Où faut-il construire ces palais ? - Micmaths 

ça aurait mérité de montrer quelques exemple chaotique M9, M10, M11 ; mais si il n'y aurait pas d'explication.

On a une application concrète de ce problème en Chimie pour la formation d'édifices moléculaires à 2,3,4,6,8 atomes.... En effet les électrons se repoussent donc les atomes doivent tous être le plus loin possible.. La différence c'est qu'en Chimie les atomes peuvent être au centre de la planète !

Voici une remarque pour le cas de 8 palais : Le cube a des faces carrées contrairement à l'octaèdre et le tétraèdre. Dans un carré, on peut relier deux sommets adjacents ou bien deux sommets opposés, et les sommets opposés seront plus éloignés que les sommets adjacents. Ce n'est donc pas suffisamment égal. L'idéal serait une configuration non pas en carrés (ce qu'offrait le cube) mais en triangles équilatéraux, ce qui est bien le résultat de la solution optimale pour 8 palais C'est d'ailleurs pour ça que l'icosaèdre (qui n'a que des triangles équilatéraux) est la solution idéale pour 12 palais Pour les 20 palais, pareil : les faces du dodécaèdre sont des pentagones, et ont des diagonales plus longues que ses côtés, donc le dodécaèdre n'est pas la meilleure solution

M'enfin Mic, tout le monde ici avait pensé à l'anti-prisme à base carrée avant de penser au cube, voyons ! 😂

Je vais être honnête, je ne fais aucune étude en rapport et ça me sert absolument à rien de savoir ça... Et pourtant qu'est ce que c'est satisfaisant de vous écouter et de voir bouger ces petits châteaux ! 😂 Très bonne vidéo comme toujours 😉

Merci beaucoup, ça m'avait manqué de suivre des sujets purement mathématiques de puis la fin de mon cursus universitaire. Toujours aussi clair dans votre explication, bonne continuation a vous.

Effectivement, c'est tellement contre intuitif. Je comprends que tu ais eu envie de nous le partager, pour notre plus grand bonheur !

Petit commentaire pour le référencement. Merci pour ses vidéos aussi instructives que bien expliquées !!

L'infographie est parfaite, merci !

Génial ! ça m'évoque le fait qu'en cristallographie, un réseau cubique a une moins bonne compacité qu'un réseau hexagonal compact.

Pas de pierre, pas de construction. Pas de construction, pas de palais. Pas de palais… pas de palais.

Je vais parler de Fractal dans mon grand oral le 26 juin, j'espère juste que ta nouvelle video sorte avant cette date, c'est vraiment une passion pour moi

Je me suis cassé une jambe en janvier, et j'ai profité de ma convalescence pour résoudre ce problème. Je suis allé jusqu'à m10. Je n'avais pas les bons mots clefs pour trouver les sources. Je suis trop content de les trouver ici :) merci.

J'adore ce genre de vidéos!

Je vais peut être dire une énorme bêtise mais est ce que ce problème ne ressemblerait pas à un système de barycentre dans un espace "non-euclidien", au sens ou la projection d'une sphère dans un espace de dimension 2 n'est pas euclidienne . Du fait chercher à "équilibrer" des points dans un tel espace n'est pas du tout trivial et travailler avec des objets euclidiens en 3 dimensions comme vous nous le montrez dans cette vidéo, finalement, n'est la solution la plus probante. Merci pour ce contenu, c'est vraiment super ce que vous faites, cela m'a fait penser à la problématique des courbe elliptiques en terme de complexité ou finalement la géométrie de l'espace ne permet pas de retrouver l'information initiale (désolé je dis cela avec mes mots) mais peut être que je dis encore une bêtise ^^"

Le plaisir de voir tes notifs 🤩🤩

intéressant, les maths ne cessent jamais de m'étonner ^^ Merci pour la vidéo :)

Super épisode encore une fois:

Bonjour, Très bon sujet comme tu les aimes, et nous aussi! Je vais regarder l'encyclopédie des nombres entiers, ça m'intrigue 🧐 Alias Pi2sur6

Ca me fait plaisir de voir ces sujets mathématiques récréatives ou curieuses

Très sympa ! Le problème est simple à comprendre et les solutions sont profondes.

