Danke! Hallo Susanne, eine solche Mammutfunktion ist mir, glaube ich, noch nie zu Augen gekommen. Verblüffenderweise ist die Berechnung tatsächlich machbar. Statt Vieta geht's mit der p/q-Formel natürlich auch. Viele Grüße!
@@elena_hernandezz dann fang jetzt schonmal an für die nächste arbeit/klausur zu lernen. Du bereust es später. Mit guten Mathe- und Physikkenntnissen auf dem Arbeitsmarkt heute hast du dagegen ausgesorgt.
Super Übungsstück! Habe gleich mein Sudoku weggelegt, und mich an der Lösung probiert. Die Null war einfach, habe auch noch die -2 und die 1 gefunden ( trotz völlig falscher Rechnung), und mich dann verrannt. Gut, daß du die Polynomdivision wieder mal mit mir übst. Vielen Dank
Wie immer ein tolles Video. Ein kleiner Tipp, vllt am Ende das Ergebnis nochmal graphisch darstellen, entweder mit GeoGebra oder WolframAlpha damit man den Verlauf des Graphen, und damit die Nullstellen besser sieht. Macht es ein ganz klein wenig, weniger "trockenes Rechnen".
Herzlichen Dank für die interessante Polynom Frage 🙏 Mein Lösungsvorschlag wäre: f(x)=x^(6)+x^(5)-3x^(4)-x³+2x², die x² lässt sich außerhalb der Klammer nehmen: x²(x^(4)+x³-3x²-x+2)=0. Wenn man x²=0 schreibt ist die erste Nullstelle x=0, das andere Subpolynom wäre: A(x)= x^(4)+x³-3x²-x+2=0, wenn man zufällig x=1 gibt löst sich das Polynom:1+1-3-1+2= 0, A(1)=0, somit x=1 wäre die zweite Lösung. Wenn man das Polynom in (x-1) teilt kann man das andere Subpolynom finden, der das erste Subpolynom A(x) ergibt: dies wäre dann B(x)= x³+2x²-x-2, hier sieht man auch, das zufällig die 1 die Gleichung als B(1)=0 ergibt. Somit wäre die x=1 die dritte Lösung. Wenn man diesen Subpolynom durch (x-1) teilt, findet man den dritten Subpolynom: C(x)=x²+3x+2, wenn C(x)=0, dann die Diskriminante=1, und x4=(-3+1)/2=-1 und x5=(-3-1)/2= -2, somit wäre das Hauptpolynom in 4 Subpolynome unterteilt: x²(x-1)²(x+1)(x+2), und x=(0,1,-1,-2).
Ein Mathematiker fragt nicht nach der Anwendung 😉 Für Ingenieure folgt eine Antwort von ChatGPT: Ein Beispiel für ein Polynom 6. Grades, das von Ingenieuren verwendet wird, ist das Elastizitätsmodul-Polynom, das die Beziehung zwischen Spannung und Dehnung in einem Material beschreibt. Es hat die allgemeine Form: E(x) = a6x^6 + a5x^5 + a4x^4 + a3x^3 + a2x^2 + a1x + a0 wobei E(x) das Elastizitätsmodul des Materials bei einer gegebenen Dehnung x ist, und a0 bis a6 sind Koeffizienten, die von den spezifischen Eigenschaften des Materials abhängen. Ingenieure verwenden dieses Polynom, um die mechanischen Eigenschaften von Materialien zu verstehen und zu modellieren, z.B. in der Materialwissenschaft, der Werkstofftechnik oder der Bauingenieurwesen.
Zum Thema Nullstellen raten, kann man noch anmerken, dass wenn ein Polynom nur ganzzahlige Koeffizienten und führendem Koeffizienten 1 hat (so wie im Beispiel), dann sind auch alle ganzzahligen Nullstellen (falls es diese gibt) Teiler des absoluten Glieds. So kann man zumindest die ganzzahligen Möglichkeiten ein wenig einschränken :)
Guter Tipp, kannte ich tatsächlich so noch nicht. Und leicht erklären lässt er sich auch, denn das Produkt (x − a)*(x − b)*... ergibt als absolutes Glied das Produkt (−a)*(−b)*... . Im hier vorliegenden Fall ergibt sich das absolute Glied des Polynoms vierten Grades nach der Division des ursprünglichen Polynoms durch x² gemäß 1 * 1 * (−1) * (−2) = 2.🙂
Haben wir jetzt beim Satz vom nullprodukt -2 gerechnet weil hinter dem x² eine 2 ist? Oder weil neben der zwei x² steht? Also wenn jetzt stehen würde 2x³ müsste man dann minus 3 oder minus 2 rechen?
