Un épisode un peu moins calculatoire sur la fonction Zêta, où on met en évidence ses pôles, ses zéros triviaux et ses valeurs aux entiers négatifs et postifs pairs.
Non, ses seuls zéros sont bien les zéros réels "habituels" ! Pour voir ça, on peut écrire que si sin(z)=0 alors e^iz=e^-iz soit e^2iz = 1. En passant au module, on trouve 1 = |exp(2iz)| = exp(Re(2iz)) donc Re(iz)=0, Donc iz est imaginaire pur et z est donc réel :)
Hello ! Comme d’habitude t’es explications sont super et très enrichissante. C’est pourquoi je me demandais si c’était possible que tu entames une série de vidéo sur les formes quadratiques et leurs applications en arithmétique ? Merci beaucoup pour ton superbe travail !
J'aimerais bien mais malheureusement je m'y connais pas encore assez dans ce domaine pour faire une série dessus sans risquer de dire des grosses conneries... Donc peut être un jour mais pas dans l'immédiat, il faut que je travaille dessus un peu avant ....
De manière plus générale, y-a-t-il une relation/équation qui décrive la fonction Zeta dans la bande critique et comment calcule-t-on les zéros non triviaux dans cette bande critique... par exemple que vaut Zeta(1/2) et quelle formule emploie-t-on pour calculer Zeta(1/2). On ne peut pas utiliser l'équation fonctionnelle car on arrive à une absurdité à savoir Zeta(1/2) = (Zeta(1/2))/(racine carré de 2)
Bonjour; merci et bravo pour cette (et les autres aussi) vidéo (n°20) de la série Analyse Complexe, sur les valeurs exceptionnelles de Zeta(s). Avez-vous la n°21, qui aborde la fonction Zeta(s) dans la bande critique ? Cordialement.
Très bonne vidéo. Ce serais pas mal de faire une vidéo où l’on agrandit encore la région qui ne contient aucun zéro, et devoir donc étudier la fameuse zone d’incertitude.
L'agrandissement de la zone sans zéros c'est dans mes plans oui ! J'ai déjà tourné une petite série qui sortira dans la semaine (4 épisodes) qui prouvent le théorème des nombres premiers, pour laquelle on a besoin de montrer que Zeta ne s'annule pas sur la droite Re(z) = 1 (et donc non plus sur Re(z) = 0 grâce à l'équation fonctionnelle). Après, pourquoi pas pousser un peu plus loin, je sais qu'on peut trouver des régions explicites sans zéros qui sont asymptotiques à la droite Re(z) = 1 (ce genre de trucs : fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_z%C3%AAta_de_Riemann#/media/Fichier:Zero-free_region_for_the_Riemann_zeta-function.svg), ce qui peut donner des termes d'erreur explicites dans le théorème des nombres premiers, à voir...
Le gros avantage de l'analyse complexe vue en prépa (en surface bien sûr), c'est qu'elle donne beaucoup (mais vraiment beaucoup beaucoup) d'intuition sur les séries entières. Après c'est très différent de l'analyse réelle, c'est beaucoup plus rigide, donc il faut garder une séparation bien claire entre les deux dans sa tête.
C'est notoirement très difficile, il reste encore aujourd'hui énormément de conjecture ouvertes sur les Zeta(2n+1). Par exemple, on ne sait même pas si Zeta(5) est rationnel ou non...
