Bravissimi. E' un ragionamento molto fine, ma secondo me avete totalmente ragione. Il paradosso nasce da un'ambiguità. Se io traccio la corda scegliendo due punti sulla circonferenza, fissando una direzione e scegliendo una retta a caso, oppure prendendo un punto a caso all'interno della circonferenza darò luogo ad uno "spazio di corde" ogni volta con caratteristiche sue, ovverosia dove certe corde saranno più o meno condensate in una zona o in un'altra. In altri termini (ma prendi proprio con le pinze questo mio enunciato) al variare della coppia di punti, varierà la corda lungo la direzione ed anche il punto medio della stessa nella circonferenza, ma il legame tra i tre "rappresentanti" della corda non è lineare, dunque se si deciderà di far variare uno di essi in modo lineare (quello identificato dalla soluzione del problema scelta), gli altri due non varieranno linearmente a loro volta ma si addenseranno in modo non uniforme. E' un po' come se si dovesse decidere rispetto a quale parametro derivare la funzione "corda". Verissimo anche che il lanciatore seleziona "un modo di lanciare" e che quindi, ancora una volta il legame tra modo di lanciare ed esiti possibili potrebbe essere non lineare, dando luogo anche qui a delle compressioni. Se però, come secondo me intendeva ragionare lo stesso Bertrand, mi muovo in un ambito più astratto, potrò fissare io il parametro da far variare, in modo totalmente astratto: un punto lungo una circonferenza (o un angolo), il punto di intersezione tra la cannuccia e la sua mediana a direzione fissata, oppure il punto all'interno della circonferenza. Questi tre come detto non sono legati linearmente. Dicendo così io sto proprio facendo una scelta e dicendo che o gli angoli sono equiprobabili, o i punti di intersezione sono equiprobabili, oppure i punti nella circonferenza sono equiprobabili. E lo sto proprio postulando. Comunque bello l'esempio del lanciatore. Sarebbe interessante, detto che ogni stile di lancio produce una distribuzione differente, chiederci: e quale sarebbe la distribuzione della totalità degli stili possibili? Ma stili possibili che significa? Idealmente possibili? O quelli di tutti gli individui sulla terra? Ed ogni stile quanto è "denso" sulla totalità degli stili? L'equiprobabilità di conseguenza da un punto di vista operativo non si può postulare a monte ma andrebbe verificata sperimentalmente. Poi lecito il chiedersi il perchè il risultato è in un certo modo ed è lì che si scopre la parte interessante.
Gentile prof Sassoli, premetto che è piacevole sentirla descrivere e mi complimento. Mi sembra di aver capito che il paradosso, tutto sommato e in fondo, mostra che se il concetto di probabilità non ben definito se non è chiaro il meccanismo in cui le variabili casuali sono generate, altri non farebbe che dimostrare ciò che avviene indeterministicamente tra le variabili posizione e quantità di moto nella meccanica quantistica. Ciò che sembra un paradosso, è invece il ben definito e concreto principio di “errore” tanto utile alla definizione di stato dell’energia.
Ringrazio per l'apprezzamento. Non è tanto il concetto di "errore", quanto quello di "fluttuazione non controllabile" e "rottura di simmetria" (l'attuale che rompe la simmetria del potenziale) ma ovviamente la cosa andrebbe spiegata.
Se associamo un valore di caos differente ai tre casi del problema, vediamo che il primo è più caotico del secondo, mentre il terzo è meno caotico del primo, e sulla base di questa considerazione potremmo fare una media ponderata e ottenere, a mio parere, una probabilità, e soltanto una, più attendibile. Complimenti per i suoi video, che seguo con particolare attenzione.
Il problema è stato risolto matematicamente da Jaynes nel suo articolo del 1973 intitolato "The Well-Posed Problem". Il tutto nasce dal fatto che nell'enunciato "prendere una corda a caso" non viene specificato il significato preciso della parola "caso". Jaynes dimostra che qualsiasi metodo che soddisfi la condizione di casualità deve essere dotato di invarianza di scala, traslazione e rotazione. A tal proposito, dall'equazione integrale che descrive l'invarianza alla traslazione e considerando la normalizzazione della funzione densità di probabilità, si ricava che solo una distribuzione con una funzione legata ad 1/r può soddisfare il requisito. Tale requisito è soddisfatto solo dal metodo 2 (quello della cannuccia), mentre negli altri due metodi non si sta scegliendo una corda in modo completamente casuale, come richiesto da Bertrand. Quindi l'apparente paradosso nasce da un'ambiguita nell'enunciato e non da una vera contraddizione matematica.
Grazie del commento. La soluzione proposta da Jaynes è in effetti convincente, ma ha un problema: è limitata al problema specifico posto da Bertrand: non è applicabile a tutte le situazioni probabilistiche dove appare un paradosso dello stesso tenore. Jaynes ritiene che ciò che non è specificato nel problema sia la dimensione, l'orientamento e la posizione del cerchio, e che ciò richieda che la soluzione sia invariante per cambiamento di scala, per rotazione e traslazione, e che una sola soluzione possa soddisfare questo requisito (in realtà, il requisito dell'invarianza per traslazione è già sufficientemente forte da determinare il risultato in modo univoco). A differenza di Jaynes, riteniamo che ciò che rimane non specificato nel problema, a un livello più fondamentale, è il "modo in cui vengono selezionate le diverse corde", cioè il "modo in cui si ottiene la randomizzazione". Ciò significa che ciò che ignoriamo, principalmente, non è quale corda viene selezionata ogni volta, ma il "modo in cui viene selezionata". Ciò che dobbiamo considerare non è una media uniforme su tutte le corde possibili, ma una media uniforme su tutti i possibili "modi possibili di selezionare una corda".
Buongiorno Prof. Non so perché l'algoritmo di RU-vid mi abbia mandato sul suo video (probabile perché sto vedendo ultimamente video sugli insiemi di Mandelbrot e Julia? Sicuramente non c'entrano nulla con la sua lezione), però ho seguito con molta attenzione e piacere la sua lezione su questo argomento e, diciamo, mi piace questo aspetto della Matematica che si occupa di paradossi e teoremi apparentemente indimostrabili tipo quello di Fermat (magari se potrebbe fare un video in merito) o la congettura di Poincarè (anche se è stata dimostrata)... Mi iscrivo subito al suo canale! 😀😀
Il paradosso è effettivamente sorprendente e stimolante. Ancora una volta si rileva che la nostra intuizione, peraltro strumento fondamentale, deve essere tenuta a freno e che le visioni intuitive debbono essere sottoposte ad attenta verifica. Mi sento comunque di fare alcune osservazioni, anche se non so fino a che punto possano essere di aiuto. Solo col secondo metodo (quello delle corde ortogonali) ogni corda viene considerata una sola volta, e ciò è bene. Invece: col primo metodo alcune corde sono generate molteplici volte (la ripetizione è più accentuata per le corde "corte"); col terzo metodo la corrispondenza 1-1 tra punti medi e corde viene rotta per il centro della circonferenza, a cui di botto corrispondono infinite corde. Quindi il primo ed il terzo metodo tendono a sottostimare la probabilità. Potrebbe essere questo il motivo della discordanza di risultati?
Pardon, l'osservazione sul primo metodo è sbagliata. Ogni corda viene contata due volte, e questo è vero per tutte le corde. Così la costruzione è perfettamente valida, e la probabilità complessiva di corda lunga è effettivamente 1/3.
Ciao Leopoldo. Se ad esempio escludi il centro del cerchio, nel senso che riformuli il problema di Bertrand escludendo le corde che passano per il centro, le probabilità che ottieni nei tre metodi restano le stesse. Quindi, considerando il terzo metodo, anche escludendo un’infinità di corde, non modifichi la probabilità (in teoria delle probabilità di parla di “insiemi di misura nulla”, cioè trascurabili relativamente alla misura di probabilità usata). Quindi, per rispondere alla tua domanda, no, non è questa la fonte della difficoltà. Come ho cercato di mostrare assieme ad Aerts nella nostra proposta di soluzione, una soluzione del problema è possibile solo dopo che l'enunciato è stato disambiguato.