Purement et simplement passionnant... Comme toujours !

Merci pour cette nouvelle vidéo 🤩 Il y a quelque chose qui me chiffonne, l'intitulé n'est-il pas "une planète" et non une sphère ? Si je comprends bien, il n'existe pas de formule qui pourrait calculer les distances min/max de n points sur la surface d'un volume... Car les planètes (si elles ne sont pas plates) ne sont pas forcément parfaitement sphériques... La planète terre par exemple est légèrement aplatie a ses pôles, c'est un ellipsoïde et non une sphère. Ce qui complexifie d'autant plus la solution au problème tel qu'il est posé dans le livre...

Merci de chercher à nous faire réfléchir !

Super vidéo ! Comme toujours. Qui nous a captivés avec mes 3 enfants. Mais pour une fois je ne suis pas tout à fait d'accord avec ce que vous dites Mickaël. La solution pour 8 dictateurs est symétrique. Elle présente une symetrie S8, ou symétrie d'axe impropre : rotation de 1/8 de tour autour de l'axe des pôles suivie d'une symetrie par rapport au plan de l'équateur. Ce sont des opérations de symétrie beaucoup utilisées en chimie, notamment dans l'etude des cristaux.

Le fait que les réponses deviennent assez vite chaotiques çà me fait penser au problème de la boîte de chocolat

Je l'avais 💪 par ici la médaille !

Petit fait intéressant, on retrouve les mêmes dispositions de liaison covalente entre les atomes que celle des palais sur la planète. Je m'explique : Un atome avec 2 liaisons va avoir deux liaisons en ligne droite / Un atome formant trois liaisons covalente, il aura lui aussi des connections en triangle / Un atome avec 4 aura une disposition en tétraèdre etc. J'ai directement pensé à ça une fois que le problème a été posé et, ça m'a fait beaucoup sourire de voir la corrélation !

Je pense avoir une solution bourinne mais efficace pour atteindre facilement un sub-optimum proche de l'optimum de manière iterative. Mais vu qu'elle est simple, elle doit être connue : 1. Placer tous les points sur l'équateur 2. Décaler 1 point sur 2 vers un pôle pour former des triangles equulateraux 3. Si la distance entre 2 points du cercle le plus proche des pôles et passant par le pôle est supérieure à la distance entre les triangles equilatetaux précédents, dépeupler l'équateur et le 1er parallèle (au sens géographique) d'un nombre de points calculable pour former un second parallèle de points formant triangles avec le précédent. 4. Éloigner ces 2 parallèles de l'équateur jusqu'à avoir la distance minimale maximale. 5. Réitérer les étapes 3 et 4 tant que la condition de l'étape 3 est satisfaite. 6. Recommencer le processus en démarrant avec les points sur 2 parallèles et aucun sur l'équateur. 7. Recommencer ces 2 processus avec 1 point sur un pôle. 8. Recommencer ces 2 processus avec 1 point sur chaque pôle. 9. Prendre le meilleur des 6 processus. Ma question est : à quel point ma solution est loin de l'optimum ? Je retrouve avec elle toutes les solutions triviales à priori. Faudrait tester pour M=20

T'es trop fort, tes vidéos me font toujours beaucoup sourire. J'adore les animations, t'utilises une librairie particulière? En tout cas merci beaucoup :D Ah et perso quand t'as dit cube, j'ai tout de suite été choqué, pour moi on voit assez vite que les châteaux se repousseraient davantage. Peut-être parce que j'étudie un peu de chimie actuellement, c'est peut-être la différence entre une intuition de géomètre et celle d'une pensée plus physique.

quelle élégance 🤩

Super rigolo ce genre de petite vidéos !

Ce sujet est super intéressant

Des bonnes vidéos de math comme on les aime

Passionnant ! Merci pour ce partage 😉

Je suis très content j'avais la solution pour n = 8 intuitivement :) (sans doute du bol, mais si mon commentaire peut me permettre de fanfaronner et d'améliorer la visibilité de la vidéo :) )

Très intéressant. J'ai cependant une question sur le critère 'être le moins mécontent possible', comment on la définir mathématiquement: on regarde la moyenne des distances ? la variance ? Les moindre carrés ?

