This one is a classic! It's basically the origins of how we now have a formula for the volume and surface area of a ball! It's the second proposition of The Method if anyone's curious!
he didnt try to measure the volume of the spere, the measurement could be used as a proof he tried to prove it the scale helped him a lot because he could place the "slices" on different positions to balance out this is something like integral but with no use of integral
😇 prof, molto bene, Le propongo come sono pervenuto alla formula della superficie sferica che mi ha impegnato molto perché avevo la soluzione sotto il naso e non la vedevo; poi si è accesa la Lampadina ed ecco come: -consideriamo una Semicirconferenza il cui diametro coincide con l'asse cartesiano X, -facciamo ruotare intorno a tale asse X lo sviluppo del semiperimetro (𝝿r) di 4 angoli (𝝿/2)intorno al diametro(2*(2r)) ed abbiamo ingabbiato il volume della sfera. Va da sé che S= (𝝿r)*(2*2r)= 4r^2*𝝿 ; ed più in generale: Ss= 4*A 0ve A= r^2𝝿>> quindi Ss=𝝿[(2r)^2] Come ho calcolato il volume della Sfera? sono partito dall'Ipotesi del Cavalieri ed ho esaminato che rapporto stanno sfera e cilindro quando hanno uguale diametro ed uguale altezza. nel caso da me considerato ho esaminato il caso di diametro =2R=5 La superficie sferica è Vs=4*(2,5^2*𝝿)=78,53981634 Osserviamo intanto che la ( Superficie laterale cilindro / Superficie Sfera)=1.000; infatti ;Sup.lat.cil.=2r𝝿(2r)=15,7*5=78,53981634 questa singolarità ci suggerisce che anche i Volumi possano essere in rapporto all'unità(1). Cavalieri scrive che " i Rapporti delle Superfici Totali ,dei due solidi, sono uguali come lo sono i loro Volumi che però sono in rapporto 3/2=1,5) Verifichiamoli: Superficie tot. cilindro= super.later+ 2(superf,base)= 117,8097245 Superfici sfera = 4𝝿(2,5^2)= 78,53981634 Loro rapporto = 117,8097245/ 78,53981634= 3/2=1,5 Ora verifichiamo il rapporto (Volume cilindro e Volume sfera)= ove Volume sfera = 2/3( Volume, del cilindro) Volume cilindro= area base *2r= 19,63495408(2*r)=98,17477042 Volume sfera =Volume Cilindro/1,5= 98,17477042/1.5= 65,44984693 Ricapitolando : Superficie Sferica/ Volume sfera = 78,53981634/65,44984693=1,2= 6/5 e Sup.Tot.Cilindro / Volume cilindro= 117,8097245/98,17477042=1,2=6/5 Cavalieri ci aveva visto giusto. Rimane la questione: se la sfera è i 2/3 del cilindro a chi si deve attribuire il restante 1/3? Verifichiamo intanto il valore del 1/3 Volume =1/3 Vol. Cil=1/3(𝝿r^2)2r= 2/3𝝿r^3= 2/3𝝿 2,5^3=32,72492347, quindi Volume.Cil/Vol Cono= 98,17477042/32,72492347=3(ok) ovvero Vc=1/3 Vol.Cilindro. Infine Volume sfera==2(vol.Cono) =2*(32,72492347)=65,44984694 Conclusione: Volume cilindro =Vol Sfera+Vol Cono= 65,44984693+32,72492347= 98,17477042. Infine ,ciliegina sulla Congettura di Cavalieri: (Sup.Tot.Cono / Superficie.Sfera)2= (63,54004615/78,53981634)2= (0,809016994*2) =𝛗= 1,618033989... Insomma, il Rapporto aureo è dappertutto.. Va da sè che anche fra (Sup.Tot Cono / Vol Cilindro )*2,5=𝛗>> 2,5( 63,54004615/98,17477042)=2,5(0,647213595=1,618033989..(OK). Saluti da Joseph(pitagorico) li, 29/4/2022(Torino) (giuseppelucianof@gmail.com)
If V_N is the volume of an N-dimensional sphere, V_(N−2) is the volume of an N−2-dimensional sphere, r is the radius, and π is pi, then V_N = (2π/N)·(r^2)·V_(N−2) The most interesting thing here is that it depends on the sphere _two_ dimensions below.
Therefore: V_0=1 V_1=2r (think about why these make sense!) V_2=πr^2 V_3=(4π/3)r^3 (these last two should be familiar) V_4=(π^2/2)r^4 V_5=(8π^2/15)r^5 etc Notice that every other dimension adds another pi You can find more information here: en.wikipedia.org/wiki/Volume_of_an_n-ball
