Dankeschön für das Video, einfach so verständlich erklärt, sodass Lücken geschlossen wurden. Richtig gut auch, dass du die Zwischenschritte ausführst und diese auch erklärst, was du da gemacht hast. Einfach Top das Kanal. Danke.
Welcher Volks- oder Betriebswirtschaftler muss die Lagrange-Funktion noch selbst (also ohne Computer) rechnen können? Man überfrachtet Studenten mit viel zu viel mathematischen (lösbaren) Idealaufgaben, die sie im Berufsleben nie wieder brauchen oder lösen müssten.
Das kommt natürlich auf Deinen Job an ;) wenn Du in der Wissenschaft, Konjunkturforschung etc. arbeitest, benutzt Du natürlich diesen und vergleichbare Absätze. Allerdings schreibst Du dann eher selten noch die Lagrange-Funktion auf, sondern haust gleich die Bedingungen erster Ordnung raus, und, wenn Du faul (oder effizient ;) bist, lässt Du dann einfach Dynare oder das nächstbeste Mathe-Programm das Gleichungssystem lösen. Andererseits - wenn Du so weit bist, löst Du die auch per Hand in Sekunden bis Minuten. Allerdings gehts ja nicht darum, dass Du das einfach den Computer lösen lässt, sondern dass Du weißt, *wie* er das macht, und Du neue Programme für andere Probleme selbst schreiben kannst. Braucht man das, wenn man später im Marketing arbeitet? Vielleicht nicht. Ich hab aber auch in den letzten 10 Jahren kein T-Konto mehr gesehen (ok, stimmt nicht ganz, bei Zentralbanken^^). Nicht jeder braucht später jedes Thema aus dem Studium - fair enough. Mir geht es mit diesem Kanal aber zunächst mal darum, Studierenden das, was sie im Moment gemäß der Lehrenden eben lernen *müssen* (und ich stimme Dir ja zu, dass die Gewichte evtl. nicht optimal sind), hoffentlich kompakt und effizient zu erklären. Falls wir hier doch mal ne größere Community wären, wären diese Themen aber definitiv auch spannend.
Könntest du eventuell folgende Aufgabe mal rechnen: Nutzenmaximuerungsproblem aufstellen, mit Hilfe der Lagrange berechnen und optimales Güterbündel angeben. Nutzenfunktion ist u(x1,x2)= x1^k mal x2 Lösung muss folgend angegeben sein x1/x2 = … und anschließend die nutzenmaximierende Menge berechnen:)
Kann Lagrange immer zur Nutzenmaximierung verwendet werden? Ich hatte mir im Script aus der VL aufgeschrieben, dass es bei Quasilinearen und allgemeinen Funktionen anwendbar ist (Was ist das überhaupt?), nicht bei Substituten und Komplementen... Aber top Videos, hilft mir weiter.
Hey, danke für das Kompliment! Du hast völlig Recht: Der Lagrange-Ansatz funktioniert bei einigen speziellen Nutzenfunktionen nicht, insbesondere nicht bei Substituten und Komplementen: Grafisch gesehen suchst Du beim Lagrange den Berührungspunkt zwischen Indifferenzkurve und Budgetgerade (falls Du dazu Infos brauchst: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-QOno7evbrjY.html, das ist quasi die grafische Variante von dem, was Du bei Lagrange machst). In diesem Berührungspunkt haben Indifferenzkurve und Budgetgerade die gleiche Steigung. Bei "schönen", normalen Nutzenfunktionen, bei denen die Indifferenzkurven normale, fallende ("konvexe") Kurven sind (wie z.B. Cobb-Douglas), klappt das gut. Bei Substituten und Komplementen funktioniert das aber nicht, weil die Indifferenzkurven dort sehr "seltsam" aussehen: Bei Substituten (z.B. grüne und rote Büroklammern) sind die Indifferenzkurven gerade Linien (d.h. mit konstanter Steigung), während bei Komplementen (z.B. linke und rechte Schuhe) die Indifferenzkurven wie der Buchstabe "L" aussehen und einen "Knick" haben. In beiden Fällen ist das Problem, dass Du keinen Berührungspunkt finden kannst, in dem die "seltsamen" Indifferenzkurven die selbe Steigung wie die Budgetgerade haben. Genau diesen Punkt sucht aber Lagrange und funktioniert deshalb bei Substituten und Komplementen nicht. Ich denke, ich sollte auf jeden Fall ein Video machen, wie man rechnerisch und grafisch das Optimum bei Substituten und Komplementen findet ;) Ich hoffe, ich schaff das in der Weihnachtspause.