Comme quoi, la géométrie spatiale peut être (bien) plus complexe qu'on ne l'imagine, si l'on doit tenir compte de ces contraintes !... Sujet vraiment très interessant à étudier !...

Merci

C'est vraiment une bonne vidéo ^^

Je propose une méthode générale pour N dictateurs (avec l'aide d'un ordinateur). 1. On suppose la planète aqueuse 2. Placer les N dictateurs côte à côte, avec une petite bouée canard. 3. Augmenter progressivement le diamètre des bouées canard. Les dictateurs vont ainsi se repousser les uns les autres. 4. Au bout d'un moment, ça bloque. Les bouées canards sont coincées et ne peuvent plus se repousser. 5. Tracer les segments entre tous les points adjacents et afficher leur longueur. 6. Se creuser la tête pour en déduire la forme géométrique correspondante ! 😅

Excellente vidéo récréative ! J'adore. Je lance mon intuition qui ait loin d'avoir le niveau pour la résolution. Pour moi, le problème je le prendrai comme un équilibrage de arrêtes de triangles séparant les château dans un univers à surface sphérique. Donc il faudrait trouver un algorithme de parcours du graphe permettant afin d'ajuster les distances pour obtenir le moins pire entre les éléments sur la surface. Si j'avais du temps, je ferai quelques recherches sur le sujet. Mais en tout cas super intéressant.

Tellement beau problèmes

Hello! Vous avez interverti icosaèdre (en réalité c'est celui à 20 faces) et le dodécaèdre à 12 faces. Mais très intéressant ! Merci !

Pour 8 je pensais à un au pôle N, un au pôle S, trois sur un triangle placé où il faut, et trois sur un triangle en opposition plus bas (vu du dessus ça fait une étoile à 6 branches). Mais des calculs montreront sans doute que c'est pas bon.

Très intéressant !

Un cerveau sur un autre continent se pose des questions que le mien ne savait pas qu'elles étaient intéressantes. C'est intéressant.

Je suis heureux d'avoir trouvé la solution avec M=8, mais le fait que tu ais dit que la solution logique n'était pas la bonne m'a fait chercher plus loin...

Trop bien !!!! Les réponses (ou au moins des pistes) sont sûrement dans les liens en description mais est-ce que les côtés de l’antiprisme à base carré sont tous de même longueurs ? Et est-ce que le carré et le dodécaèdre ne sont pas les solutions optimales car il faut réfléchir au plus possible avec des triangles plutôt qu’avec des carrés ou des pentagones ? (Sauf quand c’est obligatoire comme avec le carré adouci)

En tant que roliste, pour huit palais j'ai instinctivement pensé au dé à 8 faces, qui est en fait la seconde étape, avant de descendre les palais qui sont au nord... Intéressant!

Super video, merci !

Il faut toujours se méfier des conjectures trop intuitives. Un problème qui nous le rappelle très justement ! 🤯

Super notification

Pour M8, on ne peux pas prendre un des trois palais du haut et l'amener au pôle nord et un de palais du bas et l’amener au pôle sud puis continuer à équilibrer les distances ?

personnellement l'antiprisme a base carré je l'avais trouvé ! mais j'ai pas de mérite j'ai souvent vue cette forme géométrique et instinctivement je l'ai vue au début de la vidéo a 0.40 seconde grâce a la modélisation mais ma connaissance de cette forme est empirique j'ai des géomag et je m'amuse énormément c'est trés anti-stresse ! aussi je conseil d'utiliser des géomags c'est intéressant de faire des forme géométrique et de les fusionner voir se qu'il est possible de faire

Quelle est l'unité des valeurs que tu affiches à partir de 6:56 ? Dans les précédents schémas il s'agissait d'angles, mais visiblement pas là.

fascinant

Et en on utilisant la théorie du pavage de l'air d'une sphère, est que cette nouvelle façon de voir le probleme nous permet de mieux comprendre les solutions?

Ce genre de problème jusqu'à M=très grand me semble trouvable par IA non ?

Des vidéos toujours aussi intéressante, malgré le novice que je suis Une question : pour M=8 on ne tient pas compte des distances qui passent par les pôles ? Et donc pas de base secrète dans les glaces des pôles ? 😂

Les Solides de Platon : les fameux dés de Donjons & Dragons !

