Also ein MEGA Kompliment an die gesamte Serie. Die Themen aus der Welt der Mathematik sind so gut und so verständlich erklärt, dass man überhaupt nicht merkt das man eben eine Menge gelernt hat. Macht weiter so 😁👍
@@FrogeniusW.G. es bedeutet ja nicht, Nichts von Mathematik zu verstehen, nur weil man nicht rechnen kann. Mathematik hat nicht immer nur mit Rechnen zu tun, dementsprechend kann man sehr gut in Mathematik sein und trotzdem an Diskalkulie leiden.
@@DirtyBasstard86 Weiß ich. Ich hab Diskalkulie (würd ich mal behaupten) und kann deshalb kein Algebra ("rechnen"); Analysis, Stochastik und Geometrie aber schon. Bin aber durch das mangelnde Zahlengefühl nie ein großer Fan von Mathe geworden, weshalb ich mich nicht sonderlich damit befasst bzw. es groß verinnerlicht habe. Darum bereichert mich dieses Video. :)
Macht mal ein Video über komplexe bzw. hyperkomplexe Zahlen oder noch höher dimensionale Zahlenmengen. Ist zwar sehr kompliziert aber ist meiner Meinung nach eines der interessantesten Themen der Mathematik und hat auch praktische Anwendungen.
@@orgess z. B. in der Signalverarbeitung der Elektronik. Vorabinfo: Jedes beliebige Signal kann im Limit in Sinus und Kosinus Signale mit verschiedene Amplituden und Frequenzen dargestellt werden. Eigentlich gibt es noch weitere Darstellungen wie die komplexe Darstellung, die die gleiche Information beinhaltet, nur halt mit reellen und imaginären (also komplexen) Zahlen. Mit der FT (Fourier Transformierte) wird ein Signal in diese komplexe Darstellung transformiert. Diese Rechnung ist auch nur mit reellen Zahlen realisierbar, aber so ist es schöner und kompakter. Es gibt vielleicht bessere Beispiele, jedoch kam mir gerade nur das hier in den Sinn.
Es wird ziemlich einfach und verständlich erklärt. Man hätte vielleicht auch die komplexen Zahlen mit ins Video nehmen können. Schließlich sind die auch die spannendsten :)
"[...] und keine Sorge, wir werden nicht wirklich Mathematik betreiben [...]" Die Erklärungen sind wirklich sehr gut gemacht und die Animationen sehr passed. Aber ihr dürft gerne auch eine Variante der Serie erstellen, in der "wirklich Mathematik" betrieben wird. Das würde die Serie noch wissenswerter machen. Die Krönung wäre, wenn bei einer solchen Advanced Edition jeweils ein kurzes Handout mitgeliefert würde. Also mit den ganzen Formeln, Definitionen und halt der Mathematik, welche vorgestellt wird. (Im Handout könnten dann noch "Lernkontroll-Aufgaben" enthaöten sein, damit das gelernte auch direkt angewendet werden kann. 😉) .. aber bis dahin, finde ich die Folgen auch so äusserst spannend. Danke Arte!
Naja gut, es gibt durchaus schon Lehrbücher. Darin wird dann genau das gemacht, was du vorschlägst. Die hier präsentierten Videos gibt es allerdings in dieser Form noch nicht. Es gibt übrigens auch (gute) Channels, die an das rankommen, was du gerne hättest. 3Blue1Brown hat etwa einen Lineare Algebra Kurs, der durchaus als Mathematik bezeichnet werden kann. Alternativ kann man eben immer die einschlägigen Erstsemesterbücher wie Bosch, Fischer empfehlen,
Ich denke das ist eine etwas andere Geschichte die man zu Zahlen erzählen kann. Es ist ja sozusagen die Idee, wie es wäre wenn der Zahlenstrahl eine Ebene ist. Dann gibt es ja auch noch die Quaternionen als vierdimensionale Zahlen. Wäre sicher auch ein Video wert :)
@@abcxyz5806 Eigentlich fällt der Sprung von den reellen zu den komplexen Zahlen nicht wirklich aus dem hier präsentierten Muster. Die ganzen Zahlen bilden ja auch noch keinen "Strahl", sind eben diskret in R. Anschaulich könnte man sagen, die Reise geht von 0- zu 1-dimensional und dann zum höherdimensionalen (von R aus gesehen..).
