Tích Phân - Bản Chất Của Tích Phân (Integral intro) 

Rất,rất hay.Đạo hàm,tích phân,vi phân,nguyên hàm..là toán học cao cấp.40 năm trước,tôi thường đạt điểm 9,điểm 10 môn Toán và cũng có giỏi về giải tích.Nhưng không hiểu bản chất như cách trình bày của Video này đâu.Cám ơn Tác giả nhiều nhiều.

Cảm ơn các bạn đã chờ đợi tụi mình nè. Cách giải thích tích phân của VLC có thể không phải cách hay nhất nhưng tụi mình đã cố gắng hết sức. Có rất nhiều cách để chúng ta giải thích một khái niệm toán học vì vậy bạn nào hiểu cách VLC truyền tải nhưng nghĩ rằng mình có thể giải thích tốt hơn thì hãy chia sẻ điều đó cho những bạn khác nhé. Video nguyên hàm: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-8BIbcKKP_Cc.html P/S: Trong tương lai, chúng ta sẽ có video về nguyên hàm nên mọi người nhớ đón xem nha!!

Respect team !!!! Chắc chắn những sản phẩm của các bạn sẽ truyền cảm hứng rất mạnh mẽ đến mọi người xúc tác họ yêu toán nhiều hơn, nội dụng rất thú vị và truyền tải nội dung quá tuyệt vời. Chúc team luôn mạnh khỏe và kênh ngày càng phát triển nhé !!!!

Ngày xưa đi học cấp 2, toán mình giỏi vì đầu tiên là nó cũng đơn giản, thứ 2 là nó được áp dụng vào thực tế! chính vì mình hiểu dc nó áp dụng vào thực tế nên mình có động lực học toán! Cho đến khi lên cấp 3, mình đã học dốt toán đi rất nhiều! Quá phức tạp, và trong khi giáo viên cũng không bao giờ cho học sinh biết những công thức.... đó áp dụng vào việc gì trong thực tế! Đây cũng chính là thứ khiến động lực của mình học toán không còn nữa! Có lẽ ngày ấy, thời chúng mình đi học chính xác thì giáo viên cũng chẳng hiểu nổi những công thức đó để làm gì? vì thế mình càm thấy nó vô dụng và không cần phải tiếp thu trong khi nó đã quá khó rồi..... Rất mong nên giáo dục Nước Nhà phải thay đổi trong cách giảng dạy! Việc đầu tiên muốn dạy cho HS 1 kiến thức gì thì làm ơn hãy cho học sinh biết bản chất - áp dụng của nó vào thực tế để làm gì đã! Như vậy hs mới có động lực để học! Chứ giờ con cái mình nó học không hiểu về nó hỏi bố ơi cái này để làm gì? Cô giáo không bảo để làm gì? vậy con học để làm gì?....

Cám ơn các bạn rất nhiều vì thời xưa đi học mình rất mơ hồ phần này. Kênh của các bạn vô cùng ý nghĩa cho các em học sinh.Chúc kênh luôn phát triển hơn nữa nhé

Cảm ơn kênh! Đưa một dạng lý thuyết khó nhằn như tích phân thành 1 vid dễ hiểu và rất thực tế! Chúc kênh tiếp tục phát triển mạnh mẽ.

Hay quá ad, mong ad làm nhiều video siêu siêu bổ ích như này hơn nữa

Rất hay, hi vọng kênh sẽ ra thêm nhiều video để giải thích bản chất của các định nghĩa toán học để cho học sinh sinh viên Việt Nam dễ dàng tiếp cận hơn

Mình toàn xem các kênh giải thích bằng tiếng nước ngoài vì các kênh bằng tiếng Việt giải thích không đầy đủ. Đây là lần đầu tiên mình xem 1 bài giải thích bằng tiếng Việt với chất lượng nội dung và hình thức tuyệt nhất mà mình đã từng xem, có thể so sánh với các kênh khoa học bằng tiếng nước ngoài. Rất cảm ơn team vì video này vì mình biết để làm ra được 1 video công phu như thế này là cả 1 sự kỳ công. Mình hi vọng sẽ tiếp tục được xem các video khác bổ ích như vậy ! Mình đã subscribe ngay từ video đầu tiên này, mình đã ấn like và, mình sẽ để chế độ thông báo ưu tiên cho kênh này luôn ! Chúc các bạn thành công !

