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Man bezeichnet einen Vorgang als periodisch, wenn sich sein Ablauf in gleichmäßigem Abstand (Periode p) wiederholt. Bewegungen, wie z.B. das Schwingen eines Pendels oder der Verlauf der Gezeiten, sind periodisch und können auch durch periodische Funktionen beschrieben werden, für die gilt: f(x + p)=f(x)
Die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus des Einheitskreises lassen sich zur Beschreibung dieser periodischen Vorgänge verwenden. Überträgt man die Funktionswerte in Abhängigkeit des Winkels in ein Koordinatensystem, ergibt sich ein Graph wie rechts im Bild. Der Kosinus entspricht einer um 90° nach links verschobenen Sinusfunktion.
Für die Rotation eines Riesenrades gegen den Uhrzeigersinn soll die Position einer Gondel graphisch beschrieben werden. Die Radnabe entspricht der x-Achse. Zu Beginn befindet sich die Gondel am untersten Punkt genau 15 Meter unter der Nabe und wird in 45°-Abständen betrachtet.
Der erste Punkt kann der Aufgabenstellung entnommen werden: Für 0° ist die Gondel bei -15 m. Nun dreht sie sich um 45° weiter. Die Zeichnung zeigt: Die Höhe entspricht nun dem Wert der Sinusfunktion bei 315° bzw. -45° multipliziert mit dem Radius von 15 m. f(45°)=15 m ∙ sin〖(-45°)=〗-10,6 m
Nach einer weiteren Drehung von 45°, insgesamt also 90° weiter vom Ausgangspunkt, wird die Höhe wieder bestimmt. Die Gondel befindet sich jetzt auf Höhe der Radnabe, was sin(0°) entspricht. Wir setzen einen Punkt auf der x-Achse, denn f(90°)=15 m ∙ sin〖(0°)=〗 0 m
Der nächste Punkt liegt bei sin(45°). Insgesamt wurde ein Winkel von 135° zurückgelegt.
f(135°)=15 m ∙ sin〖(15°)=〗 10,6 m
So verfährt man weiter, bis eine volle Umdrehung von 360° erreicht ist und trägt die Punkte im Koordinatensystem ein. Abschließend verbindet man diese und erhält eine verschobene Sinuskurve. Periodische Vorgänge werden immer wiederkehrend denselben Verlauf nach Ablauf einer Periode haben.
Trainer: „Die normale Sinusfunktion hat ihren Ausgangspunkt bei (0|0), da sie der Zählung des Einheitskreises entstammt. Periodische Vorgänge können eine Verschiebung dazu aufweisen. Überlege die vorher, ob und wie sich etwas über eine Sinusfunktion ausdrücken lässt.“
29 авг 2024
