Quanto fa i fattoriale? (Unità Immaginaria, Numeri Complessi)

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Vi siete mai chiesti quanto vale il fattoriale di i, l'unità immaginaria?
Ha senso farsi questa domanda? E se sì, qual è il risultato?
In questo video entrerete nel mondo della matematica "folle" e provocatoria, in cui si applicano operazioni a numeri che, in teoria, non hanno nulla a che vedere con loro. Parleremo di prolungamento analitico, di integrali impropri e di regole dei numeri complessi. Buona visione!
Se avete altri esercizi da propormi, scrivetemi pure in privato alla mail eserclub@gmail.com

Опубликовано:

24 авг 2022

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Комментарии : 6

@matteodalessandro8159 Год назад

Ma serve a qualcosa estendere il fattoriale al campo complesso? Io la funzione gamma l'ho usata al più per calcolare le medie quantiche su autostati dell'atomo di idrogeno

@ClearMath1 Год назад

Ottima domanda, sicuramente ci sono applicazioni ma non ne conosco. Non ne ho ancora cercate perché trovo l'idea del prolungamento analitico affascinante già da sola, ma ora che lo hai chiesto mi informerò

@bernysaudino668 Год назад

I due integrali si possono approssimare con i metodi di integrazione numerica

@bernysaudino668 Год назад

Io lo so è la stessa cosa di pensare che il prodotto e per la potenza per n infatti 5n = 5+5+5+... n volte 6n = 6+6+6+... n volte E così via 5ⁿ = 5∙5∙5∙... n volte 6ⁿ = 6∙6∙6∙... n volte E così via Ma io su queste funzioni posso fare un prolungamento analitico 5z Dove z è un generico numero reale e non solo anche un generico numero complesso La stessa cosa per la potenza per il prodotto tra numeri complessi si può applicare il prodotto tra due binomi ricordano che i²=-1 oppure esprimere i due numeri in forma polare e fare il prodotto tra i moduli e la somma degli argomenti mentre per la potenza di due numeri complessi si può esprimere con la base e con la proprietà dei logaritmi e applicare la formula di eulero

@ClearMath1 Год назад

Ottima spiegazione, mi hai dato un bello spunto per parlare anche di altri prolungamenti analitici, grazie!

@bernysaudino668 10 месяцев назад

Un'altro prolungamento analitico è per esempio quanto fa sen(i) uno per chi ha studiato le funzioni goniometriche nel campo dei numeri reali, direbbe ma non si può fare il seno di i cioè dell'unità immaginaria il seno è definito per i numeri reali, ma anche qui si può fare un prolungamento analitico e calcolarlo anche nel campo complesso. sen(z)=[exp(iz)-exp(-iz)]/(2i) cos(z)=[exp(iz)+exp(-iz)]/2 L'abbiamo ottenuto applicando la formula di Eulero al contrario cioè exp(iz)=cos(z)+i·sen(z) Sostituendo al posto di z → -z otteniamo exp(-iz)=cos(-z)+i·sen(-z) Ed applicando la proprietà di parità del coseno e di disparità del seno otteniamo exp(-iz)=cos(z)-i·sen(z) Abbiamo ottenuto un sistema lineare di due equazioni in due incognite exp(iz)=cos(z)+i·sen(z) exp(-iz)=cos(z)-i·sen(z) Sommando ambo i membri otteniamo exp(iz)+exp(-iz)=2cos(z) Dividendo ambo i membri per 2 otteniamo cos(z)=[exp(iz)+exp(-iz)]/2 Mentre sempre da exp(iz)=cos(z)+i·sen(z) exp(-iz)=cos(z)-i·sen(z) Sottraendo ambo i membri otteniamo exp(iz)-exp(-iz)=2i·sen(z) Dividendo ambo i membri per 2i otteniamo sen(z)=[exp(iz)-exp(-iz)]/(2i) Dai cui le due formule che anche esse sono formule di Eulero sen(z)=[exp(iz)-exp(-iz)]/(2i) cos(z)=[exp(iz)+exp(-iz)]/2 Volendo calcolare il sen(i) Basta sostituire i alla formula del seno di un numero complesso sen(i)=[exp(i·i)-exp(-i·i)]/(2i) Ricordando che i·i=i²=-1 otteniamo sen(i)=[exp(-1)-exp(1)]/(2i) Moltiplicando numeratore e denominatore per i otteniamo sen(i)=[exp(-1)-exp(1)]/(2i)·i/i Di nuovo ricordo che i·i=i²=-1 otteniamo sen(i)=i[exp(-1)-exp(1)]/[2·(-1)] Ricordando che (-1)·a=-a ed il meno a numeratore o a denominatore fa invertire l'ordine della differenza da cui otteniamo sen(i)=i[exp(1)-exp(-1)]/2 E ricordando le definizioni delle funzioni iperboliche otteniamo sen(i)=i·senh(1) Da cui abbiamo ottenuto una funzione che da un numero puramente immaginario da come risultato un numero anche esso puramente immaginario.