@@autoricerca Perdonami, ma il vostro approccio non mi convince; forse non ne ho afferrato il significato. Alla base del problema c'è che non è specificata la misura di probabilità; ci sono varie possibilità tutte ragionevoli, e ciascuna è correlata con una specifica modalità con cui si esegue l'"estrazione" delle corde. D'altra parte è in me fortissima l'intuizione, probabilmente irragionevole, che ci debba essere una misura "naturale". Rimango perplesso.
@@leopoldovaleri4544 Sicuramente la nostra soluzione non fa l'unanimità, quindi, fai bene a rimanere perplesso 🙂 Quello che rafforza la mia convinzione che il nostro approccio sia quello giusto, è la sua connessione con il problema della misura quantistica.
Spett. prof. Sassoli de Bianchi ho seguito il suo video sul paradosso di Bertrand e sto leggendo con molto interesse il libro “Misure Universali”. Lei afferma che la soluzione del paradosso da Voi proposta, che porta all’unico valore possibile di probabilità p=1/2, è “perfettamente compatibile” con quella di Jaynes. E.T.Jaynes aveva ottenuto tale soluzione ipotizzando che la distribuzione di probabilità delle corde dovesse essere invariante sotto un gruppo di trasformazioni che include rotazioni, invarianza di scala e traslazioni del cerchio. In realtà A. Drory nell’articolo “Failure and Uses of Jaynes’ Principle of Transformation Groups” mi sembra abbia provato che, attraverso un’opportuna riformulazione del paradosso (o meglio del problema!) ognuna delle tre soluzioni proposte da Bertrand (ma anche altre!) possa essere derivata utilizzando sempre l’invarianza per rotazione, scala e traslazione. Le chiedo se la Vostra soluzione è effettivamente più generale in quanto non richiede alcuna "ipotesi" o “trasformazione” prederminate. La ringrazio per l’attenzione. Vittorio Colagrande
Salve Vittorio, mi fa piacere che stai leggendo il libricino “Misure Universali” :-) Come precisiamo nel nostro articolo, esiste un’ambiguità nell’enunciato circa la natura dell’entità sottoposta al processo aleatorio (Drory, tra l’altro, nel suo articolo, successivo al nostro, indica a sua volta l’esistenza di un’ambiguità…). Se viene specificata la natura dell’entità, allora si ottiene un problema ben posto, che può poi essere risolto tramite una media universale. Il problema ben posto che si ottiene, tuttavia, è diverso dal problema ben posto considerato da Jaynes, sebbene troviamo la stessa risposta numerica (ma solo nel caso in cui l’entità viene definita in un certo modo, altre definizioni permettono di derivare altri risultati). Jaynes ritiene che ciò che non viene specificato nel problema sia la dimensione, l'orientamento e la posizione del cerchio e che ciò richieda che la soluzione sia invariante di scala, invariante per rotazione e per traslazione, e che solo una soluzione può soddisfare questo requisito. Diversamente da Jaynes, abbiamo considerato che ciò che non viene specificato nel problema, a un livello più fondamentale, è il “modo” in cui vengono selezionate le corde, cioè il “modo” in cui si ottiene la randomizzazione. In altre parole, ciò di cui non abbiamo conoscenza non è quale corda viene selezionata di volta in volta, ma il “modo” in cui viene selezionata. Da cui l’importanza della nozione di media universale, su tutti i modi possibili. In tal senso, il nostro approccio può essere considerato più generale, perché mette a fuoco un livello che solitamente non viene considerato, ne processi aleatori. arxiv.org/abs/1403.4139
Gent.mo Professore, la ringrazio per la cortese ed esauriente risposta. Come da lei chiaramente espresso, come il processo fisico del lancio di una cannuccia (assunto in questo video) porta attraverso la media universale al valore di probabilità 1/2, così i processi di lancio di due sassolini e di lancio di un sassolino e una cannuccia portano, sempre attraverso la media universale, rispettivamente ai valori di probabilità 1/3 ed 1/4. Allora mi sembra che la Vostra soluzione sia più confrontabile con quella di A. Drory, anche se in quest'ultima si parte da assunti di simmetrie. D'altra sono consapevole che il Vostro metodo permette di affrontare anche il problema della misura in fisica quantistica e di interpretare esperimenti in psicologia cognitiva, come descritto in "Misure Universali". Delle perplessità, tuttavia, mi suscita (da profano!) la Vostra interpretazione delle misure nascoste e, in particolare, la "determinazione" della regola di Born per lo spin dell'elettrone attraverso il modello dell'elastico, che mi sembra artificioso!. Grazie per l'attenzione.
@@vittoriocolagrande161 Le perplessità sono sempre le benvenute. Diciamo che l'artificiosità sparisce, quanto meno in parte, quando si osserva che la struttura del "modello dell'elastico" si generalizza a un numero arbitrario di dimensioni, e che è contenuta nella matematica di Hilbert, quando si passa alla cosiddetta rappresentazione (generalizzata) di Bloch. Altrimenti, l'approccio altro non fa che mostrare che un processo di misura è come un processo di rottura di simmetria, dove "l'attuale rompe la simmetria del potenziale", e in tal senso, dal mio punto di vista se non altro, non può essere ritenuto innaturale, anzi. Ma bisogna rinunciare a comprendere i processi osservativi come processi esclusivamente non invasivi e considerare la possibilità per gli enti di soggiornare in stati non-spaziali. Ma sia ben chiaro, io non ho la più pallida idea se l'interpretazione a misure nascoste sia quella realmente implementata nel reale. Quello che so, è che l'unica che al momento è in grado di permettere alla mia piccola mente di capire, o iniziare a capire.
@@autoricerca La ringrazio moltissimo per la risposta. Senz'altro il modello porta a risultati coincidenti con quelli ottenuti attraverso l'approccio matematico dello spazio di Hilbert (facilmente verificabile nel caso di spin 1/2 o di qubit), la mia perplessità nasceva pensando a come il modello potesse "realmente" interpretare la situazione fisica: ma cosa significa "realmente" in meccanica quantistica???
Buonasera professore, ho scoperto solo oggi i suoi video e volevo ringraziarla e farle i complimenti. Sul paradosso di Bertrand le vorrei chiedere: perché non si può escludere la terza soluzione con la motivazione che per il punto che coincide con il centro del cerchio passano infinite corde e non una sola?
Ti ringrazio per l'apprezzamento. Con la terza soluzione, puoi procedere in questo modo. Poiché l'origine del cerchio è una singolarità, puoi escludere dal calcolo un piccolo cerchio di raggio ϵ. Così, ogni punto al di fuori di quel piccolo cerchio, sarà in corrispondenza biunivoca con una corda. A questo punto, fai il calcolo della probabilità, escludendo le corde che passano per il piccolo cerchio di raggio ϵ. Otterrai un'espressione che dipende da ϵ. Facendo tendere ϵ verso zero, otterrai infine il valore ¼.
buona sera prof. e grazie per la lezione su un paradosso del quale nulla sapevo, nonostante la mia tesi di statistica , calcolo prob. prof Pesarin Padova ( test funzionale ..ovvero possibili " forme " di una VC, partendo da un set di misure campione.....molti , molti anni fa ) . Il paradosso , mi sembra richiami l'eterno problema dello spazio dei punti campione...da cui discendono le teorie del calcolo prob. e mi ricorda il teorema del limite centrale di variabili ....Forse è come chiedersi ..gli spazi di Hilbert esauriscono le forme di spazi ...possibili ? Provo inoltre a fare un inciso ...sulla canna lanciata tipo lanci palline da golf.....(ho trovato tali ragionamenti sulle misure in fisica in un vecchio libro di Amaldi ...gli errori accidentali !!!...).....nel ns. caso per esempio il vento ....quindi difficile delimitare-circoscrivere il caso e le relative leggi ....(per questo non sono affatto persuaso sulle conseguenze della Rel. Ristretta (Minkowsky) ...paradosso di Andromeda ...Penrose ....... Il mio spazio ( inteso come terra umani) non è lo stesso degli alieni che " 'potrebbero' " secondo me-noi, ... aver dato esecuzione all'invasione.....quanti spazi di prob ( tempo- spazio ...con invarianza anche delle leggi prob. ???) ci sono in mezzo????.....Ma questa è un'altra storia ...Grazie per la sua gran chiarezza e semplificazione .
