Students these days are not able to solve this one 

When I teach L'Hospital, I teach that for infinity-infinity form you can factor out the dominant behavior. You'll either get infinity*nonzero which will give +-infinity, or infinity*0. In the latter case, move one factor into the denominator as a reciprocal, then apply L'Hospital.

Squeeze theorem it by completing the square by adding a 1/4 to the sqrt. This can be done for the original limit as the upper bound, then as the lower bound when you multiply the limit it by its conjugate. Upper: sqrt(x^2+x+.25)-x Lower: x/[sqrt(x^2+x+.25)+x] Both evaluate to 1/2

Also an interesting observation is that in the general case, lim(x->inf) (x^n + a x^(n-1) + P((n-2))^(1/n) - x, where P(n-2) is a polinomial of the n-2th order, converges to a/n

Just rationalise and divide by x we get ans as 1/2 :)

Flammys drip be bussin frfr How am I doing fellow kids?

My old high school math teacher would have my head if I didn’t know how to solve it the first way. I’m glad I was taught to not just memorize formulas

At 6"28, you should choose another function name and not f, for f(z)=(1+z)^(1/2) because was already used for f(x)=(1+1/x)^(1/2). You cannot use only f, because with z=1/x, it leads to f(1/z)=(1+z)^(1/2), not f(z)=(1+z)^(1/2) as you wrote.

I’ve found a really elegant non-calculus solution. Notice that √(x² + x) - x is clearly a monotonically increasing function (since √(x² + x) > √(x²) = x). Now suppose √(x² + x) - x ≤ m for all x ≥ 0 where m is minimal. Then x² + x ≤ (m + x)² = m² + 2mx + x² which simplifies to x(1 - 2m) ≤ m². This is clearly always satisfied for m = 1/2 and setting m < 1/2 implies 1 - 2m > 0 but x can be arbitrarily large and so x(1 - 2m) ≤ m² isn’t satisfied for all x. Thus the limit is m = 1/2.

By doing a transform of variables x = 1/h, you get the limit of [sqrt(1+h) - sqrt(1)]/h, as h -> 0, which is just the derivative of the function sqrt(x) evaluated at x = 1. Use of the Maclaurin expansion of the square root term is therefore circular in this case, since if you know the value of the derivative of sqrt(1+x) for all x where the derivative is defined, you must also know the value of the derivative of sqrt(x) at x = 1.

Erstmal muss ich sagen: Ich hab vor Jahren ein paar Videos von dir zur Laplace-Transformation zur Lösung von Differentialgleichungen gesehen und gleichzeitig noch ein paar von blackpenredpen, diese gelöst. Das hat damals sehr geholfen. Einfach Mal alle möglichen Methoden zu durchlaufen. Man braucht da ja alles mögliche: Polynomdivision, Linearfaktorzerlegung, die Transformation an sich, wie man gewisse Integrale löst etc. etc. Das Problem, was du hier so ein bisschen aufmachst ist ja das Folgende: Hier fehlt einfach ein bisschen das Wissen, was möglich ist - sozusagen die Spielregeln der Mathematik. Also es ist nicht bekannt, was man eigentlich darf, was erlaubt ist. So ähnlich wie der Ansatz ebener Wellen in sämtlichen DGLs in der Physik. Wir wissen den einfach, denken da gar nicht drüber nach und nehmen den, weil er oft gut funktioniert. Natürlich kann man auch Potenzreihen machen (QM-Harmonischer Oszillator oder auch allgemein, Wasserstoffatom etc.), Lösungsmethoden gibt es ja etliche. Aber dafür muss man sie eben kennen. Es ist irgendwie ein bisschen zu Trennen zwischen diesem handwerklichen Wissen, das einfach mit dem regelmäßigen Lösen von Problem kommt und dem tatsächlichen Verständnis von großen Konzepten. Ich finde, dass diese Dinge nicht unbedingt getrennt ablaufen, aber schon etwas unabhängig voneinander sind. Ich hab das Gefühl, dass bildungstechnisch einfach vieles schief läuft. Mach gerade meinen Master in Physik. Denke Mal, dass auch an den Unis unser Lehrplan eigenartig ist. Ich diskutiere da regelmäßig mit einem Kommilitonen drüber und wir sind uns über ein besseres Konzept nicht wirklich einig. Wir dachten zum Einen, dass man vielleicht ein ganzes Jahr die mathematischen Grundlagen komplett wiederholen und erlernen müsste, die für die Physik notwendig wären. Zum anderen denke ich eher, dass sich vieles wiederholt und man in eben das Klein-Klein und spezielles Nischenwissen verfällt. Wenn wir allgemeine Konzepte verstehen wollen, dann sollte man sich wirklich über diese allgemeinen Methoden Gedanken machen. Was ist wirklich relevant, was soll man wirklich verstehen. Ich finde, dass man vieles später in der Anwendung selber lernt. Habe eine Zeit in der experimentellen Teilchenphysik gearbeitet, jetzt bin ich an einem komplett anderen Institut. Die Skills die man braucht, die lernt man dann vor Ort. Und ich finde genau dazu soll einem das Studium und in gewisser Weise auch die mathematische Bildung der Schule vorbereiten. Nicht nur die einfachen Methoden, sondern einfach ein grundlegendes Verständnis, dass es einem so einfach wie möglich macht, verschiedenste Bildungsmöglichkeiten und Ausbildungswege einzuschlagen. Ich denke einfach, dass das eine sehr schwere Gratwanderung ist. Bisschen vergleichbar dazu wäre auch Sport bei Kindern. Welche Sportarten zeigst du deinen Kindern, damit sie selber später frei und individuell entscheiden können, ihre eigenen Interessen zu verfolgen? Man könnte irgendwas total spezifisches wie Tischtennis machen, oder was koordinatives. Oder du machst irgendwas allgemeines, Kraftsport, Cardio, bisschen Koordination - damit man später viele Skills hat und diese in vielen anderen Interessensgebieten anwenden kann. Alles in allem doch sehr komplex. Denke als Bildungswissenschaftler wirst du dir da natürlich auch einige Gedanken dazu haben.