thật sự thì xem video này giúp tăng hiệu quả việc học trên lớp của em nhiều lắm ạ, video xịn xò quá mong các anh chị trong team Vật Lý Chill ngày càng phát triển

Kênh hay lắm, cám ơn Bạn đã trình bày các kiến thức cần thiết cho xã hội. Theo 1 cách đơn giản nhất thì tích phân là 1 phép tính tổng theo từng chiều Kg, 1 lớp là tính chiều dài đường, 2 lớp là tính diện tích, 3 lớp là tính thể tích. Đạo hàm nói lên sự thay đổi của 1 đại lượng theo 1 đại lượng, ví dụ gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian, có nghĩa là sự thay đổi của vận tốc theo t.

Rất hay, rất sinh động. Các bạn đã tạo ra mô hình giảng giải rất trực quan hấp dẫn dí dỏm, kích thích các em học sinh yêu thích say mê dễ dàng tiếp cận thấu đáo môn toán hơn. Cám ơn các bạn. Mong rằng các bạn sẽ cho ra nhiều video clip phong phú hơn.

Luôn luôn ủng hộ kênh về các chủ đề như thế này, thật sự toán học rất thú vị nếu chúng ta biết cách tiếp cận.

Cuốn quá b. Mình thực sự thích toán, giờ mình theo một nghành sáng tạo và dù vẫn dùng thì không nhiều giống như trước nhưng phải công nhận bản chất của các công thức thật sự rất có ích cho sau này. Chúc kênh ngày các phát triển nhé!

Rất ủng hộ kênh vì những content rất thú vị và có đầu tư, mong kênh sẽ sớm đạt được những mục tiêu nhất định! Respect 👍❤️

1 kênh thực sự đẳng cấp, nếu ngày xưa 1 giáo viên có thể giải thích ra đc thế này thì chắc chắn những giờ học ko còn buồn ngủ, và là nền tảng cho các học sinh trung bình có thể tự nghiên cứu, tự học hỏi nếu nắm đc bản chất. Hầu hết các giáo viên ko có kỹ năng truyền đạt cho học sinh hiểu, chỉ những số ít học sinh thông minh có thể tự học, tự suy luận. Tôi ko học trường chuyên nên ko dám đánh giá các giáo viên ở đó. Nhưng thời tôi đi học nó mơ hồ thật sự, cảm ơn các bạn đã xây dựng 1 kênh thực sự ý nghĩa, có thể kênh ko nhiều follow và like như những kênh giải trí khác, nhưng mong các bạn luôn giữ đc sự nhiệt huyết và luôn sáng tạo, mang tri thức truyền tải cho các thế hệ sau 1 cách dễ hiểu. Trân thành cảm ơn.

bài phân tích quá xuất sắc và dễ hiểu nhất có thể. Cảm ơn team và chúc team sẽ ngày có càng nhiều video bổ ích như này nữa nhé

mình cảm thấy rất may mắn khi có thể bắt gặp kênh của các bạn, mình đã xem hết toàn bộ video trong toán giải tích của kênh. Thực sự rất ý nghĩa và dễ hiểu, cảm ơn các bạn rất nhiều

Cám ơn mấy em nhiều vì đã có ví dụ minh họa để hiểu rõ về tích phân. Chứ 27 năm trước anh học tích phân và đạo hàm theo sách vở, còn hiểu cận kẽ về bản chất nó thì mơ hồ, chỉ suy nghĩ theo ý nghĩa câu từ “tích phân là phân chia diện tích ra”.

Hay quá!! Cảm ơn đã phổ cập kiến thức về The rate of change & Area under the curve, cái mà từ thời cấp 3 đến đại học làm mình mơ hồ!

Cảm ơn các bạn nhiều lắm! ❤️ Tôi học tích phân đã hơn 40 năm rồi, vậy mà mãi đến hôm nay, khi “đã gần đất xa trời!” 😭 tình cờ mới thấu hiểu ra là giải mấy bài tập này không phải bày đặt ra để đánh đố trí não các em học sinh thời trung học, để tranh đua nhau trèo qua cổng trường Đại học, mà là có lợi ích thật trong cuộc sống. Giá mà ngày xưa các thầy cô cũng giảng như vậy thì có lẽ rất nhiều học trò sẽ đam mê toán học rồi! ❤️👍

đất nước cần những người làm video như này ;> , chân thành cảm ơn đội ngũ vật lý chill ,1 like.

