Thật ra bạn giải sai ở chỗ : "Đạo hàm dương với mọi x thuộc R" Không phải như vậy đâu. Đạo hàm có nghiệm đấy, vì ln(2/3) là một số âm mà. Nghiệm của đạo hàm chính là điểm cực trị và cũng là cực tiểu duy nhất của hàm số Vậy nên sau khi vẽ bảng biến thiên ta mới kết luận được phương trình có đúng 2 nghiệm Và bằng cách kiểm tra ta mới tìm được x = 1 là nghiệm duy nhất (x = 0 bị loại)
Biến đổi để trở thành: 2^(x-1) . (2^x + 1) = 3^x (với x > 0) Lúc này dễ thấy phương trình có một nghiệm là x = 1 Với x khác 1, vế trái sẽ chia hết cho 2, nhưng vế phải lại không chia hết cho 2 Kết luận phương trình có một nghiệm duy nhất là x = 1
Ad đã rút được về 4^x + 2^x = 2.3^x r nma xử lí đoạn đạo hàm hơi bị cấn nha. Đoạn này mình có thể xử lí như sau. Lấy đạo hàm cấp 2 của f ta có f'' = (4/3)^x.ln^2(4/3) + (2/3)^x.ln^2(2/3) > 0 với mọi x thuộc R. Nên ta kết luận được f' có đúng 1 nghiệm Tức là f có 1 cực tiểu. Xét f'(0) = ln(4/3) + ln(2/3) = ln2 + 2ln(2/3) = ln2 + ln(4/9) = ln(8/9) < 0 nên x = 0 nằm bên trái cực tiểu của f. Xét f'(1) = 4/3.ln(4/3) + 2/3.ln(2/3) = 4/3(2ln2 + ln1/3) + 2/3(ln2 + ln1/3) = (8/3 + 2/3)ln2 + (4/3 + 2/3)ln1/3 = 10/3ln2 + 2ln1/3 = 10/3ln2 - 2ln3 = 1/3(10ln2 - 6ln3) = 1/3ln(2^10/3^6) > 0 (hoặc bấm máy @@) thì 1 nằm bên phải cực tiểu. Tức là hàm g(x) = f(x) - 2 = 0 có 2 nghiệm 0, 1 với điểm cực tiểu thuộc khoảng (0; 1) nên đồ thị của g(x) có hình giống parabol cắt Ox tại 2 điểm x = 0 và x = 1. Và vì x khác 0 theo điều kiện ban đầu (Vì từ bước triệt tiêu 2^x - 1 ở cả tử và mẫu làm cho bài toán mất tính tương đương) nên phương trình chỉ nhận 1 nghiệm x = 1.
Ngoài cách này thì mình k biết còn cách nào k, và cũng kh chắc chắn lắm về tính chặt chẽ của nó vì nhảy từ f'' xuống f mình còn lú lắm ^^ nên các bạn thấy cấn thì cứ góp ý trao đổi nhe