Klasse. Bitte machen Sie noch ein paar Klein-Klein-Videos zu diesem Video. Ich ahnte immer, dass ich nicht schlecht in Mathe war. Aber niemand hat mich in meiner Intuition der Gedankengänge unterstützt, die Sie hier so wunderbar und präsentationstechnisch schön darstellen. Sie bekommen rationale und irrationale Likes von mir!
Ich schaue mir «Mathewelten» immer im Bett an. Das gute Gefühl, zu wissen, dass ich nichts weiß, lässt mich wohl und warm einschlummern und süß träumen... 😌
Ich glaube bei 9:25 müsste es heißen "alle Zahlenfolgen" statt "alle Zahlen". Im Übrigen finde ich diese Serie ganz ganz toll und ich finde es beeindruckend, dass ihr es schafft solche Inhalte für ein Fernsehformat aufzubereiten.
Hervorragend vorgetragen und sehr verständlich. Wenn es doch damals in der Schule so vermittelt worden wäre. Die Animationen stechen noch besonders heraus. Ganz große Klasse, wer hat die gemacht und sind noch andere Inhalte damit zu sehen?
Sehr schön! Der Ausdruck von Zahlen ist aus meiner Sicht am wichtigsten wenn man Dinge ins Verhältnis setzt. Das schöne dabei ist das Maßeinheiten egal werden.
Wenn die Wahrscheinlichkeit eine natürliche/ rationale Zahl auf eine Zahlenstrang zu erwischen gleich null ist, wie können sie dann existieren ? Bitte viel viel mehr von Mathewelten. Endlich etwas was wirklich spaß macht sich anzugucken.
Sehr gute Frage. Das ist ein Beispiel, dass die mathematische Wahrscheinlichkeit nicht der Realität entspricht. Abgesehen davon ist das Experiment auch nicht wirklich durchführbar, denn wir können ja eine irrationale Zahl nicht einfach kurz hinschreiben. Der Grund ist, dass die Wahrscheinlichkeit in diesem Fall eigentlich eine Länge ist. Schränken wir uns mal auf das Intervall [0,1] ein. Die Länge ist 1 und daher auch die Wahrscheinlichkeit eine zufällige Zahl daraus zu ziehen. Bei [0,1/2] ist die Länge 1/2 und wir erwarten als Wahrscheinlichkeit auch 1/2. Ein Punkt hat aber keine Länge, daher ist die Wahrscheinlichkeit gleich 0. Die abzählbare Vereinigung von Punkten hat aber immer noch keine Länge und daher ist auch die Wahrscheinlichkeit eine rationale Zahl zu ziehen gleich 0.
@@rittertoby4517 Danke für die Antwort. Was ich aber nicht ganz verstehe, ist, dass selbst wenn wir eine irrationale Zahl nicht schreiben können, existiert sie ja trotzdem. Und zwischen dem Intervall von 0 bis 1 liegen doch unedliche Ziffern. Müsste dann die Wahrscheinlichkeit dann nicht bei unendlich liegen ? Oder 1/0. Also nicht Definiert ? Oder meinst du, dass man nur die Werte 1 und 0 hat. Ja somit ist die Wahrscheinlichkeit bei 1/2. Also am Ende verstehe ich das so, dass die Wahrscheinlichkeit eine Ziffer zu ziehen bei egal welcher Zahl gleich null ist. Danke dass du dir die Zeit genommen hast :) Ps: oder erzähle ich Schwachsinn :DDD Studiere leider kein Mathe :D
@@MH-pl3bq Meine Aussage zu den irrationalen Zahlen soll nur erklären, warum das Experiment nicht wirklich praktisch durchführbar ist. Ich kann mir also nicht so einfach zufällig eine reelle Zahl ausdenken und erwarten, dass ich theoretisch alle Zahlen in [0,1] treffe. Ich kann nicht alle (nicht periodischen) Nachkommastellen aufsagen. Wahrscheinlichkeit in diesem Fall dürfen wir nicht als Anzahl von Zahlen sehen, sondern wirklich als Länge von Teilmengen von [0,1]. Die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Zahl aus [0,1] ist 0, weil die Länge eines Punktes 0 ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Zahl aus [0,1] ist, ist 1. Denn die Länge ist 1. Das macht Sinn weil wir ja nur Zahlen aus [0,1] ziehen können. Bei den rationalen Zahlen ist das Problem, dass wie nur anzählbar viele Punkte haben. Das reicht vereinfacht gesagt nicht aus, um eine Länge zu erhalten.