@@10MinutenVWL Hi, danke für die Antwort. Ein solches Video wäre klasse. Ein Video, dass erklärt, wie man anhand der Nutzenfunktion erkennen kann, ob es sich um ein Substitut, ein Komplement, eine quasilineare oder allgemeine Nutzenfunktion handelt wäre auch super.
Hat leider etwas gedauert, aber hier schon mal das Video zu Substituten - ich hoffe, es kommt noch rechtzeitig: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-YJVXBDxqC_w.html
Hey, das ist definitiv geplant. Allerdings wäre das eine größere Serie, das Ramsey(-Cass-Koopmams) Modell zu erklären, insofern dauert das leider noch etwas :)
Ich hoffe, ich habe die richtige Stelle erwischt: Wir wollen die beiden Terme in der eckigen Klammer addieren. Dafür müssen zunächst beide den selben Nenner haben. Wir erweitern also die 2, indem wir den Zähler und den Nenner (der ja zunächst 1 beträgt, da wir ihn nicht sehen) mit α multiplizieren. Wir haben dann 48 = A[2α/α+ 2(1-α)/α] Jetzt können wir die beiden Zähler addieren, sodass wir die nächste Zeile aus der Folie erhalten.
Das klingt bei Dir stark nach sogenannten "quasi-linearen Präferenzen", z.B. U(A,B) = 2A^(1/2) + 5B Zum Lösen ist es hier wichtig, zu verstehen, was das eigentlich bedeutet. Dazu schaust Du Dir einmal den Grenznutzen von beiden Gütern an. Der Grenznutzen von Gut A ist A^( - 1/2), d.h. der Grenznutzen von Gut A ist am Anfang unendlich groß und wird dann immer kleiner (wie Du es auch von "normalen" Nutzenfunktionen wie Cobb-Douglas vielleicht kennst). Der Grenznutzen von Gut B ist dagegen konstant und gleich 5, d.h. jede zusätzliche Einheit von B bringt Dir den gleichen zusätzlichen Nutzen. Welche Entscheidung sollte jetzt unser Konsument treffen? Er sollte den nächsten Euro immer in das Gut investieren, wo er für diese Ausgabe den höchsten zusätzlichen Nutzen erhält. Da der Grenznutzen von B immer 5 ist und der Grenznutzen von A zunächst unendlich groß ist, ist es immer optimal, die ersten Budgeteinheiten für Gut A auszugeben (unabhängig von den Preisen). Wenn das Budget groß genug ist, werden wir aber irgendwann an einen Punkt kommen, wo wir so viel von Gut A kaufen, dass der Grenznutzen von Gut A so stark gesunken ist, dass der Grenznutzen pro Geldeinheit niedriger ist als wenn wir stattdessen Gut B kaufen. Jede weitere Einheit unseres Budgets wird dann für Gut B ausgegeben, wo der Grenznutzen ja konstant ist. *Zusammenfassung:* Fang zunächst an, nur Gut A zu kaufen, bis Du den Punkt erreicht hast, wo der Grenznutzen pro Geldeinheit beider Güter gleich groß ist. Gib danach das restliche Budget komplett für Gut B aus. Wie lösen wir das rechnerisch? Zunächst kannst Du ganz normal mit Deinem Lagrange anfangen. Wenn Du Deine beiden Bedingungen erster Ordnung hier kombinierst (also bspw. beide durcheinander dividierst), erhälst Du wieder die übliche Tangentialbedingung (Grenzrate der Substitution = Preisverhältnis). Allerdings wird in diesem Fall in dieser Bedingung nur Gut A erhalten sein, denn Gut B fliegt beim Ableiten raus. Du kannst diese Bedingung dann einfach nach A auflösen. Die Nachfrage nach Gut B erhälst Du, indem Du diese Nachfrage nach Gut A in die Budgetbeschränkung einsetzt und nach B auflöst. Jetzt müssen wir aber noch ganz kurz überlegen: Dieses rechnerische Ergebnis gilt nur, wenn wir tatsächlich *beide* Güter nachfragen. Wir hatten ja oben festgestellt, dass wir zunächst nur Gut A kaufen, und wenn unser Einkommen groß genug ist, hören wir irgendwann auf und geben den Rest nur für Gut B aus. Was wir gerade berechnet haben, war das Ergebnis für genau diesen Fall. Um herauszufinden, bei welchem Budget/Einkommen wir anfangen, Gut B zu kaufen, können wir unsere eben berechnete Nachfrage nach Gut B nehmen und überprüfen, bei welchem Budget die Nachfrage nach Gut B genau 0 ist. Sollte unser Budget kleiner als dieser Wert seit, kaufen wir nur Gut A. Wenn ich Zeit habe, mache ich mal ein Video dazu, in Mikro gibts sowieso noch einiges zu tun ;) Ich hoffe aber, ich konnte Dir auch so schon etwas helfen.
