Bedingte Wahrscheinlichkeit TEXTAUFGABE - Test Krankheit 

Hallo ich habe eine Frage zu der Rechnung. Woher weiß man denn hierbei, dass 1% an Stoffwechsel erkrankt ist? Bezogen auf einen Schwangerschaftstest kann man sagen: man sieht es ja einfach...

Kannst du vielleicht Tipps und Tricks geben, wie man das auch im Kopf am besten ausrechnen kann? Ich muss das im Test alles ohne Skizzen und Taschenrechner sagen können

Wichtige Anmerkung: Das Ergebnis von 0,0799 ist inkorrekt, dies ist der falschen Berechnung geschuldet. In der Aufgabenstellung wird nach einer positiv getesteten Person gefragt, die tatsächlich krank ist. Insofern besteht der Fehler darin, dass der Pfad P(G n T) berechnet wurde. Denn das "G" steht für "gesund"... Eine gesunde Person kann nicht an der Krankheit leiden. Deshalb ist lediglich der obere Pfad (P(K n T)) zu berechnen!

Safe😊

Geht mir eben so Gruß Eduard

@@boobbyy7327 wer hat dich gefragt eduard

💀

Hilfe😂

wie kommt es, dass man sich mit so einem Alter (nicht böse gemeint) sich mit Mathe beschäftigt? Ich beschäftige mich mit Mathe weil ich es muss!

wünsch dir viel erfolg, wir packen das

Was hast du bekommen?

Und wie war das Matheabi?

@@UchihaItachi-rn7wz11Punkte 💪🏼

Wann hast du angefangen davor zu lernen? Und bist du generell gut in Mathe?

Ich bin ganz gut in Mathe, aber nicht überragend. Habe in der Oberstufe versucht mitzukommen und dann recht wenig fürs Abi gelernt, vielleicht zwei Wochen :)@@michellegieswein2499

Ich stimme dir voll und ganz zu. Zur Ehrenrettung der Lehrer (bin keiner) muss aber gesagt werden, dass die Situation hier eine andere ist. das Video sieht nur, wer sich mit Mathe beschäftigen will! Und man kann es sich wiederholt zu Gemüte führen

Das ist super lieb von dir, Dankeschön!

Freut mich sehr

Sehr gerne! :)

Freut mich! :)

Wow, danke dir für dein tolles Feedback! ❤️ Dann wünsche ich dir weiterhin ganz viel Erfolg deine Wunschnote zu erreichen und hoffe, dass ich auch einen kleinen Teil dazu beitragen kann! 😊

@@MathemaTrick Du machst Mathe fast spaßig! Anders als Daniel Jung erklärst du richtig ausführlich und so dass man alles versteht.

Super, das freut mich sehr! ☺️

Das ist lieb von dir, Dankeschön!