Als Du aus einem großen Problem zwei kleine gemacht hast, dachte ich: so einfach müßte es im echten Leben auch sein! Aber dann ging's hier bei Dir erst so richtig los, und ich merkte: es IST wie im richtigen Leben. War wieder toll, Dir zuzusehen! 😊 Schwierig ist für mich dabei, wie ich mir so eine Funktion graphisch im Koordinatensystem vorzustellen hätte; muß ja wohl ein ganz schöner Knoten sein, oder? Vielen Dank auf jeden Fall! 👏👍🎶
So schwer vorstellbar ist das mit der Grafik gar nicht, da gibt's so einige Anhaltspunkte: 1. Die höchste Potenz ist gerade mit positivem Faktor. => lim[x → -∞] f(x) = lim[x → ∞] f(x) = ∞ => Der Graph kommt von oben und geht nach oben. 2. x = -2 und x = -1 sind einfache Nullstellen. => Der Graph schneidet dort die x-Achse, verläuft dazwischen durch den negativen Bereich und hat dort ein lokales Minimum. 3. x = 0 und x = 1 sind doppelte Nullstellen. => Der Graph berührt dort die x-Achse, schneidet sie aber nicht. Hier sind also lokale Minima. Fazit: Der Graph kommt von oben angerauscht, durchquert die x-Achse bei x = -2 ins Negative, kehrt dann um und durchquert die x-Achse bei x = -1 erneut, um in den positiven Bereich zurück zu gelangen. Dann macht er nochmal kehrt und berührt die x-Achse bei x = 0, durchquert sie aber nicht, sondern geht wieder nach oben. Dann kommt sie aber nochmal zurück, um bei x = 1 die x-Achse noch einmal zu berühren, aber nicht zu durchqueren. Anschließend verschwindet er wieder nach oben ins Unendliche. Also kein Knoten, sondern nur ein paar Wellen. 😉
Hat zwar nichts mit Mathe zu tun, aber ich muss dir das sagen. Meiner meinung nach ist dein Style ( Schminke, Haarfarbe etc) in dem Video am schönsten😂❤
Ich glaube unser Mathelehrer hat damals gegen eine heilige Regel unter Mathelehrern verstoßen als er uns vom Horner Schema erzählt hat, dass man statt der Polynomdivision anwenden kann und das soooo unglaublich viel einfacher ist. :D
@@johannmeier6707 Wo ist die Lösung denn elegant? Natürlich geht das. Linearfaktordarstellung ist auch selbstredend richtig, aber die meisten Leute werden das Video nicht für weird flexes schauen, sondern weil sie sich in dem Thema unsicher fühlen und das Prozedre erläutert haben wollen. Da hilft es einem nicht wenn man besondererweise ne Gemeinsamkeit erkennt sondern will man genau die Prozedur lernen. Und ihre Prozedur geht immer. Diese nicht.
@@YamiSuzume Es ist aber auch essentieller Bestandteil der Mathematik, dass man lernt, dass es meistens mehrere Möglichkeiten gibt, dass man Gemeinsamkeiten und Zusammenhänge aufzeigt. Man muss nicht immer den allerlängsten Weg wählen. Mathematik ist ja egentlich gerade das genaue Gegenteil von "eine Formel auswendig lernen und dann immer stupide anwenden, ohne wirklich zu verstehen, was man eigentlich tut"
@@johannmeier6707 Tut sie doch, ändert nichts an meiner Aussage, dass das definitiv nicht die eleganteste Lösung ist, wenn es da auch um Zahlengefühl geht.
1:25 Gute Erklärung des Teile-und-Herrsche-Prinzips (bzw. Divide-and-Conquer). Teile ein großes Problem in kleinere Teilprobleme auf, die jeweils leichter zu lösen sind. In diesem Fall eine Gleichung 6. Grades in eine Gleichung 2. Grades und eine Gleichung 4. Grades. Hier noch ein nützlicher Hinweis zu 3:12: Hier muß man nicht auch noch +3 und -3 ausprobieren, denn ein wichtiger Satz besagt, daß wenn der Leitkoeffizient 1 ist (das ist der erste Koeffizient, ganz links vor der höchsten Potenz. In diesem Fall steht x^4 als höchste Potenz da, deren Koeffizient fehlt, also ist der Leitkoeffizient gleich 1), dann sind ganzzahlige Lösungen, wenn vorhanden, immer Teiler des Absolutgliedes (das ist der letzte Koeffizient ganz rechts, also die konstante Zahl ohne x, in diesem Fall also die Zahl 2). Also kommen hier nur die Teiler von 2 in Frage, nämlich +1, -1, +2, -2, aber nicht +3, -3 etc. Findet man auf diese Weise keine (oder keine weiteren) ganzzahligen Lösungen, dann gibt es auch keine weiteren.