Grazie dell'apprezzamento. Non mi è possibile entrare nel merito delle tue riflessioni, ma sicuramente tornerò a parlare di probabilità nel canale, a livello fondazionale, ad esempio per mostrare che esistono diversi modelli di probabilità, non solo quelle "classiche" che obbediscono agli assiomi di Kolmogorov.
Buongiorno Professore, spero mi risponda a distanza di mesi dall'uscita del video: - La convergenza della media universale delle distribuzioni con una distribuzione uniforme (almeno così ho capito,le chiedo anzitutto se sbaglio) é sempre valida? Se no quali sono i limiti di applicazione? - ricordo dall'università il teorema del limite centrale secondo cui la somme di infinite distribuzioni qualsiasi converge ad una distribuzione normale. Questo risultato mi sembra in contrasto con quanto esposto nel video. Quali sono le principali differenze concettuali tra le due cose? (Forse non c'entrano niente una con l'altra?) Grazie mille!!
Salve, in effetti, sono due situazioni completamente differenti. Nel teorema del limite centrale le variabili aleatorie indipendenti, di cui si fa la media, sono tutte dotate della stessa distribuzione.
Buongiorno. Le pongo un quesito in merito alla prima dimostrazione che fissa in un terzo la P che le corde presenti nei 60 gradi siano> di l. Ma in un cerchio ci sono infiniti punti e quindi infinite corde. Alla fine avremmo infinite corde su infinite corde. Forma di indecisione. Mi può accennare brevemente dove sbaglio.?
Bisogna infatti disporre di una 'misura' adeguata, per quantificare la taglia di un sistema che contiene un'infinità di elementi. Nel caso di un intervallo di punti, ad esempio, tale misura è semplicemente la 'lunghezza dell'intervallo'. La teoria delle probabilità, da un punto di vista matematico, è esattamente questo, una 'teoria della misura'.
Paradossalmente anche i sottotitoli sarebbero oggetto di calcolo delle probabilità. Quando viene citato, nel corso del video, il nome di Bertrand, questo viene scritto nei sottotitoli, più volte, in maniera diversa.
Se aumento i vincoli tra il lancio n e il lancio n+1 aumento di conseguenza la probabilità. L’esempio 2: tutti i lanci devono essere paralleli (2 vincoli) altrimenti si cade su una delle altre casistiche. Mi sembrano tre problemi diversi, più che tre soluzioni. Sarebbe un po’ come dire: il lancio viene fatto da fermo con due mani, da fermo con una mano o spostandosi? Altrimenti quando la corda coincide con un lato del triangolo ha tutte e tre le probabilità contemporaneamente.
Stavolta sono davvero confuso. Mi viene da chiederle, caro professore: ma chi l ha detto che ESISTA una legge probabilistica per ogni tipo di artificio? Non possiamo ammettere che la casualità in molti casi non sia imbrigliabile in leggi matematiche , per quanto non deterministiche? Sembra un po presuntuosa sta credenza che se un fatto non è deterministico allora CERTAMENTE esso, ripetuto millemila volte , mostrerà una tendenza associabile ad una probabilità numerica. Chi l ha detto che DEVE essere così? Il problema di bertrand non potrebbe essere un non-problema? Il mio prof di analisi anno 95 unibologna, il terrificante Costante Pontini, una volta rispose a un mio dubbio gelandomi con: se la soluzione non esiste allora non esiste il problema. Se la versione cannuccia dona probabilità 1/2 ma la soluzione sassolini ( trovata da prof sassoli) mostrasse 1/3 ....avrei ragione io ovvero NON ESISTE SOLUZIONE NE DETERMINISTICA NE PROBABILISTICA alla domanda di bertrand il quale sta facendo impazzire la gente spacciando un problema per un non-problema. Che ne pensa prof? Grazie sempre, francesco.
Penso che, come spiego, il problema va prima disambiguato, affinché sia solubile. Altrimenti, certamente, l'indeterminismo di determinati processi non significa necessariamente che via sia una legge probabilistica in grado di caratterizzarli. Un saluto.
@@autoricerca prof disambiguare un problema vuol dire ammettere la sua irrisolvibilitá così com'è enunciato. Se con le cannucce ottieni 1/2 e con i sassi 1/3 vuol dire che lei non ha risolto il.problema ma , meglio ancora, ne ha dimostrato la non esistenza di unica soluzione quindi è mal posto ovvero non è un problema. Dove sbaglio ? Quanto viene la sua soluzione coi sassi ?
Buonasera professore, per me molto difficile da capire, ma con la sua spiegazione sono riuscito a seguire la logica del ragionamento.. vorrei fare una domanda ma non so se è corretta: quanto enunciato è nel campo della geometria euclidea, ma ciò vale anche x le geometre non euclidee? X esempio la somma degli angoli di un triangolo equilatero su una sfera non è 180g, il paradosso si può enunciare lo stesso?
Mi fa piacere che sei comunque riuscito a seguire la linea logica delle mie spiegazioni. Quello della corda è solo un esempio di paradosso di Bertrand, ci sono formulazioni che fanno intervenire altre entità, come cubi, ecc. (adesso no ricordo esattamente). Questo solo per dire che il paradosso ha radici profonde, che non dipendono dall'esempio specifico che viene usato per formularlo. E per rispondere in modo più preciso alla tua domanda, sicuramente il paradosso resterebbe anche se formulato nell'ambito di una geometria non euclidea.
Grazie mille per il video! Il problema però mi pare si possa spostare a ordini superiori: se c’è un modo di selezionare il modo di lanciare, c’è pure un modo di selezionare il modo di selezionare il modo di lanciare, e così via all’infinito. Perché riuscite a fermarvi al second’ordine? Se si vedono le probabilità come soggettive, finisce lì. Non c’è una media “giusta” in assoluto, ma solo una media “giusta” per l’osservatore. O lei crede nelle probabilità come “propensità”?
Le probabilità associate a un sistema (ad esempio quantistico) sono "elementi di realtà", cioè proprietà del sistema, in quanto è possibile predire con certezza i loro valori, che esprimono il grado di disponibilità del sistema nell'attualizzare i corrispondenti esiti. Quanto a sapere dove ci si ferma, questo dipende dalla "profondità" con cui un sistema esplora il campo delle possibilità. Per fare un esempio, solitamente un giocatore di golf colpisce la palla usando un determinato "stile" (che puoi considerare come un modo per selezionare una traiettoria della palla), ma sono pressoché inesistenti i giocatori che ogni volta che colpiscono la palla, selezionano anche uno stile tra innumerevoli stili possibili... Ma la tua domanda, molto pertinente, richiederebbe ben altri approfondimenti.
Non conoscevo questo problema, molto interessante. Forse però tra le tre soluzioni proposte da Bertrand, la 1^ e la 3^ non mi convincevano molto perché utilizzava angoli e superfici che sono enti geometrici diversi dai segmenti, i quali invece vengono utilizzati nella seconda soluzione proposta. Quindi "probabilmente" non è un caso che l'approccio fisico al problema finisca per coincidere proprio con quest'ultima.
A dire il vero, l'approccio operazionale (fisico) dà un esito che dipende dall'entità scelta per generare le corde. Siccome nel video ho utilizzato l'esempio delle "entità tipo cannuccia", il risultato coincide con la seconda soluzione proposta da Bertrand. Se mi fossi invece interessato a delle corde generate da due sassolini, il procedimento della media universale avrebbe dato come risultato la prima soluzione di Bertrand, ecc.
Di certo acquisterò il libro proposto ...Misure universali ....spero di comprenderlo ...non sono un fisico e so qualche frammento di M. Q. ma conto sulla Vs. capacità di semplificazione Cordialmente saluto .
La soluzione consiste nell'osservare che esiste un’ambiguità nell’enunciato del paradosso, circa la natura dell’entità sottoposta al processo aleatorio. Se viene specificata la natura dell’entità, allora si ottiene un problema ben posto, che può poi essere risolto tramite una media universale. La soluzione ½ corrisponde a un particolare problema ben posto. Le altre soluzioni, corrispondono ad altre disambiguazioni possibili del problema.