Tuyệt vời quá. Video của các bạn đã cứu mình ra khỏi giải tích. Chúc kênh ngày càng phát triển nhé

Cảm ơn kênh, mình đã tốt nghiệp đại học 4 năm rồi nhưng vẫn thích xem nhưng kênh kiến thức như thế này, đã tới lúc các em nên hình dung được ứng dụng của các bài toán mình đang học.

Tao chỉ ước nên giáo dục Việt Nam xem những Video này. Năm nay tao 35t, cmn hồi đó dốt toán. Giờ tao phải tự học lại môn toán. Nhớ hồi đó thầy cô dạy cảm giác mơ hồ đến bây giờ tao không hiểu sao tao lại qua môn toán ở các kì thi.

Thật sự quá hay, em là 1 học sinh lớp 12 mà sau khi cày hết video của kênh em như bước lên 1 tầm cao mới, hiểu thật sự sâu về toán học

Mình hồi xưa chỉ học theo công thức máy móc, chẳng hiểu bản chất hay ý nghĩa ứng dụng của nó. Có lẽ vì vậy mà học rồi quên

Thiệt là quá cảm ơn cả team. Mình cũng từng làm nội dung cho học thuật lên videos bằng animation nên hiểu, từ khâu kiến thức đến ra animation rồi videos thiệt là kỳ công và đầu tư nhiều tiền bạc. Cảm ơn team đã chia sẻ🎉🎉🎉

Hay ghê! Cũng muốn làm thêm kênh EZ toán lý hóa sinh mà chưa đủ sức :D

Cảm ơn kênh rất nhiều vì những video bổ ích này, mong kênh sẽ càng ngày phát triển để có thể lan toả tình yêu về việc học nói chung và đối với các môn khoa học tự nhiên nói riêng, những video như này thật sự cần có nhiều hơn và hơn nữa.

Tuyệt vời quá, cảm ơn kênh nhiều lắm! Chúc kênh sớm phát triển lớn mạnh hơn (chắc chắn rồi) 😍

hic, hay quá ạ, lót dép chờ video mới :v

Đợi mãi ngày hôm qua lun đó 😂

Thú thật là hồi xưa a học chuyên Toán Tin, nhưng do lười học ham chơi nên cũng ko hiểu bản chất Đạo Hàm, Tích Phân. May có các e nên a mới hiểu dc bản chất của chúng. Cảm ơn các em, các em mà làm nghề giáo thì nhiều thế hệ học sinh được nhờ

Học xong, đi làm được gần 20 năm giờ mới hiểu rõ và thấm về tích phân đấy! Cảm ơn kênh nhiều lắm!

Mình học toán lúc nào cũng chỉ muốn hiểu bản chất thực sự của các công thức, ứng dụng như thế nào nhưng vì không thông minh cộng với lượng bài tập về nhà các môn trên trường chất như núi và tính mình lúc nào cũng cố hoàn thành btvn kể cả Tết hay nghỉ hè vậy nên chưa bao giờ có thời gian đủ nhiều để nghiên cứu kĩ từng kiến thức nhỏ của toán. Cho đến bây giờ khi đã lên học thạc sĩ vẫn cảm thấy tiếc nuối thời gian đi học nhưng k còn cách nào có thể thay đổi được nữa, chỉ có thể bắt đầu xem lại những thứ mình đã bỏ lỡ. Cảm ơn kênh đã cung cấp nội dung mà mình mong muốn biết được từ bao lâu nay. Mong rằng các bạn học sinh sẽ yêu toán học và hiểu được bản chất của chúng chứ không chỉ chú trọng vào bài tập giải tích mà bỏ lỡ những điều thú vị như vậy.

Hy vọng sẽ có các video mới về: +Hàm nhiều biến(đạo hàm riêng,vi phân toàn phần, cực trị(không/có điều kiện)). +Các hàm số trong toán kinh tế. Ứng dụng của đạo hàm trong toán kinh tế. +Phương trình vi phân. +Khai triển Taylor. Mong là sẽ có.