Danke dafür, dass mein Bild der Mathematik, meines Verständnis für Zahlen und irgendwie der Welt, ansich des Universums auf den Kopf gestellt wurde. Schon wieder!
3:46 Die Wahrscheinlichkeit, eine rationale Zahl auf einer Zahlengerade mit reellen Zahlen zufälligerweise zu ziehen, beträgt nicht exakt 0, sie reicht „lediglich“ unendlich nah an Null heran. Existierende Zahlen können, egal in welcher Form, nicht dem Wert 0 entsprechen, selbst wenn ihnen die Unendlichkeit gegenübersteht.
Doch, die Wahrscheinlichkeit ist exakt 0. Man kann hier die Interpretation "unmögliches Ereignis" aus endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen nicht ins Unendliche übertragen. Im Unendlichen kann ein Ereignis sehr wohl möglich sein, aber trotzdem die Wahrscheinlichkeit 0 haben, man nennt solche Ereignisse "fast unmöglich". Im Gegenzug ist die Wahrscheinlichkeit eine irrationale Zahl zu treffen, genau 1, obwohl dies nicht sicher ist. Hierfür gibt es analog den Begriff "fast sicher". Hier gibt es Zusammenhänge mit der Maßtheorie aus der Mathematik. Einen kleinen Artikel hierzu gibt es auch in Wikipedia: de.wikipedia.org/wiki/Fast_sicher
@@berndkru Mathematische Bezeichnungen hin, oder her, ich beharre auf meiner Meinung, da sich mir die Wahrscheinlichkeit von 0 nicht logisch ergibt. Wie gesagt, etwas Existentes kann nicht als unexistent erklärt werden, ergo kann man die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl von unendlich vielen zu wählen, nicht 0 gleichsetzen, eben nur der Wahrscheinlichkeit „unendlich nahe Null“, welche aber eben nicht dem Wert 0 entspricht. Wenn du anderer Meinung bist, können wir gerne weiterdiskutieren, würde mich freuen.
@@berndkru Ok, ich habe mir deinen Kommentar nochmal durchgelesen, also so, wie ich das verstehe, beträgt die Wahrscheinlichkeit nicht exakt 0, wird aber der Einfachheit wegen als 0 definiert, ist das korrekt, oder habe ich das falsch verstanden?
@@manuelw245 Es geht nicht um Existenz oder Nichtexistenz, sondern um Wahrscheinlichkeiten. Es gibt, wie gesagt, Ereignisse, die eintreten können, aber die die Wahrscheinlichkeit 0 haben. Dass sich dies intuitiv nicht unbedingt erschließt, glaube ich gerne. In der Schule werden ja meist nur endliche Wahrscheinlichkeitsräume betrachtet und da bedeutet Wahrscheinlichkeit 0 auch tatsächlich unmöglich. Dies lässt sich allerdings nicht auf beliebige Wahrscheinlichkeitsräume übertragen. Für ein tieferes Verständnis dieser Materie muss man sich aber mit entsprechender Fachliteratur oder in Vorlesungen in das Thema vertiefen. Ein Diskussionsthread eignet sich zu einer vollständigen Abhandlung dieses Themas eher nicht.
"Georg Cantor beweist, dass es unendlich viel mehr irrationale Zahlen gibt als rationale." - Als Nicht-Mathematiker steige ich hier rational aus. Wäre denn z.B. auch: Undenlich < Unendlich + 1 - Aber, dafür subtrahiere ich selbstverständlich kein Sternchen von meiner Bewertung - Klasse Serie! Danke an das ganze Team!