É come se nella scelta della "proprietà" utilizzata per fare il calcolo delle probabilità ( angolo, diametro, area ) si vada a modificare lo spazio delle possibili soluzioni e quindi anche la probabilità del verificarsi dell'evento positivo. Perciò, siccome il limite n che tende ad infinito della media della probabilità delle distribuzioni cellulari da 1/2 ( che equivale ad utilizzare una distribuzione uniforme fin dall'inizio), potrebbe suggerirci in qualche maniera che "la migliore proprietà" da utilizzare é il diametro siccome da 1/2 come esito 🤔. Inoltre, la soluzione 2 ( quella che fa uso del diametro nel calcolo della probabilità), é quella che più si avvicina al quesito posto da Bertrand a livello concettuale, intesa come modalità di misurare l'esperimento fisico in maniera "diretta"( senza condizionarlo).
e' un buon esempio per illustrare gli impieghi del teorema del cambio di variabile aleatoria. Per esempio nel primo caso ipotizzo una distribuzione uniforme sull'angolo alfa, tra tangente e corda, nell'intervallo [0°,180°], di converso, nel secondo caso, ipotizzo uniforme la distribuzione dell'apotema x nell'intervallo [0,D]. Anche se la regione angolare favorevole e' [60°,120°] in entrambi i casi, nel primo caso essa va "misurata" probabilisticamente, rispetto a [ 0°,180°], in modo direttamente uniforme, dando luogo a 1/3; invece nel secondo caso, volendo sempre far riferimento a una misura di (densità di) probabilità angolare, essa non sarebbe uniforme poiché fattorizzata dalla derivata non-costante della funzione tra apotema e angolo: pertanto lo stesso intervallo angolare favorevole avrebbe misura probabilistica diversa, in effetti 1/2.... Si può ragionare in modo del tutto reciproco sull"apotema: la regione lineare favorevole e' [D/4,3/4D] in entrambi i casi: nel secondo caso essa va "misurata" probabilisticamente rispetto a [ 0,D] in modo direttamente uniforme, dando luogo ovviamente a 1/2; invece nel primo caso, volendo sempre far riferimento a una misura di probabilità lineare, essa non sarebbe uniforme poiché fattorizzata dalla derivata non-costante della funzione tra angolo e apotema, sicché si ottiene 1/3. Quindi, come e' stato giustamente detto, i risultati sono diversi semplicemente perché sto utilizzando due diverse funzioni di misura probabilistiche, ambedue conformi alle regole assiomatiche, ma ovviamente esprimenti "condizioni di lancio" differenti; infatti le due uniformita' non possono coesistere poiché tra angolo e apotema vi è una relazione non-lineare, quindi con derivata non-costante. Pertanto il paradosso non è assolutamente a livello della Teoria Matematica Kolmogoroviana (e davvero il paradosso si avrebbe se tornassero risultati uguali, il che sarebbe a dire una perdita di validità del teorema del cambio di variabile nell'integrale di Lebesgue,😱...), piuttosto al livello dell'arte di applicazione di essa, cioè della modalità, tutt'altro che univoca,, in cui il linguaggio formale della teoria viene impiegato per "rappresentare", "modellare" la situazione sperimentale (un po' come l'impiego della grammatica e della sintassi dell'Italiano per "formulare" i nostri pensieri)
Buongiorno, grazie per il video. Prima di seguire il paradosso ho provato per conto mio a rispondere alla domanda calcolando la probabilità in modo ingenuo. Non conoscendo il contenuto del paradosso non ho dato peso al metodo con il quale determinare la corda ma ho pensato che la corda fosse tracciata: le possibili lunghezze vanno da 0 a 2R. Non vedendo alcun motivo per ritenere che la lunghezza di una corda sia più probabile di un'altra ho poi valutato i casi favorevoli, da radq3 R a 2R, il mio risultato sarebbe quindi (2-radq3)/2. Direi che ogni altra risposta equivale ad affermare che la lunghezza di una corda è a priori più probabile di un'altra, si verrebbe a creare quindi una distribuzione non uniforme nella probabilità che una corda abbia una certa lunghezza , meglio, che un certo intervallo di lunghezze sia più probabile di un altro. Ad esempio la prima costruzione decide di stabilire che P(0
Nel tuo calcolo confondi il numero di corde con una determinata lunghezza con la lunghezza delle corde. Come indicizzi le corde che hanno una determinata lunghezza? Perché è su quegli indici che puoi calcolare il rapporto tra il numero di eventi favorevoli e il numero di eventi totali.
@@autoricerca grazie della cortese risposta, ovviamente non indicizzo il numero di corde di una determinata lunghezza con la loro lunghezza, la probabilità di estrarre un numero reale dato da un bussolotto con dentro tutti i numeri reali di un intervallo è zero, ma, come ho scritto forse troppo brevemente sopra, sostengo, e non mi pare male, che a parità di intervallo di lunghezza (non di lunghezza), ci sia la stessa probabilità di trovare lo stesso numero, infinito, di corde. La suggestione fuorviante secondo me sta nel disegno di Bertrand: io ho analizzato sopra il primo caso. Provo a dirlo in altro modo. Nel primo disegno l'angolo piatto è ripartito in tre angoli da 60 gradi ciascuno, ciascuno dei quali è pieno fitto fitto di corde che passano per il primo estremo. Dispongo il triangolo equilatero in modo che abbia il vertice su quell'estremo. Ora considero le corde: nell'angolo di 60 gradi "interno" ci sono tutte le corde "buone", quelle più lunghe del lato, negli altri due angoli ci stanno le corde "cattive", quelle più corte del lato. È Bertrand a suggerire la suggestione che la numerosità delle corde si legata all'ampiezza dell'angolo ma tale ipotesi equivale a dire, mi sembra, che la numerosità delle corde lunghe da radq3 a 2 sia più intensa della numerosità di intervalli di lunghezza uguali tra le rimanenti corde più corte. Questo mi pare fuorviante: un'eventuale proporzionalità diretta tra ampiezza dell'angolo e densità di distribuzione delle lunghezze ci porterebbe a dire che il numero delle corde che hanno lunghezza compresa tra 1,73 e 2 (relegate nell'angolo centrale) è uguale al doppio del numero delle corde che hanno lunghezza compresa tra 0 ed 1,73 (relegate negli altri due sestanti), che sembra poco ragionevole.
La mia proposta è quella di dire che la numerosità delle corde vada ripartita il modo eguale a parità di intervalli di lunghezza, ad esempio direi che la probabilità di trovare corde lunghe tra 0 e 0,1 sia uguale a quella di trovare corde lunghe tra 0,1 e 0,2 e così via, con una distribuzione uniforme. Quindi, secondo tale ragionamento, la probabilità di aver corde di lunghezza compresa tra 1,73 e 2 è 0,27/2 di quella di trovare corde di lunghezza tra 0 e 2. Ogni costruzione di Bertrand da pesi diversi alla probabilità di trovare corde in diversi intervalli di lunghezza isometrica. Forse il problema tocca un la possibilità di stabilire un postulato indecidibile nella matematica che utilizziamo di solito, forse no. Forse ho frainteso il discorso, comunque l'idea di ragionare sugli intervalli di lunghezza non mi sembra peregrina e mostra come ogni costruzione di Bertrand dia pesi diversi alla distribuzione della numerosità delle corde.
L'alternativa sta nell'accettare il fatto che la distribuzione delle corde per intervalli di lunghezza è legata al metodo seguito per tracciarle, come se le corde non esistessero prima di essere tracciate. Sì, si tratta di questioni interessanti. Banalizzando, ma neanche troppo, posso dire che un triangolo di lato 20 cm sia in realtà un esagono se dispongo di un righello di 15 cm perché per tracciarlo devo spostare il righello e fare almeno sei segni? Fino a che punto posso legare i risultati al processo seguito? Fino a che punto posso ragionare come se avessi il risultato senza curarmi del metodo utilizzato per conseguirlo? Grazie per lo spunto, adesso, se fossi uno studioso serio e non un vecchio turista pigro, dovrei mettermi a cercare in rete o in biblioteca di dipartimento quali ragionamenti accompagnino in letteratura questo paradosso di Bertrand, per vedere se qualcuno abbia condotto un ragionamento simile al mio o al suo o chissà che altri bei ragionamenti ci sono, temo di non avere sufficienti energie e forse, se non ci ho capito niente, non ne varrebbe nemmeno la pena.