Je serais curieux de voir ce que ça donne si au lieu de chercher à maximiser la plus petite distance, on cherche à minimiser la somme de l'inverse des carrés de toutes les distances, comme si les point se repoussaient et qu'on cherchait un point d'équilibre.

7:00, j'avais pensé au fait de pivoter mais pas trop réfléchi à comment améliorer l'espacement sur le plan horizontal du coup. Par contre ça soulève en point intéressant, depuis le début on chercher à maximiser le plus petit écart, mais est-ce que les configurations restes les mêmes si ont cherche plutôt à maximiser la moyenne des écarts par exemple (ou moyenne des plus petits écarts ? je ne sais pas trop comment le formuler).

Superbe ! J'attendais l'arrivée des solides de Platon, et je ne suis pas déçu, surtout par l'explication de la solution meilleure que le cube. Elle ne peut pas s'adapter pour le dodécaèdre ? En faisant tourner le pentagone du haut, on augmente les distances de chacun de ses points avec tous les autres, etc...

Fascinant

Et si on effectuait une simulation où M "charges", contraintes à la surface d'une sphère, se repoussent les unes et les autres (avec une force inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare), on devrait en toute logique trouver à chaque fois une configuration stable qui minimise l'énergie du système, et maximise le confort des dictateurs? Il me semble qu'on pourrait plutôt facilement trouver le minimum (énergétique) global de cette façon?

Super vidéo, je ne m'attendais pas à ça pour le 8 palais ! Je me demandais si une configuration de 2 tétraèdre n'étais pas plus efficace ? On garde le premier comme dans la configuration 4, on place le 2eme en mettant l'un de ses sommet sur le pôle opposé, et on lui applique ensuite une rotation de 60° pour ne pas que les autres points des 2 tetraedres soient sur le meme axe ! Ça ne serait pas plus efficace ?

Super vidéo, Je me posais une question assez bête qu'est ce qui différencie une forme géométrique d'une autre? Et donc: Est ce qu'il existe une formule qui définit le nombre minimum de caractéristiques nécessaire pour définir sans ambiguïté une forme en 2 dimensions (3 dimensions, voir plus)?

Je serais tombé aussi dans le panneau pour M = 8 ! Mais du coup, existe-t-il un M > 8 pour lequel une sous-ensemble de points est situé sur ces 8 là ?

une explication qui me semble intuitive apres reflexion est que les triangles sont en quelque sorte indéformables si on souhaite conserver les longueurs des cotés, d'où le fait que les solides de platon à faces triangulaires soient optimaux mais pas les deux autres

Intéressant. Et par contre quand on veut répartir des directions (ou des paires de points antipodaux), alors la solution cube revient pour n=4 paires de points.

Question: peut-on trouver une solution "numériquement" en implémentant un modèle physique du style type (par exemple) des aimants qui se repoussent sur cette surface sphérique et qui atteignent un point d'équilibre ?

top 8 des façons d'éloigner les dictateurs, la 8ème va vous surprendre ! ;)

Ces dessins me rappellent la 1ere bombe atomique a implosion. On y voit des detonateurs (je crois) sur le corps sphérique de la bombe. Je ne les ai pas comptés, mais les concepteurs ont bien réussi a faire imploser (densifier) le machin 😱

Hey, toi qui lis ce commentaire ! Petite question pour voir si tu as bien compris la vidéo : quelle est la différence fondamentale entre les solutions pour M=6 et M=8 ? 😉 (P.S. Hyper intéressante cette vidéo, comme toujours)

Super vidéo ! C'est juste dommage que tu n'aies pas parlé de l'application en chimie.

Ça serait sympa de le refaire en rajoutant une règle : chaque palais doit être construit sur un sol solide Bon courage 😅

Juste une remarque, à 2:10, tu donnes des distances en degrés sur le grand cercle sur lequel se trouve les trois palais. Mais à 6:56, on ne sait pas trop à quoi correspondent les distances. Ça aurait bien de les avoir aussi en degré de grand cercle.