Wir können die natürlichen Zahlen aufzählen, 1, 2, 3,... und jede natürliche Zahl erreichen wir nach endlich vielen Schritten. Ähnlich können wir alle rationalen Zahlen in einer Reihe aufschreiben und erreichen jede rationale Zahl nach endlich vielen Schritten (Cantor's erstes Diagonalargument). Solche unendlichen Mengen nennen wir abzählbar. Cantor's zweites Diagonalargument zeigt uns, dass das nicht für die reellen Zahlen gilt, die sind also überabzählbar. Wenn wir eine abzählbare Menge wie die rationalen Zahlen haben und abzählbar viele Zahlen hinzufügen, dann könnten wir die zwei Mengen abwächselnd aufzählen, die Mengen zusammen wären also wieder abzählbar. Da die reellen Zahlen aber überabzählbar sind, muss es also überabzählbar viele irrationale Zahlen geben und damit sind es unendlich viel mehr als rationale Zahlen. Cantors Diagonalargumente sind übrigens gut visuell darstellbar, es lohnt sich die zu googlen ;)
Die Tatsache, dass eine zufällig gewählte Zahl mit praktisch 100%iger Wahrscheinlichkeit irrational ist, lässt sich eigentlich ziemlich einfach intuitiv begreifen: zur Konstruktion einer zufälligen Zahl (der Einfachheit halber zwischen 0 und 1) geht man unendlich viele Nachkommastellen durch und randomisiert jede davon - so erzählt man eine uniforme Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Definitionsbereich. Damit diese Zahl rational wird, brauchen wir eine unendliche periodische Wiederholung von Ziffern, die mit jeder weiteren Ziffer erhalten bleiben muss. Angenommen also man hat zufällig so eine Periode erhalten, bspw. 0,123123123_, dann wird das Bestehen dieser Periode mit jeder weiteren Ziffer unwahrscheinlicher, und wir können mit fast absoluter Sicherheit sagen, dass irgendwann im Zuge der unendlichen generierten Ziffern wenigstens eine Ziffer von diesem Muster abweichen wird. Genau so lässt sich auch die Universalität der zufälligen Zahl intuitiv erkennen - da eine "zufällige Zahl" eine unendliche Abfolge von zufälligen Ziffern impliziert, geht die Wahrscheinlichkeit für jede beliebige endliche Abfolge von Zahlen, in dieser unendlichen zufälligen Kette vorzukommen, gegen 1.
Folgt sogar intuitiv aus dem 2. Cantorschen Diagonalargument. Hat man eine abzählbare Teilmenge rationaler Zahlen, so kann man mit diesem eine irrationale Zahl konstruieren, die nicht inkludiert ist. Beliebig oft. Die Wahrscheinlichkeit eine rationale Zahl auszuwählen, geht im Grenzübergang gegen 0. Bzw.: Da Q dicht in IR ist, ist jede rationale Teilmenge eine Lebesgue-Nullmenge => P(x in IR/Q) = 1 - P(x in Q) = 1
Sehr interessant! Wie definiert man jetzt genau eine universelle Zahl? Vielleicht stehe ich zu sehr auf'm Schlauch; was ist der unterschied zwischen unendlich und universell? Danke im Voraus!
Jede zufällig ausgewählte Ziffernfolge kommt in der Ziffernfolge einer Universellen Zahl vor. Als Gegenbeispiel, dass nicht alle Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen, bzw nicht alle Irrationalen Zahlen universell sind: a = 0,10100100010000…, also immer eine 1 und dann jedes mal eine 0 mehr. Diese Zahl ist irrational, da sich die Ziffern nie wiederholen aber auch nicht universell, da die 2 nicht vorkommt.
Die Wahrscheinlichkeit, zufällig auf der Zahlengeraden eine natürliche Zahl zu treffen, ist >0. Sie ist nur unendlich klein. Mit der Zahl der Versuche steigt auch die Wahrscheinlichkeit, auf eine natürliche Zahl zu treffen. Bei einer unendlichen Anzahl von Versuchen wird man unweigerlich auf eine ganze Zahl treffen.
