegt aber daran, dass wir in C sind und da alles immer in lin.faktoren zerfällt oder?

@lordvampey 7 месяцев назад

Mir sind gerade genug Glühbirnen aufgegangen um halb Deutschland mit Licht zu versorgen. Vielen Dank für das Video

@brightsideofmaths 7 месяцев назад

Haha, sehr gut :D

@sadafr.3846 4 года назад

Wow um ehrlich zu sein ich hab sogar einen Extra Mathe plus Kurs in der Uni und nicht mal die haben das so klar erklärt was damit gemeint ist und haben immer nur Definitionen aufgeschrieben ja Wow richtig toll dieses System. Aber Danke für dieses Video💁🏻‍♀️💛

@leenajamil7187 4 года назад

Prima, vielen vielen Dank!

@human0.2 Год назад

Danke!

@paperstars9078 2 года назад

Wir definieren bei uns das char. Polynom andersherum: det(lambd I - A). Warum ist das nicht einheitlich? haben beide Varianten vor- und nachteile?

@brightsideofmaths 2 года назад

Wenn es um die Nullstellen geht, sind beide Versionen gleich gut :)

@mustafakemalkula4613 Год назад

perfekt

@McPerest 3 года назад

omg,finally. Danke!

@al3xxx918 4 года назад

Die Anzahl der Eigenvektoren ist also gleich die geometrische Vielfachheit? Also wenn ich den ersten Eigenwert habe und daraus nur ein Eigenvektor ableitbar ist sind Valg und Vgeo gleich oder? Wäre schön wenn es so wäre, denn dann hätte ich endlich mal etwas verstanden...

@richardhutflesz4253 4 года назад

Groooooooosartig! das hatte ich gebraucht. Super video! Jetzt verstehe, hoffentlich. wenn ich ein eigenwert lambda 1, von position a11, falls algebrische vielfachheit ist eins, subtrahiere bekomme dadurch a11 als null wert, ist logisch, und dadurch, das diese zeile nicht mehr unabhaengig, ein vektor zum kern, mit a11=1 ist und alle andere koeffiziente =0, das eigenvektor.Damit bekomme ,wenn ich mit allem eigenvert das durchführe,die basis, eigenraum. Danke!!!!!!!!!!!!!!!!!

@charlottikarotti 6 лет назад

Kannst du das Video zu der Umformung des Kernes hier mal verlinken? Wäre lieb 😊

@VVega-sl4mo 3 года назад

Danke!!

@KaptainLuis Год назад

mega danke

@brightsideofmaths Год назад

You are welcome!

@nolybabfoedirp 5 лет назад

wenn es im Eigenraum 2 Eigenvektoren gegeben hätte, wäre es die geometrische Vielfachheit von 2 oder, oder wenn es 3 gegeben hätte, wäre es die Vielfachheit von 3 oder?

@constantinarnold4009 Год назад

Super Video, aber ich habe eine Frage. Kann man die 1 in der 1. Zeile und 2. Spalte nicht schon beim Gauß´n mit der 2. Zeile eliminieren? .... Dann wäre die geometrische Vielfachheit der algebraischen und somit A diagonalisierbar.

@brightsideofmaths Год назад

Klar, wenn du eine andere Matrix als A betrachten willst, geht das natürlich. Es ist halt nicht mehr die Matrix A dann.

@constantinarnold4009 Год назад

@@brightsideofmaths Ich hatte einen Denkfehler und die Matrix im Kopf gleich Null gesetzt. Vielen lieben Dank für deine schnelle und gute Antwort!

@MrNawidNiaz 5 лет назад

Danke 👍👍👍👍👍👍👍

@takatakabro 2 года назад

ist der Kern auch als Eigenvektor zu verstehen?

@bullpup1337 2 года назад

Eigenraum, zum Eigenwert 0, wenn ich das richtig verstehe. Kann ja mehrdimensional sein.

@wave_5544 7 месяцев назад

Hey hätte eine Frage, wenn die 1 anstatt in der ersten Zeile und zweiten Spalte in der zweiten Zeile und dritten Spalte wäre, wäre dies dann diagonalisierbar und wenn ja warum.

@brightsideofmaths 7 месяцев назад

Gute Frage! Was ist das charakteristische Polynomial in dem Fall?