Thay lời Mr. Cat cảm ơn team rất rất nhiều!!! Mong VCL ra nhiều video hơn nữa, giải thích hết vũ trụ toán học nhoe kkkk

Cực kì bổ ích và dễ thương! Respect bạn mới

cảm ơn đã giúp mình bổ túc lại kiến thức. chúc kênh ngày càng dc nhiều khán giả biết đến và đón nhận

Vid chất lượng và dễ hiểu quá. Chúc cho kênh phát triển mạnh trong tương lai

mong anh làm nhiều hơn mấy video giải thích các hiện tượng vật lý nhất là trong chương trình phổ thông như bài điện trường ấy ạ :

Đã like và comment rồi nhé. Thực sự biết ơn. Grateful!!!

Quá tuyệt vời đây là một trong những kênh hay nhất mà mình đăng ký

Em cám ơn các anh chị vì đã làm ra video này. Nhờ nó mà em hiểu được bản chất tích phân, chứ cái định nghĩa trong SGK mù mờ lắm. Liệu mọi người có thể làm thêm video về vi phân ko ạ?

Nên gọi là chiều cao và bề ngang. Tích là tích tụ (nhiều phần nhỏ lại...) =tích phân. Phần nhỏ ydx= phần vi phân (phần nhỏ tí )

Video rất chất lượng có thể thấy team đã đổ nhiều tâm huyết vào video cảm ơn mọi người.

Cảm ơn kênh vì đã giải thích bản chất của các khái niệm. Chúc kênh ngày càng phát triển

em dang hoc tich phan ma em khong hieu gi het tron, o truong sach day em ko hieu gi het, bay gio co do hoa dep voi nhac hay thì qua de hieu luon, thank you nha :))

Chân thành cám mơn các anh chị rất nhiều, những bài giảng của VLC khiến em nhận ra vấn đề khó hay dễ đều do mình hời hợt, học không hiểu bản chất. Cám mơn rất nhiều 🙏🏻❤

Xứng đáng theo dõi và like. Respect team!

Quá hay luôn á trời, hiểu được rồi nó đã gì đâu, chúc kênh VLC luôn phát triển hơn nữa👍👍

Cảm ơn các cháu, nhờ clip này mà việc đồng hành cùng con trẻ trong nhà của chú trở nên dễ hơn rất nhiều 🎉❤

Cần lắm những kênh như này để giúp các bạn học sinh hiểu rõ bản chất hơn là việc học vẹt các công thức. Ủng hộ kênh !

Đỉnh quá luôn em cảm ơn kênh rất nhiều đã giúp em hiểu đc bài trong lúc em đang thấy bế tắc với môn toán 12 khi sắp phải thi cuối kì ❤️

cảm ơn vật lý chill ^^

Rất rõ ràng và dễ hiểu cho học sinh cấp 3. Mặc dù mình đã qua thời đó rất lâu rồi. Xem lại vẫn hiểu bt. VLC tiếp tục ra nhiều video kiểu như này cho hs nhé. 🤗

Cảm ơn mấy e , vô tình thấy mà ngồi coi từ đầu đến cuối...Bởi vì ngày xưa học ham chơi, lại toàn học vẹt ..chả hiểu cái quái gì, nay ngồi mới à hiểu ra . Thực sự VN mình học dậy toán quá kinh...những bài tích phân , đạo hào , hình học ...tốt hơn như các nước khác chỉ dạy và nghiên cứu khi học bậc cao hơn . Vì tuổi nhỏ chủ yếu học , chơi và phát triển thể chất . Vậy nên học nhiều về tài chính , kĩ năng sống tốt hơn là tập chung vô toán học khi còn quá nhỏ . Thành tích toán học thi thố của nc ta vừa rồi là khá nhiều huy chương...nhưng bản chất chỉ là luyện thi ngày đêm( cho các e sáng dạ ), nhưng ứng dụng thực tế vô đời sống hay khả năng sáng tạo thì thua rất xa các nước tư bản.

Rất ủng hộ kênh, mình đã qua giai đoạn học tích phân rất lâu nhưng thấy ko mệt mỏi khi xem hết clip. Rất dễ hiểu. Mong các em/bạn đạt đc nhiều thành công. Khâm phục sự hi sinh của kênh.