Also am besten macht man so ein Baumdiagramm. Da stecken als Zahl bedingte Wahrscheinlichkeit drin, wo die Bedingung ist, dass einmal positiv und einmal negativ. In dem Fall ist es einfacher bei dem Baum damit anzufangen, ob HIV positiv oder negativ. Also immer die Bedingung zuerst unterscheiden. Dann bei jedem Fall ob der Test positiv oder negativ. Das geht jetzt etwas doof ohne Bild aber, würde erster Zweig von oben nach unten einmal H und einmal HStrich machen für HIV und kein HIV. Dann von jedem noch einmal einen Abzweig von oben nach unten P und PStrich für Test positiv und negativ. Da 0,01% infiziert sind, kann man beim ersten Abzweig bei H an den Ast die 0,01% schreiben und an den unteren 99,99%. "Bei einer HIV-Infektion reagiert der Test in 99,9% der Fälle positiv." Also die Bedingung hier ist, dass eine Infektion vorliegt, also schaut man bei dem oberen Ast (H). Und da schreibt man dann an den oberen abgehenden Ast (P) die 99,9% hin, weil das ja die Wahrscheinlichkeit für positiv ist. Der HStrich Ast darunter bekommt die restlichen 0,1%. "Wenn der zu Testende nicht infiziert ist, reagiert der Test zu 99,99% negativ." Hier das selbe Prinzip. Bedingung ist nicht infiziert (HStrich) und da schreibt man dann beim Ast, der bei negativ abgeht (PStrich) die 99,99% hin und bei dem Ast darüber (P) die restlichen 0,01%. Jetzt hat man die Wahrscheinlichkeiten für alle 4 Äste. Soweit warst du ja eventuell noch. Bei der Frage muss man jetzt genauso auf das achten, was die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist und was die Bedingung ist, also ähnlich wie bei der Beschriftung vom Baum. Die Bedingung ist das positive Testergebnis und die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist die HIV Infektion, also anders herum als wir das bis jetzt gemacht haben. In dem Fall muss man erst die Wahrscheinlichkeit suchen, wie hoch diese überhaupt ist für die Bedingung und diese von der Wahrscheinlichkeit, dass das Gefragte insgesamt auftritt, in das Verhältnis setzen. Also schauen wir erst einmal auf die Bedingung mit dem positiven Testergebnis. Suchen also alle Pfade im Baumdiagramm mit Test positiv (P) und multiplizieren die Wahrscheinlichkeit dem Pfad entlang und dann alle Wahrscheinlichkeiten der Pfade zusammen addieren. Dann kommt man einmal auf den Pfad H,P und einmal HStrich,P. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist dann 0,01%*99,9%+99,99%*0,01%=0,019989%. Das ist jetzt die Grundmenge mit der Wahrscheinlichkeit, die überhaupt hier betrachtet wird. Jetzt brauchen wir noch einmal die Wahrscheinlichkeit davon, auf die sich die Frage bezieht, also Testergebnis positiv und HIV Infektion. Das ist eine Teilmenge von dem eben berechneten, also muss man sich nur die 2 Pfade anschauen, die man eben schon berechnet hat. Das ist dann der erste Pfad davon, also noch einmal die Wahrscheinlichkeit davon berechnen. 0,01%*99,9%=0,00999%. Die zwei Zahlen muss man jetzt ins Verhältnis setzen für die Lösung, also es ist immer Wahrscheinlichkeit gesuchter Pfad durch Wahrscheinlichkeit Bedingung. 0,00999% / 0,019989% = 49,98%, also rund 50%. Das Ergebnis ist so hoch, weil ja kaum einer HIV Infektion hat und da so viele Menschen ohne HIV getestet werden, sammeln sich dann doch genauso viele falsch positive Tests wie die von den HIV infizierten. Auch wenn für dich die Erklärung jetzt wohl etwas zu spät kommt, vielleicht hilft es anderen zumindest so vielleicht. :D

Danke dir! Zu der Wahrscheinlichkeitsrechnung habe ich noch nicht sooo viele Videos gemacht. Hier sind alle dazu: ru-vid.com/group/PLF29x0idI4lVDaikHJz0Gd6-l_Op_c_2R Vielleicht ist da ja was passendes für dich dabei. 😊

@@MathemaTrick Dank werde es mir jetzt noch anschauen.

Das setzt die Rechnung nicht explizit voraus. Wir müssen nur annehmen, dass die Angabe der Fehlerwahrscheinlichkeiten und der Anteil "kranker" Menschen korrekt (oder in der Realität gut genähert) ist. Beides ist aber auch mit Stichproben zu erreichen.

Normalerweise wird dies in Stufe 12 aufgegriffen, manchmal vielleicht auch schon Stufe 11. Aber in der Regel Stufe 12! ☺️

das würde mich auch interessieren, hab es probiert und hat irgendwie nicht hingehauen, 0,14 + 0,90 waren ja schon 1,04 was bei einer 4-Felder Tafel bei summierungen nicht sein kann/darf ???