@wave_5544 7 месяцев назад

@@brightsideofmaths Wenn man ja dann den Eigenraum zum λ₂ = 2 macht bekommt man beim Kern zwei Nullspalten und damit wäre dann doch die geometrische Vielfachheit 2 oder?

@GamerLP0 2 года назад

Der 0 vektor wird dann nicht mit gerechnet bei der geometrischen vielfachheit oder?

@brightsideofmaths 2 года назад

Der Nullraum hat Dimension 0 :)

@GamerLP0 2 года назад

@@brightsideofmaths oh ja klar macht Sinn. Vielen Dank ❤️

@tassenabi2875 5 лет назад

Wenn ich bei dieser Beispielmatrix aber die 1. Zeile minus 0,5*2. Zeile rechne, dann komme ich doch auf 2 0 0 0 2 0 0 0 -1 Ist das jetzt keine Diagonalmatrix? Oder darf ich diesen Schritt gar nicht machen? und wenn nein, warum nicht? Und wenn doch: Wie kann es sein dass sich eine nicht diagonalisierbare Matrix in eine Diagonalmatrix umändern lässt?

@brightsideofmaths 5 лет назад

"Gauß-Algorithmus" ungleich "Diagonalisieren". Das sind zwei unterschiedliche Dinge :)

@metwest0543 4 года назад

Wie weißt man das die Dimension 1 ist? Weil ich nur einen unabhängigen Vektor habe? Und die geom VFH = der Dimension dann oder ?? Danke für das Videos :/

@brightsideofmaths 4 года назад

Geometrische Vielfachheit ist die Dimension des Eigenraums, genau!

@tonikaiser2823 5 лет назад

tolle Erklärung, aber an der Stelle 8:50 geht es mir zu schnell. Wie kommst du darauf dass deiser vektor t * (0 0 1) ist?

@brightsideofmaths 5 лет назад

ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-s2zjGB3ITlE.html

@tonikaiser2823 5 лет назад

oda mus der nur ortogonal sain?

@brightsideofmaths 5 лет назад

@@tonikaiser2823 Orthogonal zu was?

@tonikaiser2823 5 лет назад

@@brightsideofmaths zu 3 0 0 und 0 1 0

@kurax9115 4 года назад

Wenn meine Eigenwerte komplex sind, kann ich dann daraus schon schlussfolgern das meine Matrix nicht über R diagonalisierbar ist? Eigentlich schon oder? Steht nur grad auf dem Schlauch... Ob sie dann auf C diagonalisierbar ist muss man dann noch ausrechnen natürlich

@brightsideofmaths 4 года назад

Wenn die nicht alle Eigenwerte reell sind, dann kann die Matrix (mit nur reellen Einträgen) nicht diagonalisierbar über R sein. Es gibt dann einfach zu wenige Eigenvektoren.

@kurax9115 4 года назад

@@brightsideofmaths ok vielen dank

@dietester1209 6 лет назад

danke!

@y.emreko5931 3 года назад

Danke echt super Video Ich hätte noch eine Frage, bei der 3kreuz3 Matrix die du als Beispiel hattest. Gibt es zu der Matrix dann nur 2 linear unabhängige EV oder muss es eine 3te geben ?

@brightsideofmaths 3 года назад

Also jeder Eigenraum ist 1-dimensional. Das heißt, man wird keine 3 linear unbhängige Eigenvektoren finden können.

@rubus92202 6 лет назад

Müssen wir hier noch ausschließen, dass t = 0 ? Also müsste dann da stehen, t aus C\{0} ?

@brightsideofmaths 6 лет назад

Nein, der Eigenraum ist der ganze Kern und deswegen INKLUSIVE dem Nullvektor. Allerdings bezeichnen wir Null nicht als einen "Eigenvektor". Das bedeutet: Wenn ich die "Menge aller Eigenvektoren" aufschreiben, dann steht das gleiche wie oben dort, aber diesmal mit t aus C\{0}.

@rubus92202 6 лет назад

stimmt! danke für die Antwort!

@dreiigHiveSGClips 5 лет назад

Thx

@mathe-matik-1234 6 лет назад

kann man sagen, dass die geometrische VF die anzahl der nullzeilen ist?