Hay lắm, phần này mình nhớ trong chương trình phần đầu về nguyên hàm, tích phân có nói tới nhưng đa phần GV đều bỏ qua, vì thật sự nó hơi rắc rối đối với học sinh TB. Nó dẫn đến nhiều học sinh (kể cả HS giỏi) chỉ học vẹt công thức để làm bài tập từ dễ đến khó mà không hiểu bản chất.

Hay lắm nha, ủng hộ nhóm nhé.

Quá tuyệt vời 🥰 Thật nhiều kiến thức và công sức cho 1 video, đây là video giải thích dễ hiểu dễ hình dung nhất mà mình tham khảo. Thank uu.

quá tuyệt vời cảm ơn team rất nhiều, nhờ team mà tôi yêu toán hơn rất nhiều ... mong team ra thêm nhiều vd hay giúp nền giáo dục ngày càng phát triển, cảm ơn team nhiều

chỉ chill với người xem thoiii chứ ad chắc k chill lắm đâu, video chất lượng quá mà cố gắng phát triển kênh nhaaa

Nếu được thì ad có thể làm 1 series về những định lí được khum ạ, ví dụ như pytago, hay là bdt cosi, bunhiacopxki,... có thể bắt đầu với những định lí thường gặp trong toán hay tin học

thời tôi đi học chả có gv dạy toán nào giải thích cho hs ý nghĩa của tích phân chi tiết như này cả, chỉ nói sơ qua, bày các mẹo làm bài và làm thật nhiều bài tập. Rốt cuộc khi gặp dạng mới là ko biết làm, vì có hiểu bản chất đâu 😢

tuyệt vời quá, cảm ơn đội ngũ Vật Lý Cjill đã tạo ra một video tuyệt vời như này. Share mạnh luôn

Thực sự thời đi học mình có học lực khá giỏi ở tất cả các môn, nhưng luôn bị xem là kẻ thù của môn toán. Cái cách mà các em truyền đạt và giải thích vượt xa những gì mà mình được tiếp thu từ thời đi học, thực sự rất dễ hiểu. Trân trọng những giá trị của tụi em đang tạo ra cho các thế hệ tiếp nối.

kênh làm mình ngày càng thêm yêu toán mãi ủng hộ kênh ạ:)

sao giờ mình mới biết kênh này vậy? Quá hay. 35 tuổi rồi vẫn ngồi xem lại kiến thức toán cấp 3 không chớp mắt :D

Tôi học toán hơn 20 năm và năm nay tôi bốn mấy tuổi rồi mới hiểu tích phân dùng để làm cái gì nhờ video này! Thank you các bạn nhé. :))

Vật lý v=∆s/∆t =s'(c) định lý trung bình larange => ∆s=s'(c).∆t Giả hàm f:X->Y f là hàm khả vi ∆f=f'(c)∆x hay f(a)-f(b)=f'(c).(a-b)

Mình là giáo viên dạy Văn, lúc ở cấp 3 mình rất sợ Toán (nhất là phần "lim"), nhưng sau khi xem video của kênh, mình cảm thấy hóa ra toán học có ứng dụng rất lớn (chắc lúc đó mình chưa nghĩ được như thế). Cảm ơn kênh đã làm video bổ ích nhé.

đây là một trong những kênh mình thấy hay nhất trên youtube, chúc đội ngũ của kênh càng ngày càng phát triển

Thật dễ hiểu thơm ngon như ăn trái táo học như chơi, chơi mà học. Kiến thức vui nhộn thẩm thấu ngấm sâu vào não bộ, ghi lại lưu trữ tại rãnh bộ nhớ.

video rất hay , dễ hiểu . đến giờ em mới hiểu về bản chất cơ bản của tích phân . cảm ơn nhóm , mong nhóm ra nhiều video hay nữa

Hay lắm lun ạ. Hi vọng có dạng video này mà môn lý 12 🥺💖

Rất hay chi tiết và ý nghĩa. Lời văn theo kiểu hướng dẫn những người "kh biết" nghe, dễ tưởng tượng hình dung hơn. Cám ơn Kênh thật nhiều

Quá tuyệt vời, lên mạng mà có nhiều video bổ ích như thế này thì dân trí sẽ đi lên nhanh thôi.