@@stefanostefano6317 Il problema, nel tuo tentativo di risposta, è che non rispondi realmente alla domanda posta da Bertrand, ma a un'altra domanda che è la seguente: "Qual è la probabilità che scegliendo a caso un segmento di retta di lunghezza compresa tra 0 e 2, questo abbia una lunghezza superiore a √3?" Ti puoi rendere conto di questo, osservando che la tua risposta non tiene conto in nessun modo della geometria del cerchio, cioè del fatto che la corda sia tracciata su un cerchio. Se considero la domanda alternativa: "Tracciando a caso una corda su un quadrato di lato 2, qual è la probabilità che sia più lunga di √3?", immagino che tu daresti la stessa risposta, ma non può essere corretto, perché i modi di tracciare una corda che interseca una data regione di un piano dipende necessariamente dalla geometria della regione in questione. Immagina, per fare un esempio limite, che la regione in questione sia tale che nessuna corda che la interseca possa essere di lunghezza superiore a √3. In questo caso, la tua risposta sarebbe assurda. In altre parole, nella tua risposta, ti disinteressi della parola "tracciare su una regione X". Ma è una parte fondamentale del quesito, senza la quale il quesito, e la sua risposta, diventano banali.
Ad occhio e ad intuito, direi che la probabilità di prendere una corda più lunga del lato del triangolo sia pari al rapporto tra [altezza del triangolo meno (diametro del cerchio meno altezza)] e [diametro del cerchio]. Cioè come nel metodo 2) di Bertrand, che nel video vedo che dà 1/2. Gli altri due metodi dati da Bertrand non mi sembrano corretti perchè partono da un punto (il che a mio parere non garantisce l'indifferenza), mentre il metodo 2) parte direttamente da una corda casualmente data, senza sapere come sia stata generata, e da essa risale alla probabilità attraverso la larghezza della "fascia". 20:35 "Ma che cosa vuol dire tracciare 'a caso' una corda?" Esatto. Per questo il metodo 2) mi sembra corretto, perchè parte da una corda già lì - non si sa come sia apparsa, ma noi supponiamo che sia "casuale" - e poi si vede che probabilità ha di stare tra le corde più lunghe o più corte. Sembra quindi che il problema non possa neanche avere una soluzione "sperimentale", in quanto saremmo costretti a scegliere un modo particolare di generare corde "casuali", che potrebbe dare risultati diversi rispetto a modi diversi di generarle. [e infatti nel seguito del video mi pare tu dica proprio questo] Per quanto riguarda la parte difficile, secondo me a livello teorico (intuitivo) la soluzione 1/2 data dalla "cannuccia" è corretta. Si tratterebbe di fare un esperimento con le cannucce, la sola cosa "fisica" che mi viene in mente in grado di dare lanci di cannucce abbastanza "casuali" sarebbe un equivalente della camera "caotica" ad aria che usano per le estrazioni del lotto, facendola abbastanza grande, con la cannuccia che svolazza per un po' caoticamente e poi cade sul pavimento dove è tracciato un cerchio, ma vedo problemi di possibile non equiprobabilità relativi al fatto di come la cannuccia cade sul cerchio, le corde potrebbero risultare non proprio casuali (potrebbe essere più probabile che una cannuccia cada a dare corde corte che a dare corde lunghe - ci sono meno modi in cui una cannuccia di una data lunghezza può dare una corda lunga con una data orientazione, che modi per dare una corda corta della stessa orientazione). [possibile soluzione: ovunque cada la cannuccia, anche fuori dal cerchio, si prende la retta che prolunga la cannuccia e si considera la corda data dall'intersezione di questa retta con il cerchio] [evvai, vi è venuto 1/2, mi fa piacere...]
Si conferma che gli studi universitari di Fisica non prevedono un serio corso di Calcolo delle Probabilità. Basta leggere un testo di base come il notissimo e vecchio Probability, Random Variables and stochastic processes di Papoulis per capire che non esiste alcun paradosso, semplicemente tre diversi esperimenti definiscono tre diversi spazi campione e quindi tre probabilità diverse. Personalmente ho insegnato per 25 anni questo “paradosso agli allievi del secondo anno di ingegneria. Stessa cosa e’ il famoso esperimento delle due fenditure : chiudendone una si esegue un diverso esperimento e si opera in diverso spazio campione. Nulla di misterioso😅.
Molti esperti di probabilità, matematici, fisici e filosofi della scienza, nei decenni si sono interessati al problema posto da Bertrand, e da problemi simili. Non credo si possa dire che lo hanno fatto perché non hanno seguito un buon corso di calcolo delle probabilità 😂. Naturalmente, si può sempre adottare la tua prospettiva, di stampo empiricista, dire semplicemente che si tratta di esperimenti differenti, senza mai interrogarsi sul perché certi esperimenti producono determinati risultati, oppure, si può provare a scendere più in profondità, e cercare di capire cosa accade "dietro le quinte" di un esperimento, ad esempio quello della doppia fenditura (ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-7uSWAD57a5I.html).
Sono 3 probabilità diverse. La prima riguarda la probabilità che: "Dato un punto qualsiasi di una circonferenza, tracciando una corda a caso che passi per quel punto che probabilità ci sono che la corda sia più lunga del lato del triangolo equilatero inscritto" La seconda è la probabilità che: "Data una direzione qualsiasi che probabilità ci sono che tracciando una corda perpendicolare a detta direzione la corda risultante sia più lunga del lato del triangolo". La terza è la soluzione corretta. Per capirlo basta pensare che ogni corda ha un punto medio. Nel primo e nel secondo caso al variare della corda i punti medi stanno su una curva e quindi non coprono tutte le possibilità. L'unico caso in cui stanno su una superfice e quindi coprono ogni caso possibile è il terzo. Non mi sembra quindi che ci sia un paradosso.
Anche le prime soluzioni coprono tutte le possibilità, in quanto il punto sul cerchio è qualsiasi e il risultato non dipende da tale scelta. Stessa cosa per la direzione.
In una selezione veramente casuale delle corde non deve esserci nessuna correlazione tra le corde scelte. Nel metodo numero 2 la correlazione tra le corde è evidente , essendo tutte corde parallele tra loro. Anche nel metodo numero uno tutte le corde scelte hanno un punto in comune. Ed infine il metodo tre non sceglie corde qualsiasi, ma favorisce la scelta di corde più corte del lato del triangolo equilatero rispetto a quelle più lunghe. Quindi è del tutto normale che i tre risultati siano differenti in quanto la scelta delle corde nei tre metodi non sono del tutto casuali, ma utilizzano " famiglie di corde" che influenzano il risultato finale in base alle caratteristiche della famiglia scelta.
La domanda è: come definisci una famiglia di corde tale che non vi sia alcuna correlazione tra le corde scelte? E come definisci tale correlazione? Il problema di Bertrand ruota attorno alla difficoltà di rispondere in modo univoco a tali domande.
La cosa la trovo più semplice e il risultato del quesito è 13/36 Se nel quesito resta ambiguo come scegliere la corda nel cerchio ed emerge che ci sono 3 modalità di scelta, visto che non ci sono altre informazioni queste tre modalità di scelta costituiscono una partizione dell'insieme con probabilità 1 ed equamente probabili perché non specificato. Applicando il teorema della probabilità condizionata ne risulta 1/3 * 1/3 + 1/2*1/3 + 1/4 * 1/3 = 13/36
sono d'accordo con te. come ho commentato sopra, le tre probabilità che bertrand introduce dovrebbero essere viste come condizionate e la media universale non sarebbe altro che la legge della probabilità composta. rimarrebbe da introdurre le probabilità con cui si sceglie il metodo di soluzione. se le prendiamo uguali (massima ignoranza) il risultato che riporti è corretto
Grazie per questo video, molto interessante. Ho provato a scrivere un programma che simula la cosa ed ho ottenuto questi risultati. Totale lanci: 1.500.971; Intersezioni: 993.005; Rapporto: 0,6615.... Sembra ci sia una convergenza sulle prime tre cifre decimali del rapporto, mentre la quarta cifra sembra oscillare tra 5 e 9. E' compatibile con i vostri studi? Grazie e complimenti!