Wieder eine schöne Aufgabe zum Ausgraben alter Kenntnisse, und schon beim dritten Versuch hat die Polynom-Division wieder geklappt ;-) Danke dafür. Ein kleiner Verbesserungsvorschlag: Ich würde die Aufgabe "Ermittle ALLE Nullstellen .." nennen. Raten als Lösungsweg ist zwar i.O., gerne unterstützt von einer Grafik, aber bei "Berechne .." hatte ich numerische Verfahren und mehr Aufwand befürchtet.
Was ist wenn x=-1 wäre? Also negatives vorzeichen vor der 1? Müsste man dann in der 2. Klammer (x+1) machen oder trotzdem (x-1) weil - und - eigentlich+ ergibt?
Auch: x² ausklammern, der Restterm 4. Grades hat die Nullstellen 1 und -1, kann also durch (x - 1)(x + 1) = x² - 1 geteilt werden. "Poldi" => x² + x - 2 = (x + 2)(x - 1) Für den Term 6. Grades gilt also: ... = x²(x - 1)²(x + 1)(x + 2) => Doppelte Nullstellen sind 0 und 1 , einfache - 1 und - 2 .
Ok x=0 ist natürlich eine Lösung und wenn wir die ignorieren können wir x^2 rausdividieren und bekommen x^4+x^3-3x^2-x+2. und der Satz zu rationalen Nullstellen sagt uns, dass nur -2, -1, 1 und 2 rationale Nullstellen sein können (ist p/q eine rationale Zahlen (p und q sind teilerfremde ganze Zahlen) und eine Nullstelle von f dann teilt p den Konstantenterm und q den Koeffizenten der höchsten Potenz). Checken -2, -1 und 1 klappen wirklich. (x+2)(x+1)(x-1)=x^3+2x^2-x-2 und teilt man jetzt diese beiden Polynome kommt wieder x-1 raus. Also sinf alle Nullstellen -2, -1, 0 und 1, wobei man die 0 und die 1 doppelt zählen kann.
Hi! Danke für dieses Video, da werden (hoffentlich bei Vielen) erst die Kinnlade runter klappen und dann die flache Hand auf der aufgewachten Stirn landen. Ich habe einen (bescheidenen) Optimierungsvorschlag: Ich habe gemerkt, dass viele meiner Schüler wie der Ochs vorm Berg stehen, wenn die Garde der Summanden in der Funktionsvorschrift Lücken aufweisen, will sagen, wenn die Funktion ungefähr so aussieht: f(x)=ax^6+bx^5+cx^3+dx^2+ex+k. Also beispielsweise, wenn kein Summand mit x^4 vorkommt. Vielleicht könnten Sie noch ein kleines Ergänzungsvideo fabrizieren, um dieses (zugegebenermaßen leicht) behebbare Problem der verzweifelnden Zuschauerschaft zugänglich zu machen. (Falls das in anderen Videos thematisiert wurde: ASCHE AUF MEIN KAHLES HAUPT!) Ansonsten: SUPER Kanal!!! Grüße L aus BO
Genau das hab ich gebraucht! Liebe deine videos und vor allem, wenn es um etwas geht, was wir gerade in der Schule durchnehmen. Polynomdivision kann ich einfach niiichtt ich verstehe das Vorgehen an sich, aber ich mach immer Fehler.😩
Richtig cool wäre noch ein Funktionsplot aus GeoGebra o. ä., wo man die doppelten und einfachen Nullstellen sieht. Dann müssten die 0 und die 1 jeweils lokale Minima sein. Sind sie auch.