Pour M=5 Intuitivement, j'aurai positionné les palais sur les sommets d'une bipyramide pentagonale réguliere inscrite dans une sphère par exemple de rayon 1. En utilisant la géométrie 3D, la longueur de l'arête alpha peut être déterminée en utilisant le rayon de la sphère et les distances entre les sommets. Il y a probablement un truc que je n'ai pas compris dans l'énoncé

La solution pour M=8 ça me fait vraiment penser aux chemins des constellations de satellites

Salut Mickaël. Comptes-tu nous dire pourquoi le solide à vingt sommets n'est pas optimal? Moi pas comprendre.

Bonjour et encore merci pour tes vidéos. Finalement, ne peut-on pas dire que ça marche avec les Solides de Platon dont les faces sont des triangles equilateraux ?

Très intéressant, je me doutais qu'il y avais un truc qui n'allait pas avec le cube car ça me rappelle l'optimisation de place sur une surface plane où les triangles équilatérales sont mieux que les carrés, mais maintenant qu'on a la solution, c'est évident. Par contre, pour l'icosaèdre j'ai vraiment plus de mal à le voir. Faudrait-il essayer de les disposer dans des sortes de triangles plus ou moins équilatérales? En tout cas, te filmer avec les calculatrices mécaniques me donnent envie de connaître l'épisode teasé il y a un petit moment xD

Question qui est restée en suspens pour moi : pour une configuration donnée, comment sait-on qu'on a la configuration optimale ? (ou par exemple pour l'icosaèdre : comment sait-on que ce n'est pas la configuration optimale ?)

En bon statisticien, je me suis aussitôt dit : "Quel drôle de critère, ce minimax ! Pourquoi pas plutôt une moyenne harmonique des distances entre voisins ?" Vaut-il mieux avoir un ennemi à 80 et les autres à plus de 120, ou bien tous à 85 ? Cela dépend du problème concret qu'on essaie de résoudre.

Ce qui m'etonne le plus dans ce problème, c'est que les meilleures solutions ne sont pas nécessairement des positions d'équidistance entre tous les palais. Par exemple avec l'antiprisme à base carrée, les distances entre les palais aux pôles sont plus grandes que celles entre les palais à l'equateur.

Comment faites vous ces animations ? Elles sont géniales!

il y a une appli pour faire mumuse à placer des points sur la sphère comme dans la vidéo ?

Est-ce qu'en formant une sphere autour du centre de chaque palais. Et qu'on augmente le diamètre de chaque sphère de facon identique. Et que Si une sphère en touche une autre, elle se repouse {et donc deplace le palais). En modelisant ça, on devrait s'approcher de la vérité, non ? Ça paraît imparable, mais j'imagine qu'il y a un mais....

Dingue les maths. Merci !

Ca me paraissait tellement évident aussi de suivre les solides réguliers et mindblown sur le reveal du cube qui n'est pas la solution optimale

Bonjour. Est-ce qu'il n'y a pas une inversion entre le dodécaèdre (12 côtés) et l'icosaèdre (20 côtés) dans le commentaire de la vidéo ? Remarque d'un joueur de JDR habitué des solides à 12 et 20 faces :D Edit : en fait ma remarque est un peu rapide, l'icosaèdre a bien 12 sommets pour 12 palais et le dodécaèdre a bien 20 sommets pour 20 palais.

Excellent

bravo et pourquoi une solution unique a chaque fois?

Je m'attendais un peu à entendre parler de Voronoi dans cette vidéo. Je me demande s'il ne pourrait pas aider ?

En plaçant des électroaimants entre deux sphères transparentes l'on pourrait peut-être observer les endroits où ceux-ci se placent en fonction de leur nombre.

sincèrement la solution a 8 palais je l'avais étonnamment

Dans ma jeunesse j'avais développé pour le fun une appli qui "posait" N points sur une sphère et qui itérait en les considérant comme des aimants de même polarité, même masse et calculer la force de Coulomb répulsive.

ça ressemble a l'optimisation des formes en 3D ou finalement tout doit etre mappé par des surfaces a 3 point (des vertex) en cherchant a minimiser le nombre de vertex et en maximisant la taille des vertex qui portent des chateaux a leur points de construction ... non ?

chat GPT propose un cube pour le cas des 8 points. Pour ma part instinctivement, plutôt que de mettre 4 points sur le même plan, j'en aurais mis 3 et le dernier sur le sommet. J'ai peut être découvert un truc révolutionnaire ^^