Danke für das Video! Könntest Du meinen Kommilitonen und mir bei folgender Aufgabe weiterhelfen? Wir haben eine Nutzenfunktion u(C,G) = ln(C*G) gegeben. Wir nehmen an, der Staat möchte den Nutzen des Haushalts über die Lebenszeit U= u(C1,G1) + β*u(C2,G2) maximieren. "Mit welcher Höhe der Staatsausgaben G1*>0 und G2*>0 wird dieses Ziel erreicht?" --> Wir haben mit Lagrange berechnet, dass G1*=G2* sein muss, kommen jedoch nicht weiter. :( Die Lösung wäre G1*=G2*=2.5
Hey :) Da fehlen auf jeden Fall noch Informationen. Ihr müsstet auf jeden Fall noch Informationen über das Einkommen des Haushalts in beiden Perioden haben. Falls es noch Infos zum Preis von G gibt, wären die auch noch wichtig, aber vermutlich ist der Preis von G einfach auf 1 festgesetzt.
@@10MinutenVWL Hey, danke für die schnelle Rückmeldung. Folgendes ist noch gegeben: "Nimm zusätzlich an, dass Z1 = 1, Y1 = Y2 = 4.5, β = 1 und r = 0". (Z1 ist hier das Vermögen vor der ersten Periode inkl. Zinszahlungen)
Hey, also zuerst würde ich mal die Nutzenfunktion ausschreiben mit β=1: U=ln(C1)+ln(G1)+ln(C2)+ln(G2) wobei wir hier ln(xy)=ln(x)+ln(y) nutzen. Die Nebenbedingung wäre ja C1+C2+G1+G2=10 (mit r=0 kannst Du ja alle Einkommen/Vermögen einfach addieren). Wenn Du nun Deinen Lagrange machst und nach C1, G1, C2 und G2 ableitest, kriegst Du als Zwischenergebnis C1=C2=G1=G2 (ich vermute, Du hast nur 2 der 4 Ableitungen gemacht und C1 und C2 vergessen). Wenn Du das dann in die Budgetbedingung einsetzt, erhälst Du, dass alle 4 Größen jeweils gleich 2.5 sein müssen. Probier's mal aus und sag Bescheid, ob's klappt :) Da das nach intertemporaler Optimierung aussieht, hier auch noch zwei Videos dazu (evtl. brauchst Du die aber auch nicht): ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-lUMSTLIOLfQ.html ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-LdiniA7wNHw.html
@@10MinutenVWL Danke vielmals! Hat funktioniert. Deine Vermutung bezüglich dem Ableiten ist korrekt :). Die verlinkten Videos sind auch sehr hilfreich, da bei uns manchmal konvexe Nutzenfunktionen gegeben sind und daher das Verständnis des ersten Videos ideal ist (um "totalen Konsum" in Periode 1 oder 2 zu berechnen). Die Steigung der Budgetgeraden oder die Interpretation der Indifferenzkurven sind ebenfalls sehr gut zu wissen. Generell bin ich durch Deine Videos viel selbstbewusster bei den Prüfungen, da ich die Aufgaben nicht nur rechnen kann sondern auch den Sinn dahinter verstehe :D
Super, dass es geklappt hat! Es freut mich natürlich, dass meine Videos Dir helfen, die Themen auch besser zu verstehen. Dann kann bei der Prüfung eigentlich nichts mehr schiefgehen - ich drücke auf jeden Fall die Daumen!
Hi Thomas, wahrscheinlich bist Du etwas zu schnell zur Zusammenfassung gesprungen 😊 Ich erkläre ab 7:30 Schritt 4 sehr ausführlich für fast 3 Minunten, wie man mit Hilfe der beiden Bedingungen 1. Ordnung dann B herleitet. Bei der Zusammenfassung am Schluss wiederhole ich die Rechnung im Detail dann allerdings nicht noch mal.