@@autoricerca Il triangolo inscritto nella circonferenza è fisso. Per le corde scelgo due punti sulla circonferenza in base a due angoli generati a caso con due cifre decimali. Ora ho rilanciato e sta ancora girando. Al momento con 6 milioni di casi il valore è fissato alla quarta cifra decimale e vale 0,6624. A differenza della prima soluzione di Bertrand il primo punto della corda, come dicevo, non è fissato su un vertice del triangolo.
@@gianpaolosaliola La domanda qual è? Il nostro problema dice: "Ho 3 algoritmi che costruiscono una medesima cosa. Partendo da distribuzioni di probabilità di ugual natura ottengo questa medesima cosa che ha 3 distribuzioni di probabilità differenti." L'idea è questa e in questo caso che succede? La cosa ottenuta è la lunghezza della corda ma non la corda in sè. Facciamo un esempio: la lunghezza è X, quante corde ci sono che danno lunghezza X? Infinite °^° Si ok ma quante rispetto a tutte? Nessuna °^° Infatti l'infinito delle corde esistenti è più grande dell'infinito delle corde di lunghezza X e su questo siamo d'accordo. Ma se adesso, invece di X, ti dicessi "intervallo [a,b]"? Un computer sommerebbe tanti 0 quanto è fitta la discretizzazione di [a,b] e avrebbe che la probabilità è comunque 0. Il che è un errore perchè si avrà che la probabiltià di avere una corda generica è comunque 0 :/ Ciò che umanamente vogliamo da questo problema è una distribuzione di probabilità uniforme sull'insieme delle corde. Ma cos'è? È questa la domanda. La risposta è che non lo sappiamo perchè non esiste modo logico di saperlo. Il fatto che non esista modo di sapere qualcosa non significa che c'è una risposta ma che non abbiamo gli strumenti per scoprirla. Ad esempio "quante zampe ha uno zaino?". La domanda è sintatticamente, semanticamente e lessicamente corretta, tuttavia non è possibile rispondere se non per definizione (cioè dovrei dire "di norma gli zaini hanno 3 zampe. Quante zampe ha uno zaino?" "3"). La cosa interessante è che questo problema può essere facilmente visualizzato come segue: Pensa ai 3 modi come punti di vista quindi 3 posizioni nello spazio. Le distribuzioni sono leggi prospettiche cioè le 3 persone nelle 3 posizioni possono scambiare di posto e vedere allo stesso modo le stesse cose che vedeva l'altro (cioè non è che una persona le vede più schiacciate). La lunghezza della corda è l'oggetto che si sta vedendo dalle 3 posizioni con ugual leggi prospettiche. Quello che si ottiene sono 3 prospettive diverse dello stesso e non esiste modo per cambiare questa cosa lasciando ferme le posizioni, le leggi prospettiche e l'oggetto. Ad esempio scegliere un angolo a caso è imporre una posizione e una legge prospettica universale, non si è risolto il problema :)
@@gianpaolosaliola Se hai modellizzato la corda tramite due angoli, che identificano due punti sulla circonferenza, allora quello che trovi è del tutto corretto. Attenzione però, 0,66... cioè 2/3 è la probabilità che la corda sia più corta, non più lunga del lato del triangolo equilatero inscritto.
Sarò superficiale ma a me non sembra un paradosso ma una domanda mal formulata. Infatti io direi qual è la metodologia che mi garantisce la maggior probabilità di trovare la corda maggiore (o minore)? E ragionando così si possono costruire un'infinità di problemi risolvibili in maniera più o meno facilmente.
Quello che con Diederik Aerts abbiamo cercato di mostrare, nella nostra proposta di soluzione, è che in effetti il problema contiene una parte ambigua, che va disambiguata, quindi, sì, un aspetto riconducibile a una sorta di domanda mal formulata. Quando la domanda viene formulata in modo più preciso, resta poi il problema di poter calcolare una media universale, su tutti i modi possibili di produrre un esito. Il quesito non è però relativo alla "maggior probabilità", come scrivi, altrimenti la risposta sarebbe triviale: 1.
E' inevitabile che i tre metodi, che non sono per nulla equivalenti, diano luogo a tre risultati diversi. Non ci vedo un gran paradosso, ma semplicemente il fatto che qualcuno si è dimenticato di dire che stava misurando tre cose diverse.
mmmmmh forse non ho ben capito il problema io... Se ho due insiemi non numerabili o forse più precisamente 3: coppie di punti che originano L>l coppie L
È possibile parlare di probabilità anche se abbiamo a che fare con insiemi infiniti non numerabili, così come possiamo parlare del valore di un'area di una superficie, o del volume di un solido, formati da un'infinità non numerabile di elementi. Esiste un'importante branca della matematica che si occupa di definire in modo chiaro e rigoroso la nozione di misura, di cui la misura di probabilità è solo un caso particolare. Rimando ad esempio al seguente articolo di Wikipedia: it.wikipedia.org/wiki/Misura_(matematica)
Se si muove la corda parallelalamente alla base del triangolo, è facile vedere che sarà uguale al lato del triangolo quando raggiunge la base dell'apotema; sarà maggiore fino a raggiungere la stessa distanza dal vertice del triangolo, quando tornerà ad essere di uguale lunghezza. Siccome tale diastanza è 1/4 del diametro, il rapporto tra D-dx2 e D sarà appunto 1/2. Troppo elementare?
Grazie, molto interessante. Ma rimanendo nell'ambito del paradosso di Bertrand, mi chiedevo relativamente al primo caso, ovvero del triangolo equilatero. La probabilità è definita esclusivamente sul triangolo illustrato, ma questo è solo uno degli infiniti triangoli equilateri che si possono disegnare sul cerchi; si potrebbe risolvere il paradosso da questo punto di partenza oppure no? poi se consideriamo che i triangoli non sono tutti orientati in modo diverso ma l'orientamento si ripete dopo una rotazione del triangolo di 120° intorno al centro del cerchio; mi chiedevo: si può estendere la probabilità di un terzo del singolo triangolo, a tutti i triangoli contenuti in un intervallo di 120°?
Nella prima situazione, il triangolo è determinato dal primo punto scelto sulla circonferenza (un solo triangolo equilatero inscritto possiede quel punto come suo vertice). Quindi, dato un punto iniziale, non c'è un'infinità di triangoli possibili, ma uno solo. L'osservazione importante è che la probabilità calcolata non dipende dalla scelta del punto iniziale, quindi è ininfluente che vi sia un'infinità di triangoli, associati a un'infinità di punti iniziali (scelti ad esempio su un arco sotteso da un angolo di 120°).
Non è uno e uno soltanto il triangolo equilatero inscritto in una circonferenza? Tanto che le sue misure sono direttamente esprimibili col noto rapporto rispetto al raggio ( l = r√ 3 )
Buongiorno Massimiliano, Direi proprio che non viene violato alcun principio di indeterminatezza. INFATTI - Se, ci immaginiamo il paradosso posto come un unico sistema chiuso ed indipendente dall'esterno (ossia un sistema con "cerchio + corda + triangolo + domanda" dentro, indipendentemente che il quesito del paradosso sia vago o preciso) E - Se ci immaginano "angolo", "retta" ed "area" come tre differenti strumenti di misura ALLORA - Il risultato sarà quindi differente a secondo di con quale strumento di misura si sia interagito col sistema. Ottenendo quindi, in questo caso, quelle tre risposte come tutte e tre 'contemporaneamente' corrette, ma che afferiscono a tre differenti qualità/proprietà/stati/caratteristiche intrinseche di quel sistema. [ NOTA ] Non sono un fisico nè un matematico nè uno scienziato. Mi sarò quindi espresso in termini non troppo formalmente corretti, chiedo venia di ciò. Per lo stesso motivo, ovviamente, non sono in grado di sviluppare alcun calcolo al riguardo, ma altri sono certamente in grado di svilupparli o di approfondirne concetti, relazioni e sviluppi. (C)(r) Hazet 2023
"...che afferiscono a tre differenti qualità/proprietà/stati/caratteristiche intrinseche di quel sistema..." riformulo meglio: ...che afferiscono a tre differenti qualità/proprietà/stati/caratteristiche intrinseche e/o relazioni di quel sistema...