Hay quá Các b làm nhiều vid về vật lý nữa được k ạ

Mong ad tiếp tục series IPhO medalists ạ :)) em hóng nhất là phần tài liệu học của các idol ạ :))

❤❤❤hay wa,gioi that

Sao bao nhiêu năm học toán thì lần đầu tiên em mới thấy dc một vid giải thích hay như thế nào. Cám ơn admin rất nhiều ạ. Mong kênh của mình sớm phát triển lên 1tr sub. Cố lên.

Giải thích hay, ngắn gọn, dễ hiểu nhưng nếu dùng các ví dụ thực tế hơn như đưa ra cách tính diện tích của các mảnh đất cụ thể, tính diện tích của 1 tỉnh, 1 quốc gia nào đó thì nó sẽ có nhiều hứng thú và dễ hiểu hơn với cả những người chưa từng biết về tích phân, đạo hàm. Ngày xưa, học đạo hàm tích phân nhưng ko 1 giáo viên nào nêu ra ứng dụng của nó, chỉ đưa công thức rồi bắt hs làm theo nên học toán rất chán.

Học toán ở trường cấp 3 hồi xưa chỉ biết làm bài tập và theo công thức chứ chưa bao giờ tìm hiểu sâu vào ứng dụng cũng như tính thực tiễn của nó, nay xem video này mới hiểu rõ hơn về bản chất của tích phân là như thế nào Hic, cảm ơn team Vật Lý Chill đã dành thời gian ra video này để mọi người có thể xem và hiểu được ạ, chúc team ngày càng phát triển nhé! Mình đã đăng ký và like rùi hen

Toi 72 tuoi . Lan dau xem video nay . Rat cam on vi ky uc ve Tich phan da ngu ky trong nao bo cua toi tu hon 55 nam roi . The ma bay gio toi moi hieu . A ! ra the . Cam on chuong trinh nhe ! Chuc tien bo mai de giup cac em o VN . From CANADA

Awww hay quá ạ, cảm ơn video của Vật Lý Chill ạ, xem xong là nhớ dai đảm bảo không quên luôn, học đi từ bản chất luôn là chân ái

tại sao chiều dài lại ngắn hơn chiều rộng nhỉ

Hi mn, mình cũng gần 30, rời ghế nhà trường khá lâu. Nay muốn học lại toàn bộ kiến thức Toán, Lí, Hoá không biết mn có những đầu sách hay nào cho ng tự học không, nhờ mọi ng giới thiệu :D

thực sự là rất hay luôn đó ạ. Cảm ơn Vật Lý Chill nhaaa

Respect team! Cách đây 10 năm mà có những video như thế này thì mình đã chẳng dốt toán đến thế Hồi cấp 2 mình tự cảm thấy toán rất dễ vì có thể nhìn thấy, hiểu được và vận dụng được trong thực tế, lên cấp 3 thì chịu hẳn vì quá mơ hồ và máy móc, bây giờ sau gần 10 năm ra trường mới biết lí do vì sao mình dốt