Das Baumdiagramm entspricht konzeptionell dem, das Susanne für die 3 Würfe mit würfeln "hintereinander" erzeugt hat (siehe entsprechende Video). Wichtig ist dabei allerdings (in BEIDEN Beispielen): Ob die Leute hintereinander stehen (die würfel nacheinander geworfen werden) oder ob sie nebeneinander stehen ist gleichgültig. Die Ereignisse sind voneinander unabhängig. Du kannst Dir das so vorstellen: Dass die Wahrscheinlichkeit , nach dem Ausweis gefragt zu werden 60% beträgt könnte auch dadurch zustande kommen, dass 60 Leute hintereinander gefragt werden von 100. Die Aussage "jeder 3. in der Warteschlange" wäre eine andere Qualität. Es kommt eben drauf an, ob die frage nach dem Ausweis "Pseudozufällig" passiert oder nicht - etwa wie beim Roulette: Rot oder Schwarz? (vernachlässigen wir 0). bei jedem Dreh der Scheibe kommt rot oder schwarz und die "Dreher" sind völlig unabhängig voneinander.

Zu 1: Zeichnen geht hier schlecht, aber siweh Antwort zu 3. Zu 2.: 0,6 * 0,6 * 0,4 = 0,144 oder 14,4 % Zu 3.: Ich nenne die Freunde A, B und C. Dann gibt es für kontrolliert (ja/nein) 2^3 = 8 mögliche Folgen von Ereignissen (= Äste im Baumdiagramm), nämlich kontroliiert wird: [Baumdiagramm] keiner (mit Wahrscheinlichkeit 0,4 * 0,4 * 0,4 = 6,4 %) nur A (mit Wahrscheinlichkeit 0,6 * 0,4 * 0,4 = 9,6 %) nur B (mit Wahrscheinlichkeit 0,4 * 0,6 * 0,4 = 9,6 %) nur C (mit Wahrscheinlichkeit 0,4 * 0,4 * 0,6 = 9,6 %) A und B aber nicht C (mit Wahrscheinlichkeit 0,6 * 0,6 * 0,4 = 14,4 %) A und C aber nicht B (mit Wahrscheinlichkeit 0,6 * 0,4 * 0,6 = 14,4 %) B und C aber nicht A (mit Wahrscheinlichkeit 0,4 * 0,6 * 0,6 = 14,4 %) alle (mit Wahrscheinlichkeit 0,6 * 0,6 * 0,6 = 21,6 %) Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 kontrolliert werden, ist also 14,4 + 14,4 + 14,4 = 43,2 %.

'T quer', also T mit Strich drüber heißt soviel wie 'nicht T'

Danke dir für dein liebes Feedback, das freut mich total! Ich hoffe es hilft deinen Schüler*innen. 😊

Er bringt sehr viel. Ein Arzt macht dieses Test nur bei Menschen wo dieser Verdacht besteht. Und so ist die erste Wahrscheinlichkeit 1%/99% eher 50/50 oder sogar 70/30. Und schon ergibt sich ein ganz anderes Bild. Das gleiche Problem ist bei den Schnelltests bei Corona. Wenn man die allgemeine Wahrscheinlichkeit das man Corona hat mit der Selektivität der Schnelltests verrechnet kommt bei Menschen Ohne Symptome und ohne Risikokontakt ein mageres Ergebnis raus. Bei Menschen mit Risikokontakt bzw. mit Symptome ist es schon anders.

Erkennt man an der Frage, weil dort was drin steckt, was man schon weiß. Immer dann ist es eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Man fragt ja schon nach einer positiven Person und nicht allgemein nach einer Person. Bedingung ist also Person positiv und die Frage bezieht sich auf, ob krank ist.

@@melonenlord2723 Danke

Viel Erfolg! 🥳

❤️

Ja. Nur nutzt man solche Tests als Früherkennung. D.h. es gibt keinen individuellen medizinischen Grund für den Test bzw. den machen alle. Der Test ist eigentlich eher schlecht. Wenn der aber einfach und billig ist, dann besteht der Nutzen darin, dass man ca. 90% der Leute keinen viel aufwendigeren Tests unterziehen muss sondern nur 10%. Und danach hat man dann 86% der Kranken entdeckt. Und das ist dann schon ziemlich gut.