Hi

Factor out x to get x(sqrt(1 + 1/x) - 1), then use the binomial theorem to get x(1 + 1/2x + o(1/x) - 1) = ½ + o(1) which goes to ½. Edit: This is the kind of comment left by someone who hasn't finished the video.

Is there any solution when the outer is positive?

This is just (sqrt(1+1/x) - 1)/(1/x) so the answer is the derivative of sqrt(x) at 1, which is 1/2

that was clever im getting rusty man

1/2. Just factorize the x and apply Taylor.

0.5

I used a different method... It's complicated though... Firstly, I showed that the function is bounded above. Clearly, f(x) = sqrt(x^2 + x) - x < sqrt(x^2+ 2x + 1) - x = x + 1 - x = 0 for any x > 0. Then, I showed that it is increasing on [x,+inf). Let x>0 and ε>0. Then f(x + ε) - f(x) = sqrt((x + ε)^2 + x + ε) - x - ε - (sqrt(x^2 + x) - x) = sqrt((x + ε)^2 + x + ε) - sqrt(x^2 + x) - ε. Now, note that 4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2 > 4x^2 + 4x =4(x^2 + x), which implies that 2x + 1 > 2sqrt(x^2 + x) and thus, (x + ε)^2 + x + ε = x^2 + 2xε + ε^2 + x + ε = x^2 + x + ε^2 + (2x + 1)ε > x^2 + x + ε^2 + 2εsqrt(x^2 + x) = (sqrt(x^2 + x) + ε)^2 Thus, sqrt((x + ε)^2 + x + ε) > sqrt(x^2 + x) + ε which implies that sqrt((x + ε)^2 + x + ε) - sqrt(x^2 + x) - ε > 0 and thus, f(x + ε) - f(x) > 0 --> f(x + ε) > f(x) Then, I used the fact that whenever a function is bounded above and increasing, it has a limit at infinity. I leave it as an exercise to the reader (lol) to prove this theorem. So, by modus ponens, we know that L = lim_(x -> inf) f(x) exists. Now, notice that f^2 (x) + 2xf(x) + x^2 = (f(x) + x)^2 = sqrt(x^2 + x)^2 = x^2 + x. Thus, (f(x))^2 + 2xf(x) = x, which implies that ((f(x))^2)/x + 2f(x) = 1 Also, notice that f(x)/x tends to zero when x goes to infinity (because sqrt(x^2 + x)/x goes to 1 when x goes to infinity. I leave the verification of this as an exercise to the reader...) Thus, using the laws of limits, we get: 1 = lim_(x->inf) 1 = lim_(x->inf) (((f(x))^2)/x + 2f(x)) = lim_(x->inf) (((f(x))^2)/x) + 2L = lim_(x->inf) (f(x)/x)L + 2L = 0 + 2L = 2L And thus, 2L = 1 \Rightarrow L = 1/2.

There has been an explosion of physics content especially around quantum mechanics atm. I wonder if you could capitalise on the hype and do some mathematical derivations of physical systems for those easy views.

Kay before I watch the video I got 1/2 from rationalizing

We live in a society fr

1/2 Taylor's series

I’d solve it with the Taylor series for (1+1/x)^1/2

Haven't seen the vide but it's one of those bs questions in our quizzes, the answer should be 1/2

my approach was as follows: lim x->inf sqrt(x^2+x)-x = lim x->inf sqrt(x^2(1+1/x))-x = lim x->inf x*sqrt(1+1/x)-x = lim x->inf x*sqrt(1+0)-x = lim x->inf x-x = 0 why do i get an incorrect result? what's wrong with that approach?

The more "academical" method is like dropping a nuke to kill a fly. You can, but why? :v Also I will complain about your notation, because you should write lim (sqrt(x^2 + x) - x) otherwise the "- x" part is not affected by the limit.

man your content aged like milk. You used to solve olyampiad level math and now you are doing some elementary school kid's homework/.

Wtf I remembered u being happy. I guess that’s impossible for Germans, but get better soon