có video tích phân 2-3 lớp tiếp k anh

Kiến thức mà ad đưa ra trong clip là không sai, nhưng chưa thật sự chính xác, khiến mọi người có thể dễ dàng “ngộ nhận” rằng họ đã hiểu bản chất của tích phân. Trong lịch sử, Leibniz đúng là người đã chỉ ra “tích phân của hàm f trên [a,b] = lim(n->vc) f(x_i)×(a_i-a_(i-1)). Nhưng, điều này chỉ đúng cho lớp hàm liên tục trên [a,b], chứ không đúng với trường hợp hàm bị chặn. Hơn nữa, vào thời Leibniz, chưa hề có định nghĩa cho khái niệm giới hạn (sau này Cauchy và Weireirtrass là người đưa ra định nghĩa cho giới hạn), Leibniz chỉ đơn giản dùng giới hạn như một công cụ cho tính toán, do đó công thức trên không mang ý nghĩa chặt chẽ về mặt toán học vào thời điểm đó. Vào thế kỷ 19, Bernhard Riemann là người đưa ra định nghĩa cho khái niệm tích phân cho lớp hàm bị chặn, mà sau này ta thường gọi là tích phân Riemann. Định nghĩa này không hề sử dụng khái niệm giới hạn (mặc dù vào thời của Riemann, khái niệm giới hạn đã được định nghĩa chặt chẽ). Lí do như đã nói ở trên, nếu hàm f chỉ bị chặn mà không liên tục trên [a,b], thì không thể lấy được giới hạn như trong công thức trên. Tuy nhiên, f không liên tục không có nghĩa là f không có tích phân. Thực tế có rất nhiều hàm bị chặn, không liên tục nhưng vẫn có tích phân bình thường. Do đó, ông mới đưa ra định nghĩa tổng quát cho tích phân như sau : • Cho f : [a,b] ⟶ IR là một hàm bị chặn. Ta đặt P = {a=a_1,…,a_k=b} là một phân hoạch của [a,b]. • Khi đó, “tổng Riemann dưới của f trên [a,b] ứng với P” được định nghĩa là L(f,P) = Σ ( (a_(i+1)-a_i) × inf{ f(x) | x ∈ [a_i,a_(i+1)] ) với i∈{1,…,k-1}. • Tương tự, ta đặt U(f,P) = Σ ( (a_(i+1)-a_i) × sup{ f(x) | x ∈ [a_i,a_(i+1)] ) với i∈{1,…,k-1}. chính là tổng trên của f ứng với phân hoạch P. • Khi đó, ta định nghĩa sup{ L(f,P) | P là phân hoạch bất kỳ trên [a,b] } là chặn trên nhỏ nhất của tổng Riemann dưới của f, hay “giới hạn” của tổng Riemann dưới, và inf{ U(f,P) | P là phân hoạch bất kỳ trên [a,b] } là chặn dưới lớn nhất hay “giới hạn” của tổng Riemann trên của f • Khi đó, nếu inf(U(f,P)) = sup(L(f,P)) thì ta nói f là khả tích Riemann và tích phân của f trên [a,b] được nghĩa là inf(U(f,P)) = sup(L(f,P)). • Lí do ta chỉ xét hàm bị chặn khi nói đến tích phân Riemann là vì f phải bị chặn thì ta mới lấy inf và sup được. Đây mới chính là cách mà Bernhard Riemann định nghĩa tích phân của hàm bị chặn f trên [a,b]. Và rõ ràng f không nhất thiết là liên tục trên [a,b], nên như đã nói ở trên, việc định nghĩa tích phân Riemann bằng giới hạn là không chính xác. Thực ra, nếu hàm f là liên tục trên [a,b], thì ta có định lý mà đã được ad giới thiệu làm định nghĩa tích phân trong clip. Nhưng trong trường hợp tổng quát mà Riemann đã làm là f bị chặn, thì định lý này không đúng. Nên mọi người cần hiểu rõ hơn để tránh nhầm lẫn về kiến thức này. Mở rộng hơn nữa, Lebesgue và nhiều nhà toán học khác còn định nghĩa tích phân cho các hàm không bị chặn, nếu mọi người có hứng thú thì tham khảo các tài liệu về lí thuyết độ đo sẽ hiểu rõ hơn.

Cảm ơn ad rất dễ hiểu hơn nhiều học trên lớp toàn lí thuyết mong ad ra nhiều hơn về toán học

Rất tuyệt vời ! Cảm ơn các bạn Yeahhhhh

Video hay, phù hợp với các bạn học sinh đang cần hiểu hơn về phép tính tích phân.

uiiiii mong sẽ ra thêm nhiềuuu vid thú vị và bổ ích như nàyyy ạaaaa. Ra sớmmm nhéeee huhuhuhu tui đang học đúng phần này nè. Học trên lớp hơi lơ mơ, lên đây nghe thấy dễ hiểuu quáaaaa

Học toán mà có clip minh họa như thế này thú vị thật, ngày xưa thì mình ráng tưởng tượng để hiểu, và càng khó khăn hơn khi chia sẻ với bạn bè, nhiều khi tức đỏ mặt mà cũng đành chịu, xin cảm ơn tác giả clip này.❤❤❤

Cảm ơn các em rất nhiều. Video thực sự rất có ý nghĩa với anh!

Hay quá! Cảm ơn nhóm