Dass 1% an einer Stoffwechselstörung leiden, steht ja direkt im ersten Satz der Aufgabenstellung.

@@MathemaTrick das stimmt. Nur woher weiß man das vorher? Das könnte man auf die Medizin bezogen eigentlich nur raten. Aber auf Mathe bezogen ist alles richtig.

@@balliboy6807 Vielleicht stichprobenartig mit einem genaueren Test getestet.

Richtig, dieser Test ist sehr unzuverlässig. Die 86% beziehen sich nur auf die Leute, die wirklich die Krankheit haben. Aber wenn der Test positiv ist, gibt es zwei Möglichkeiten: Die Testperson ist wirklich krank und der Test hat zurecht angeschlagen (das ist der obere Pfad, also P(K geschnitten T)), oder der Mensch ist nicht krank und der Test hat ein falsch-positives Ergebnis gebracht (das ist der zweite Pfad, der zu P(T) gehört). Weil aber nur sehr wenige Menschen die Krankheit überhaupt haben, ist die Wahrscheinlichkeit viel größer, eine gesunde Person zu haben, bei der der Test nur einen Fehler gemacht hat, als tatsächlich einen der wenigen Kranken getestet zu haben. Tatsächlich sind beide Fehlerwahrscheinlichkeiten relativ hoch (die 14%, dass jemand, der die Krankheit hat, negativ getestet wird, und die 10%, dass jemand Gesundes positiv getestet wird). Darum, und vor allem, weil die Krankheit so selten ist, werden häufig Gesunde fälschlich positiv getestet. Ich hoffe, dass konnte dir helfen.

Da sehr viele Leute getestet werden, die die Stoffwechselstörung nicht haben, sind da sehr viele falsch positive Ergebnisse dabei und das übersteigt die Fälle überhaupt an Menschen, die eine Stoffwechselerkrankung haben. Das passiert, wenn der Test unzuverlässiger ist als der Anteil der Bevölkerung, die die Krankheit überhaupt hat.

Deine Interpretation ist komplett korrekt. Zusammenfassend kann man sagen: Obwohl der Test sowohl bei Kranken als auch bei Gesunden eine Trefferwahrscheinlichkeit von mehr als 85 % hat, ist ein positives Testergebnis mit großer Vorsicht zu genießen. Das liegt daran, dass ganz ganz viele der Gesamtbevölkerung gesund sind, und ganz ganz viele mal 10 % sind halt immer noch viele. Zum Vergleich: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein negativ Getesteter auch tatsächlich gesund ist, ist etwa 0,9943. Diese hohe Trefferquote ist nicht weiter verwunderlich, denn immerhin sind 0,99 der Bevölkerung ja wirklich gesund. Dass das Testergebnis bei den Gesunden öfter mal falsch positiv ist, fließt in die Berechnung dieser 0,9943 Prozent nicht mit ein. Was jedoch einfließt, sind die 0,14 der 0,01 Kranken, aber das sind so wenige, dass es sich kaum auswirkt. Um zuverlässig zu bestimmen, ob jemand wirklich krank ist, müsste man dann noch einen zweiten Test machen, der bei den vielen Gesunden sehr zuverlässig anzeigt, dass sie wirklich gesund sind. Denn die Gesunden sind in der großen Mehrheit. Durch die Kombination dieser Tests lässt sich die Genauigkeit steigern.

da ist ein Nebensatz etwas komisch eingeschoben und das ist auch dort wo das Komma fehlt. :D Aber das kann man sich eigentlich schon denken, wie das gemeint ist. Find ich jetzt nicht so schlimm.

Beziehungsweise, dass die Rechnung nicht stimmt. Ist das denn hier niemandem aufgefallen?

naja, meistens sind genaue tese sehr teuer und die sind halt ziemlich günstig, also macht man erst mal so einen test und wenn der anschlägt macht man erst den teuren.