Sono un musicista (!) che studiò ingegneria, quindi... Ammiro la tua estrema pulizia mentale, ovvia, ed amo anch'io la matematica; grazie e buon lavoro ;)
Puoi sicuramente considerare una media delle tre probabilità ottenute con i tre metodi proposti da Bertrand. Ma quei tre metodi non sono gli unici metodi possibili...
Si afferma una ambiguità che non è teorica ma solo empirica, è chiaro che ci sono modalità infinite di eseguire empiricamente un esperimento o meglio che ogni esecuzione e influenzata da tecniche, modalità, parametri diversi ma non credo che c'entri con ciò che rende paradossale l'argomento, il paradosso consiste nel fatto che tre procedimenti geometrici corretti diano tre risultati differenti al livello teorico...si rende ambiguo calando la teoria nella prassi che per essa stessa mette in campo variabili contingenti di numero illimitato...
In onestà la soluzione uno non mi sembra lo stesso problema dell'enunciato iniziale. Come fa a dimostrare che la rotazione del triangolo su un punto della corda (soluzione n.1) è equivalente all'enunciato generale ? In altri termini come fa a dimostrare che la casistica della corda della prima figura a sinistra è inclusa nella soluzione n.1? perché la soluzione sarebbe indipendente dalla distanze dei 2 punti scelti come corda da uno dei vertici del triangolo ? Ancora: sempre nella soluzione 1 perché una corda parallela alla corda di interesse sarebbe considerata nel risultato generale 1/3 ?
Sempre sulla soluzione n.1: parto da un vertice e traccio una qualsiasi corda più piccola del lato del triangolo equilatero; considero il triangolo inscritto nel cerchio composto da un lato del triangolo equilatero, dalla corda più piccola e, se non è errato, da una corda più grande del lato. Quindi per ogni corda più piccola posso ricavare una corda più grande del lato del triangolo equilatero. Ottengo una corrispondenza tra una corda più piccola ed una più grande; considerando le 2 eccezioni (lato uguale) ho che il 50% delle corde sono più piccole ed il 50% più grandi. Qual è la fallacia di questo ragionamento? Grazie.
Il problema è proprio questo, trovare delle soluzioni che rispondano all'enunciato iniziale di Bertrand, e poiché sono a priori molteplici, si produce un apparente paradosso.
Risultato errato, non è 1/2 se non per uno dei tre esperimenti . Siamo all’UCAS : Ufficio Compicazione Mi pare che manchino le basi. Diceva Lenin : studiare…studiare…e mai dire “lo strumento seleziona un modo di selezionare” che non significa nulla.
Spiego nel video che il risultato 1/2 corrisponde a una specifica disambiguazione dell'enunciato di Bertrand. Quanto alla frase che menzioni, significa qualcosa invece, come cerco di spiegare sempre nel video (ma vista la tua reazione, devo sicuramente migliorare qualcosa nella mia didattica 😅), e in questo articolo: aip.scitation.org/doi/10.1063/1.4890291 (versione preprint: arxiv.org/abs/1403.4139).
Arrivato ai 4/5 del video, credo che Sassoli de Bianchi abbia urgente bisogno di studiare un corso di base di probabilità (non so se passerebbe l’ esame)
Sono tutte corrette, nel senso che specificano tre situazioni sperimentali differenti. Ma sono tutte errate, se non si specifica la situazione sperimentale cui fanno riferimento. Oppure, è possibile fare una media uniforme delle tre probabilità., se non si vuole specificare la situazione sperimentale, e la si vuole scegliere in modo del tutto casuale. In tal caso, la probabilità media diventa =13/36 (la media uniforme di ½, ⅓ e ¼).
@@alastairmckay4567 Non è strano. Se io ti chiedo: quanto ci metti a salire in cima al Cervino? La risposta dipenderà ovviamente dalla via che scegli per salire. Se la domanda non la specifica, avrai una collezione di risposte possibili, una per ogni "metodo" (via di ascesa) utilizzato.
@@autoricerca sì, con un certo profitto, giacchè non è il mio campo, ci ho fatto delle meditazioni filosofiche sul fatto che ci saranno certo altri casi in cui il calcolo delle probabilità sulla stessa cosa porta a risultati diversi
@@giuserastelli4245 Quello presentato nel video è solo l'esempio classico, si possono immaginare innumerevoli situazioni in grado di dare vita al "paradosso".
quello che mi urta e' che la definizione di corda in geometria possa essere ambigua, che a quanto pare e' l'unico risultato di tutti questi ragionamenti
@@autoricerca ah gia'. Anche peggio, nel senso che se ne deduce che non basta definire in modo esatto gli enti geometrici, ma evidentemente bisogna aggiungere alla geometria una o piu' modalita' operative per la generazione di tali enti, altrimenti non si possono inferire teoremi con la certezza che il risultato sia unico o addirittura errato. Poi se qualche matematico avesse un sussulto di dignita' dovrebbe chiedersi se la vostra soluzione sia a sua volta unica o se ce ne siano altre che diano un risultato diverso.
@@rosaklebb6435 C'è un piccolo malinteso. Anche se la teoria delle probabilità è una branca della matematica, le probabilità sono qualcosa che misuriamo nei sistemi fisici. Quindi, a prescindere dalle formalizzazioni matematiche astratte, bisogna anche chiedersi in che modo gli esiti che otteniamo, quando operiamo su un sistema con un determinato protocollo (esiti a partire dai quali calcoliamo poi delle probabilità sperimentali), dipendano dalle specifiche del protocollo stesso. Alcuni protocolli saranno tra loro equivalenti (produrranno le stesse probabilità), altri non lo saranno (produrranno probabilità differenti). Nella frase del mio commento precedente, avrei dovuto precisare: "Ciò che è indeterminato non è la definizione di corda, ma il modo in cui si genera SPERIMENTALMENTE IN MODO CASUALE una corda".
interessantissimo. le rho_n dovrebbero/potrebbero essere probabilità condizionate? la media universale sarebbe la legge di composizione delle probabilità. mi viene in mente il seguente gioco: posso scegliere fra n Sacchetti con una certa probabilità per ognuno ( P(S=k) probabilità di scegliere il k-esimo sacchetto ) . ogni sacchetto contiene al suo interno un numero di biglie bianche e nere diverso per ogni sacchetto. sia P(B=N|S) la probabilità di estrarre una biglia nera dal sacchetto S. con che probabilità estraggo una biglia nera? la risposta è P(B=N) = P(B=N|S=1)P(S=1) + ... + P(B=N|S=n)P(S=n) ma le probabilità di scegliere da ogni sacchetto devono essere necessariamente uniformi? le tre probabilità che costruisce bertrand potrebbero essere delle condizionate e sarebbe quindi lecito aspettarsi tre valori diversi. P(L
Grazie per l'apprezzamento. Per la soluzione finale che scrivi, che fa la media dei tre metodi, devi ancora introdurre un fattore moltiplicativo di 1/3, presupponendo che la scelta dei 3 metodi sia equiprobabile. Considerando i sacchetti, l'idea della media universal sta nel considerare tutti i modi possibili di scegliere un sacchetto, quindi non solo il modo descritto da una distribuzione di probabilità uniforme.
Bella spiegazione grazie! Tutti i modi di lanciare, per simmetria nelle asimmetrie delle distribuzioni cellulari, sono mediamente equivalenti a quella uniforme? A meno che la natura sia un golfista sinistrorso piuttosto che destrorso. Nelle distribuzioni cellulari Come si risolve il problema all'infinito? ( Ovvero le code.)
Esatto, i diversi modi di lanciare, si compensano e alla fine danno vita a una distribuzione uniforme. Quando la media universale viene applicata ai processi di misura quantistica, si ottiene la regola di Born, che nel linguaggio che noi usiamo è associata a una distribuzione uniforme. In tal senso, possiamo dire che in buona approssimazione (cioè nei limiti di validità della regola di Born quantistica), la natura non ha tendenze sinistrose o destrose. Non ci sono problemi "con l'infinito". Una volta definita la media su tutte le distribuzione cellulari, per un dato numero di cellule, il limite per un'infinità di cellule diventa triviale.
