당신이 아는 진자운동이 아니다. 진자 아니다. - 0:00 이상한 영상 발견 1:49 이중진자 움직임 2:41 삼중진자 움직임 4:18 시뮬레이션 진자운동 5:35 과연 예측할 수 있을까? 10:01 결론 긱블 유튜브 구독 : bit.ly/321VSEe 긱블 카페: cafe.naver.com/geekbleofficial
지나가던 물리과 졸업생입니다. 진자의 운동자체를 계산하는건 복잡한 일이겠지만 패턴성에 대한 설명은 간단하게 할 수 있습니다 사람이 패턴이 있다/없다라고 느끼는 이유는 반복성에 있습니다. 단진자는 좌우 움직임이 동일하게 반복되니 패턴이 있어보입니다. 한편 이중/삼중진자가 되면 각각의 진자의 길이와 무게로부터 주기성이 결정이 될텐데 이 주기성이 서로간에 정수비 관계가 맞아떨어져야 반복이 발생하고 사람이 패턴을 인지하게 됩니다. 좀더 간단한 비교예시를 들자면 y = sin3x + sin2x 같은 그래프를 생각하시면 될것 같네요. 더해진 두 함수의 주기 비율이 정수비 관계이기 때문에 최소공배수만큼의 주기를 가집니다. 한편 두 함수의 주기 비율이 정수비가 불가능 한 경우. 즉 sinx + sin(pi*x) 같은경우 주기성이 발생하지 않겠죠 이게 단순히 sin함수 두개 주기 조절해서 더하는 수준이라면 두개의 스칼라값을 더하는 단순한 수준이라 그래프를 봤을때 사람의 패턴 인지능력이 어느정도 유추를 해내겠지만 두개 또는 세개의 벡터를 복합적으로 저해서 결과가 나타나는 현상에서는 정확한 반복성이 있지 않으면 인지가 어렵습니다. 즉 요약하자면 정밀하게 계산하여 정수 주기성을 가지도록 세팅해서 실험을 하시면 주기성을 느끼실 수 있을것 같습니다. 물론 이 컨텐츠의 목표는 단순한 장치가 만드는 불규칙성을 시청자들에게 보여주면서 흥미유발을 하기위한것이니 의도적으로 이부분을 생략하셨을것 같다는 생각도 드네요ㅎㅎ
처음에 삼중진자 나오고 물리학 난제 이런 거 나와서 삼체문제인가? 했는데 그게 하니었군요ㅎㅎ 진자운동은 라그랑지안 역학이랑 헤밀토니안 역학의 장점을 단적으로 보여주는 좋은 예인 것 같아요. 보통 운동방정식을 세워서 어떤 해를 구하려하면 일일이 벡터를 사용해야 하지만 ‘에너지’ 라는 개념을 도입하면 어떤 계에 대한 예측이 쉬워진다는 점에서 라그랑지안 역학하고 해밀토니안 역학의 의의(?) 같은 것도 알게 되네요 재미있어요!
재밋는 영상인데 결론이 조금 혼란을 낳을 수 있어 몇가지 부연을 하자면, 1. N중진자의 운동을 ‘예측’하는 솔루션을 찾는다면 이 영상에서 이미 그 솔루션이 쓰이고 있습니다. 그것은 바로 물리엔진(physics engine)이죠. 2. 물리엔진은 뉴튼역학에 따라 현재 모든 물체들(여기선 N중진자)의 state을 저장하고 현재 시간 t에서 new t=t+delta의 새로운 state를 예상합니다. 3. 저 시간이 흐름에 따라 진자의 상태(state)를 3D로 랜더링한 것이 CG(Unity?)로 만드신 영상입니다. 예상을 할 수 있으니까 실제처럼 움직이는거죠. 4. 추가로 내가 어떤 시간 some t에 특정 상태 some state로 진자의 모양을 만들고 싶을때는 뉴튼물리학을 역산하는 inverse dynamics를 사용하게 됩니다.
삼중진자는 대수적으로 정확한 일반해구하기 (여기서 말하는 예측) 불가능하다고 증명끝났습니다. 자세한 내용은 1887년 앙리 푸앵카레가 증명한 삼체문제에 대해 알아보시길. 당연히 수치해석을 통한 근사값이나 특수한 조건아래 특수해(약화된 해)를 구할 수 있습니다. 그러나 수치해석으로 구한 근사치로 시뮬레이션을 돌릴 수 있다해서 예측이 가능하다는 것은 아닙니다. 시뮬레이션은 말그대로 수치해석값 시뮬레이팅의 결과일뿐 예측가능여부(대수적해존재성)과는 연관없습니다.