Zunächsteinmal ist es natürlich Unsinn von einer Gleichverteilung auf ℝ zu sprechen. Das Video meint Wahrscheinlich das Lebesguemaß auf [0,1]. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß nimmt Werte in [0,1] an. Deine Behauptung ist somit offenbar falsch, denn reelle Zahlen beinhalten keine Infinitesimale. Es ist auch eine leichte Fingerübung mit den Maßaxiomen zu zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit von {x} für x ∈ [0,1] die Zahl 0 ist, wenn man die stetige Gleichverteilung auf [0,1] wählt.
Wie kommt man auf "universelle Zahlen"? Ist das eine wörtliche Übersetzung aus dem Französischen? Die heißen "normal", ich habe noch nie etwas anderes gehört, noch habe ich (neben esoterisch-kabbalistischen Homepages) irgendwo "universelle Zahlen" im Internet gefunden.
Mathematik fragt nicht danach, was etwas ist, sondern wie die "Dinge" zueinander stehen. Somit sind auch Zahlen letztlich nur dadurch charakterisiert, wie sie sich zu anderen Zahlen verhalten (bspw. algebraische, ordinale, topologische Struktur), und nicht was sie ansich sind. Die Gleichgültigkeit bzgl. der Immanenz mathematischer Objekte drückt sich in dem Konzept der Isomorphie aus.
Klar muss man erstmal die Frage klären, worüber man überhaupt redet. Daher fragt die Mathematik schon, was etwas ist. Natürlich kann man sagen, dass das "etwas" erst zu solchem wird, wenn es klar definiert ist und danach fängt erst die eigentliche Beschäftigung an. Wenn man das so sieht, beschäftigt sich keine Wissenschaft damit, was etwas ist, sondern damit, wie die Dinge zueinander stehen (weil alles zuvor eben nur Klärung der Begrifflichkeiten ist). Aus meiner Sicht ist aber der Weg zum klar definierten Begriff durchaus Teil der Wissenschaft. Tatsächlich ist das sogar ein wesentlicher Bestandteil des Kommunizierens in der Forschung (der oftmals vernachläsigt wird und zu unlesbaren Papers führt). So ist es auch relevant, einmal zu sagen: N ist eine Menge mit den folgenden Eigenschaften.. dann eben mittels Peano-Axiomen oder direkt wie in ZFC die Existenz fordern. Und dabei klärt man die Frage, was wir unter den natürlichen Zahlen verstehen wollen (heißt, "was die natürlichen Zahlen sind"). Wenn man über ZFC denkt, eben Mengen, die aus der einzig gottgegebenen Menge, der leeren, auf die von Neumann-Weise zusammengestöpselt sind. Deine Sicht bezieht sich wohl mehr auf klassifikationsgeprägtes Denken. Dabei ist die Frage: welche Objekte sind wesentlich (d.h. bis auf..) voneinander verschieden? Immer, wenn es um geometrische oder algebraische Objekte geht, wird das relevant sein, um sich in der entsprechenden Kategorie zurechtzufinden. Was aus meiner Sicht das Fernziel jeglicher Beschäftigung mit diesen Objekten ist: die Unterscheidung (d.h. Invarianten finden) und damit Klassifikation. Das ist die Vogelsicht. Wie verhalten sich die Objekte zueinander? Gibt es Mono-, Epi-, Isomorphismen zwischen ihnen? Sind sie die gleichen oder verschieden, liegt das eine im anderen? Untersucht man aber eine einzige Mannigfaltigkeit, trifft die Frage "Was ist M?" schon einigermaßen den Kern, finde ich. Damit meint man: welche Eigenschaften besitzt M? Und dann geht das Untersuchen los und viele Fragen werden nichts mit dem Verhalten von M zu anderen Mannigfaltigkeiten zu tun haben (Ist M kompakt? Ist M hausdorffsch?), andere aber schon (Wird M von N überlagert?).
Vielen Dank für diesen Kommentar! Ich als absolute Niete in Mathematik, bin so fasziniert von Menschen die das alles verstehen und sich geduldig und unermüdlich Mühe machen uns das Geheimnis der Zahlen aufzuschlüsseln. Dein Kommentar hatte für mich einen Aha-Effekt, das hatte ich nie von dieser Seite gesehen.