Ho visto il suo video sul dado che può interferire con se stesso. Li spiega che il " lanciare un dado" è un evento casuale a motivo delle piccole fluttuazioni della mano ,che calcolate su un numero enorme di fluttuazioni si elidono, per cui I lanci sono indipendenti tra di loro , dunque casuali. Come mai non vale lo stesso discorso per il lancio di una cannuccia o asticella, dove i lanci non sono indipendenti e ogni lancio ha una sua distribuzione di probabilità. Punto due: come avete dimostrato che gli infiniti lanci non sono numerabili, perché ad ogni possibile lancio non posso associare un numero naturale. E vero che il continuo non è numerabile, ha fatto l' esempio dell' irrazionale trascendente "e" che è anche la base dei logaritmi naturali che si può esprimere anche come il limite per n->inf ( 1+ 1/n)^n . Se si scrive "e," secondo il suo sviluppo decimale, ovvero 1, .......,come Cantor ci ha insegnato su "e" possiamo costruire una infinita' di numeri irrazionali , ed è per questo che non possiamo mettere " e" stesso in corrispondenza biunivoca con i naturali , ma non ho capito perché ,ogni lancio di asticella, non possa essere messo, in corrispondenza biunivoca con i naturali. Ho finito .
Non bisogna confondere la "corda", da tracciare "a caso", con i diversi modi che è possibile scegliere per attuare tali processi di tracciamento della corda. I "modi" sono descritti da distribuzioni di probabilità, che sono funzioni, e non è possibile mettere in una corrispondenza biunivoca le funzioni con i numeri naturali. Il problema si presenta tal quale in ogni processo di misura, anche in quello del dado. Avrei potuto parlare dei diversi modi possibili di lanciare il dado, che danno vita ognuno a statistiche differenti, per poi spigare che la legge probabilistica di Born si ottiene come media universale su tutti quei modi diversi di lanciare il dado, ma spero concorderai una tale discussione sarebbe stata completamente fuori luogo in quel video 🙂
@@autoricerca il concetto di preparazione dell' esperimento , e dei diversi modi che danno luogo a diverse distribuzioni di probabilità, e che queste a loro volta sono delle funzioni, mi è chiaro. Sulle distribuzioni di probabilità di Born devo andare a rivedermi qualcosa. La cosa che non ho capito , da dove avete dedotto che le infinite distribuzioni di probabilita(ognuna di queste e una misura, giusto) non sono numerabili. Forse che questa infinità ha la potenza del continuo ? Ho fatto l' esempio di come Cantor ha dedotto la non numerabilita' degli irrazionali algebrici e trascendenti, prendendo un intervallo di x numeri irrazionali , prendo un irrazionale di questo intervallo , e con la costruzione diagonale posso formare tutti gli irrazionali che voglio, e detta alla buona in base ad altri assunti dimostro, che il continuo non può essere messo in corrispondenza biunivoca, con gli interi, dunque il continuo non è contabile. Certo , poi i suoi video sono rivolti ad una platea, di non specialisti, per cui deve mediare tra l' esigenza di far capire , ed il rigore del formalismo. Ma a quanto pare , lei prof ,ci riesce molto bene. Grazie
@@carlodercole486 L'insieme delle distribuzioni di probabilità che il problema sottende, e che corrispondono a tutti i modi possibili di generare una statistica di risultati per la corda, è in effetti non numerabile. Lo si deduce scrivendo esplicitamente tali probabilità. Se vuoi dei dettagli matematici di questo tipo, mi sa che ti devi leggere l'articolo: arxiv.org/abs/1403.4139
Bertrand usò questo problema come esempio di una situazione (ne sono poi stati inventati molti altri) dove il cosiddetto "principio di indifferenza", alla base del calcolo probabilistico, non permetteva di arrivare a una risposta univoca circa le probabilità in gioco.
L’evoluzione del ragionamento esposto parte dallo spostare sul piano fisico o fenomenologico il verbo “tracciare”, da cui sassolini, cannucce e tutto il resto. immagino che il problema si possa porre in maniera non ambigua anche se la corda non debba essere “tracciata”, cioè in termini puramente geometrico-analitici. Si potrebbe, dunque, far girare un algoritmo che genera, solo matematicamente, un numero elevatissimo di circonferenze e di rette e che, escludendo quelle che non si intersecano dando origine ad una corda, vada a contare gli eventi ok e quelli ko circa la lunghezza oggetto del quesito. Arriveremmo-tenderemmo palesemente ad 1/2? Immagino di sì, allora perché non lo si è fatto senza scomodare le “medie universali”…. mi si perdoni la semplificazione. Esistono generatori casuali abbastanza …. casuali. Insomma una versione algoritmica del limite.
Dato un cerchio, come generi una corda? Devi scegliere una specifica parametrizzazione. Il problema è che quando calcoli le probabilità, queste dipenderanno dalla parametrizzazione scelta per generare le corde.
Ho scoperto l'esistenza di questo paradosso poco fa vedendo il suo video. Subito mi è balzato all occhio che sul primo caso l'errore sta sul attribuire a tutti e 360 gradi la stessa probabilità di uscire. Sul secondo invece viene considerato che la cannuccia venga lanciata lungo la retta, ma in realtà non viene considerato che la cannuccia può essere lanciata anche più a destra e più a sinistra, con probabilità distribuite in base alla lunghezza della corda perpendicolare alla direzione tracciata, il caso semplifica senza considerare la seconda dimensione.
Sul primo caso se tu pensi ad un punto fisso sulla circonferenza e ad un punto che percorre la circonferenza a velocità costante, vedi come il segmento che li collega non ruta a velocità costante, quindi la possibilità non può essere la stessa
Il fascino che esercita, su di un profano, il venir trascinato in una spiegazione che apparentemente e' chiara, e' lo stesso di una musica che e' piacevole all'ascolto e non riproducibile dal povero profano. Col vantaggio che non e' necessario vestirsi bene per una prima ne' di subire la calca di un concerto rock. Vale l'iscrizione.
Il paradosso di Bertrand avrebbe tre soluzioni diverse ma egualmente valide. Queste tre soluzioni sono 1/2, 1/3 e 1/4. Bene, ma 1/2 di cosa? 1/2 di 300 è 150, ma le possibilità non sono 300, sono infinite. Quindi 1/2 di infinito o meglio ∞/2. Ma non è forse ∞/2 = ∞/3 = ∞/4? E allora mi pare che non ci sia alcun paradosso. Quando si parla di probabilità, il totale dei casi possibili deve essere finito. Esempio. In che percentuale sono le cifre pari di pi greco? Ovvio: 1/2 E in che percentuale sono le cifre decimali pari di pi greco? Ovvio: 1/2? No un po' meno perché l'unica cifra intera è dispari. Beh un po' meno ma di una parte infinitesimale, 1/∞, quasi zero. Infinitesimale ma pur sempre maggiore di zero. E 1/2 va a farsi benedire. Grazie per la risposta
Salve Marco, grazie per il commento. L'affermazione "Quando si parla di probabilità, il totale dei casi possibili deve essere finito" non è corretta. Se così fosse, nemmeno potresti parlare del valore di un'area di una superficie, o del volume di un solido, ecc., cioè non potresti parlare della misura di entità continue, formate da un'infinità non numerabile di elementi. Esiste un'importante branca della matematica che si occupa di definire in modo chiaro e rigoroso la nozione di misura, di cui la misura di probabilità è solo un caso particolare. Ti rimando ad esempio al seguente articolo di Wikipedia: it.wikipedia.org/wiki/Misura_(matematica)
La Matematica vera, quella con la M maiuscola, fa venire voglia a tutti. Quella accuratamente selezionata dalle scuole (soprattutto secondaria di primo e secondo grado - ma anche la primaria non scherza), insieme al disgraziato metodo di isnegnamento utilizzato, e alla generale incompetenza degli insegnanti (con qualche lodevolissima eccezione) creano le condizioni per la Grande Fuga dalle materie scientifiche. Un vero peccato.