와 그런데 되게 감격스러운것이 이런 궁금증은 매우 숭고한 발전의 과정이고 시행착오가 모이고 이걸 열심히 연구하다보면 소수의 규칙성이라든지? 아니면 안정적인 핵융합 반응 유도를 위한 플라스마 도넛의 에너지 흐름 파동 통제 문제같은 분야도 해결할 수 있게 될 지도 모를 실마리를 제공할 수도 있겠네요ㅎㅎ 재밌게 봤습니다 (물론 이해는 못하고 갑니다^^;ㅋㅋㅋ퍽)
안녕하세요~ 너무 궁금해서 혹시 어쭈어 보고싶은게 있는데요~ 저는 골퍼라서 이중진자 운동에 원리를 이용해서 골프 스윙을 설명을 많이 하는데 골프 클럽은 헤드는 한쪽이 무겁기 때문에 이중진자 운동과 함께 몸의 회전을 더해서 골프 클럽 끝에 원심력을 더해서 클럽페이스가 목표물 방향으로 볼수있게 스윙하는데요 혹시 표현이 가능하신가요 ㅠㅠ?? 이런 골프 자료는 찾아보기 힘들어서 설명할때도 말로하기가 참 어려운데 뭔가 볼수있는 자료가 있으면 좋을것 같아서요 ㅠㅠ 그냥 말씀드려 봐요 ㅠ 골프는 과학이니까요!! ㅎㅎ
틀린 설명이 좀 있는데.................. 이중진자의 경우 라그랑지안으로도 theta가 아주 작은 경우에 근사적으로 삼각함수 expansion으로만 아날리틱한 솔루션이 존재할 뿐 general case에서 아날리틱 솔루션은 존재하지 않습니다 "예측가능하다" 라는 statement를 어떻게 받아들이느냐 차이는 있을 수 있지만 보통의 경우 analytic solution이 없는 경우 예측 불가능한 카오스 이론이라고 봐야죠
설명이 너무 길어질꺼 같으니 analytic solution과 numerical solution의 이미 정도만 설명드리죠 아주 간단하게 이야기하면 x+2=3 같은 1차방정식이 있을때 이항이라는 개념을 이용하여 x=1 이라는 답을 찾으면 analytic 솔루션이고 숫자를 아무거나 대입해보다가 1을 대입해보니 맞네 하는것이 numerical solution입니다 그런데 x는 0.999나 1.001 같은 것도 값과 매우 비슷하다고 이야기 할 수 있겠죠 포물선을 그리며 날아가는 로켓의 경우 아날리틱 솔루션이 존재하기에 초기값만 주어지면 시간에 따른 로켓의 속도와 위치를 정확하게 알아낼 수 있습니다(항상 언제나) 발사 후 1초후의 상태든 10시간 후의 상태든 예측가능하죠 그런데 이중진자의 경우 이러한 아날리틱 솔루션이 없습니다 즉 시간에 따라서 진자의 위치와 속도를 100퍼센트 정확하게 알아낼수가 없죠 물론 요새 컴퓨터 시뮬레이션이 매우 좋아져서 위에 x가 0.999일때 실제 값과 매우 유사한 numerical 솔루션을 얻을 순 있지만 근본적으로 완벽하게 알아낼수 있는 방법은 없습니다 그러면 누군가는 실제로 매우 비슷한 근사해답이 존재하는데 그걸로 충분하지 않냐고 반론을 제기할수 있지만, 이중진자의 경우 비교적 시스템이 단순하여 근사적으로 비슷한 값을 얻을 수 있는 것이지 5중 6중 7중 진자 혹은 그 이상의 시스템은 근사값을 얻는게 불가능한 시점이 오게되죠 Numerical solution도 완전한 답이다 라고 이야기 하는 순간 세상에 있는 모든 고전역학은 예측가능하다고 이야기하는 것과 마찬가지고 카오스 이론은 결국은 다 근사적으로 풀 수 있다라고 이야기 하는 것과 마찬가지다 라는 주장이라고 저는 생각합니다
@@user-uz6kd6vk5i 네 영상 중에 F= ma 로 풀수 없는데 라그랑주 방정식으로는 풀 수 있다고 하는데 단언컨데 현 고젼역학을 강의하는 대학교수님 중에 저런 이야기를 하는 사람은 단 한사람도 없을 것이라고 확신합니다 라그랑주 방정식 자체가 의미하는게 F=ma 입니다 사실
재미있는 식 같네요 해당 조건에서 나올수있는 변수를 알수있으니 눈에는 불규칙해보일지라도 저 식을 이용하면 해당조건에서 나올 다양한 변수를 알 수있고 그 변수를 다시 하나하나 계산하면 결국 이중진자의 움직임도 예측이 가능하다 라는 이야기가 되네요. 흥미로운 영상이였습니다. 감사합니다
랑그라지안으로도 완벽히 에측할 수 있는건 아니고 수학식으로 표현이 가능하다 정도네요 뉴턴역학에서의 모든변수를 고려하지않음으로써 말이죠 랑그랑지안방정식에 중력가속도와 무게추와 공기마찰력 그리고 각 연결점들간의 상호관계에서 생겨나는 힘의 방향변환 등을 고려한 방정식이 규정되진않았나 보군요 누군가 해줄겁니다. 다만, 삼중 사중 오중 을 넘어 무한진자운동으로 간다면 에측이 보다 쉬워진다는 점을 참고한다면 확실한 답을 알수 있지 않을까요?
정확히 말하면 뉴턴역학으로 이중진자를 예측하지 못하는건 아닙니다. 굉장히 복잡해질 뿐 가능은 합니다. 여기서 예측을 한다는 것은 저 2중진자의 상태방정식(Equation of Motion;EOM)을 구할 수 있느냐 없느냐는 것인데, eom을 알면 미분방정식의 해를 구함으로서 시간이 t일때의 위치 속력 가속도 모두를 알수 있기 때문입니다. 뉴턴의 고전역학으로 모든 변수를 고려해서 EOM을 구하나, 그 변수들로부터 발생된 에너지로(라그랑지안 역학) EOM로 구하나 상태 방정식은 동일합니다.
라그랑지안을 쓰면 미분방정식의 꼴로 나오긴 할텐데 해가 정형화되어서 나타난다고 말할 수는 없을 것 같아요. 패턴이 있다는 것은 해당 방정식을 f[변수들(위치,속도),t) = f[변수들(위치,속도), t+a] 임을 보이면 될 것 같은데 제 생각에는 특정상황(아마 초기 조걷)에서만 만족하는 a를 찾는 것에서 끝나지 않을까 싶어요.