@brightsideofmaths 6 лет назад

Das kann man sagen, aber es wäre falsch ;) Im Ernst: Versuche es mal genauer zu formulieren, was du meinst.

@mathe-matik-1234 6 лет назад

ja mathematisch ausgedrückt wäre es ja die dimension des eigenraums. (das wäre ja die mächtigkeit/ anzahl der eigenvektoren im eigenraum), oder? mir ist aber unklar wie ich auf die anzahl bei einer beispielmatrixe komme?

@jessieli8499 2 года назад

Ich liebe dich

@alexanderbell6284 5 лет назад

Wieso ist die geometrische Vielfachheit kleiner-gleich der algebraischen Vielfachheit?

@brightsideofmaths 5 лет назад

Das ist eine gute Übungsaufgabe. Dafür musst du nur verwenden, was die geometrische und algebraische Vielfachheit jeweils bedeutet und einen passenden Basiswechsel durchführen. Probiere es ruhig mal!

@nicolasp8pl 2 года назад

Wo zu skaliert man die werte auf 1?

@brightsideofmaths 2 года назад

Welche Werte?

@nicolasp8pl 2 года назад

@@brightsideofmaths 8:18 , 11:53

@brightsideofmaths 2 года назад

@@nicolasp8pl Ich finde, mit Einsen lässt sich leichter rechnen.

@nicolasp8pl 2 года назад

@@brightsideofmaths 12:50 ist links die Kern und Rechts die Basis der Kern (tut mir leid für die Fragen, ich habe das Stoff in der Vorlesung nicht wirklich verstanden :()

@Dirtymvm 6 лет назад

Danke du hast mir echt den Arsch gerettet.

@brightsideofmaths 6 лет назад

Gerne! Wenn du mir helfen möchtest, dann abonniere den Kanal und empfehle ihn weiter. Ich muss nämlich die 1000 Abonnenten erreichen :)

@alexanderbell6284 5 лет назад

Die Äquivalenz am Anfang des Videos stimmt nicht ganz. Es fehlt, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfallen muss.

@brightsideofmaths 5 лет назад

Was jedes Polynom über C auch tut :)

@alexanderbell6284 5 лет назад

@@brightsideofmaths Ach ja richtig, wir sind in C :D C ist algebraisch abgeschlossen

@MrTompkins 6 лет назад

This looks good. Have you thought about translating your subtitles into English?

@brightsideofmaths 6 лет назад

Thank you. I have a few English videos: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-ZvAkIf7oBHw.html In future, I want to produce more English videos but first of all I have to reach the 1000 subscribers.

@MrTompkins 6 лет назад

I've been using "SubtitleEdit", a free download tool, to convert my subtitles into the languages of countries where I am getting some views. Maybe this helps you reach a wider audience?

@brightsideofmaths 6 лет назад

Thank you very much for the advice. I will check if this works for me. Thanks!

@hundhund489 5 лет назад

Man sieht die Anzahl der freien Variablen aber nicht an der Anzahl der Nullzeilen, sondern der Nullspalten!!! Eine Nullzeile hat gar keine Aussage

@brightsideofmaths 5 лет назад

Allgemein hast du natürlich recht, aber hier haben wir ja quadratische Matrizen. Da sind Nullzeilen genauso gut wie Nullspalten.

@hundhund489 5 лет назад

@@brightsideofmaths Aber warum? Die Nullzeilen sagen doch nichts aus, während die Nullspalten Doch sagen wie viele Variablen ich frei wählen kann. Die Nullspalten sagen doch nur, dass sowohl x, y als auch z alle Werte annehmen können.

@brightsideofmaths 5 лет назад

@@hundhund489 Ich will dich nicht weiter verwirren, denn deine Denkweise ist natürlich völlig korrekt. Allerdings gilt allgemein Spaltenrang = Zeilenrang und wenn du das mit der Dimensionsformel verbindest, dann siehst du, dass Nullzeilen und Nullspalten für quadratische Matrizen das gleiche bedeuten. Wenn ich das Video heute wieder machen würde, würde ich aber darauf genauer eingehen.

@hundhund489 5 лет назад

@@brightsideofmaths Alles klar, vielen Dank für die Erklärung! :)