Hatte das Ziel eine gute mathe arbiet zu schreiben aber als ich gesehen habe das man weiter nullstellen berechnen muss hab ich es aufgegebn scheis drauf diese drecksfach werden 0 punkte
Theoretisch könnte man auch von dem x³+2x²-x-2 auch folgendermaßen ausklammern: x³+2x²-x-2 x²(x+2)-x-2 x²(x+2)-1×(x+2) (x²-1)(x+2) Geht zwar hier grad nur aus Zufall sag ich jetzt mal, aber raten kommt dann wohl schon öfter vor xd
Ich muss gestehen, dass ich das bei GeoGebra eingetippselt habe. Kurvendiskussion ist bei mir nach 40 Jahren total versackt. Ist aber auch interessant die Kurve zu sehen. Hm, interessant wäre auch die Teilkurven zu betrachten. Also die 5 Potenzfunktionen, die sich quasi zu der Gesamtfunktion überlagern. Ja ja, ich denke hier an Elektrotechnik, wo z.B. eine Rechtecksignal aus unendlich vielen Sinussignalen zusammengesetzt wird. - Der Herr Fourier lässt grüßen. - Hat natürlich mit der Polynomfunktion nichts zu tun. Fällt mir aber halt spontan ein.
Nachtrag: Die 5 Potenzfunktionen einzeln sind dann doch langweilig anzusehen. Da hatte ich irgendwie falsche Erinnerungen. Halt Parabeln, nur steiler als die Normalparabel.
Was passiert wenn am Ende nicht 0 rauskommt? Für 3x^3 -4x^2 -9x + 10 = 0 komme ich auf x1 = 1 Wenn ich f(x) dann durch (x-1) teile, bleibt am Ende 2 übrig :/
freu mich schon auf meine Mündliche. Koffein, Traubenzucker und Adrenalin weren meine besten Freunde. Jetzt hab ich zumindest schon mal von der Polynomdivision gehört, man lehrnt nie aus (ich heul gleich)
Ich fänd es extrem spannend, wenn du mal die hier angesprochene indische Matheprüfung durchgehen und auch mal eine Einschätzung dazu geben könntest: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-GhmEYB3Kq-o.html
Zuerst x^2 ausklammern, wir erhalten eine doppelte Nullstelle x1 = x2 = 0. Die verbleibende Gleichung 4. Grades hat die Konstante 2, also untersucht man die Teiler von 2, ob sie ganzzahlige Nullstellen sind, sprich man testet +1, -1, +2 und -2. Eine Nullstelle x3 = 1 findet man leicht durch Einsetzen (Probe), da die Summe der Koeffizienten +1, +1, -3, -1, +2 genau 0 ist. Soviel geht schonmal im Kopf, durch Hingucken. Den Rest muß ich auf Papier lösen, melde mich später nochmal, muß jeute nachmittag erstmal Mathe unterrichten :-)
Es geht in diesem Fall auch ohne Polynomdivision: Die Summe der Koeffizienten der verbleibenden Gleichung 4. Grades x^4 + x^3 - 3x^2 - x + 2 = 0 (also von +1, +1, -3, -1, +2) ist 0. Darum ist x = +1 eine Lösung. Ebenso entpuppen sich -1 und -2 als Lösungen. Damit hat man 3 von 4 Lösungen gefunden: +1, -1, -2. Die 4. Lösung kann man mit dem Satz von Vieta ermitteln: das Produkt aller Lösungen ist gleich der Konstanten, also gilt x1 * x2 * x3 * x4 = 2 (+1)*(-1)*(-2)*x4 = 2 2 * x4 = 2 x4 = +1 Ebenso wie 0 ist also auch +1 eine doppelte Nullstelle der Funktion f. Diese hat also insgesamt nicht 4, sondern 6 Nullstellen (alle reell und ganzzahlig), von denen zwei doppelt sind: x1 = 0 x2 = 0 x3 = +1 x4 = +1 x5 = -1 x6 = -2
Kommt drauf an wessen Alltag du meinst. Im Arbeitsalltag eines jeden MINT-Akademikers komtm sowas immer mal wieder vor. Beim Bäcker kommt es natürlich icht vor, wenn du aber Brücken berechnen oder Satelliten entwerfen musst kommt es fast täglich vor (dann halt mit etwas komplizierteren physikalischen Formen, statt generischen "aussagelosen" f(x)-Formeln mit schönen Koeffizienten, die du aber am Ende des Tages genauso lösen musst).
Unsere Kinder sind beide mathebegeistert und schauen irrsinnig gerne deine Videos. Wir haben den Eindruck, dass sie unsere mangelnde Begeisterung für Mathe kompensieren 😅 Mein Mann und ich sind Juristen.
Diese Aufgaben haben wir auch gemacht, allerdings war dies nicht Gegenstand der 13 klasse sondern sogar noch zuvor in der 11. Wir hatten das Pech, dass der Sohn unseres Mathelehrers Professors an der TU war. Bei den Klausuren in der 13 Klasse machte er es sich leicht und kopierte Klausuren des ersten Semesters. Einmal hatte er nämlich nicht den Kopf der Klausur ausreichend gelöscht.
