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Es wäre wichtig zu erwähnen, dass die Berechnungen für (c) im Video nur stimmen, wenn man weiße Ecken hat. Man kann den Würfel auch mit blauen Ecken haben und ist dann immer knapp über 1/2.
Das 'süße' Video, welches den 8*8 = 13*5 Beweis so sportlich zeigte und das schlussendlich Unterstützung durch ein mittelständiges Unternehmen aus dem Schönbuch (Baden-Württemberg) erhielt.
Mein Lieblingsvideo ist immer das nächste, wie bei einem Überaschungs-Ei. Ich habe aber zwei Lieblingsaufgaben: 1. Beweisen Sie, dass die die Folge der Teilsummen der Reihe, bei der die Zahlen von 1 bis n aufsummiert werden, bei -1/12 konvergiert. Lach nicht - das kann man mit p-adischen Metriken beweisen und Physiker verwenden das sogar bei ihren Beweisen. (Dazu habe ich mir vor kuzem hier auf RU-vid ein paar Videos angeschaut.) 2. Auf einer Hochspannungsleitung sitzen 12 Tauben und 3 Raben, ein (fieser) Jäger schießt mit einer Schrotflinte auf die 15 Vögel und trifft 3 von ihnen, die sofort abstürzen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass danach keiner der 3 Raben mehr auf der Hochspannungsleitung sitzt. Das kam in einer Übung während meines Studiums (ca. 1991) vor. Ich konnte das sofort lösen (100% Wahrscheinlichkeit). Meine Überlegung: Wenn ich ein Rabe wäre, auf den mit Schrot geschossen wird, bleibe ich garantiert nicht sitzen. 😁 Ach und dann hätte ich noch eine Aufgabe, die ich zwar gelöst bekommen habe, aber meine Lösung ist sehr kompliziert. Und mir wurde gesagt, dass es eine einfache Lösung geben soll. Das halte ich zwar für unwahr, aber vielleicht fällt dir dazu was ein: Eine 10 Meter lange Leiter steht aufrecht an eine Wand gelehnt. Die Leiter geht durch einen Punkt der sowohl 1 Meter von der Wand als auch 1 Meter vom Boden entfernt ist. Ich habe mir noch überlegt, dass die Steigung der Leiter wohl größer als 1 ist. Wenn man die Leiter flach hinstellt, rutsch sie bestimmt ab. Die Frage ist jetzt: In welcher Höhe berührt die Leiter die Wand und wie weit entfernt von der Wand berührt sie den Boden. Wenn du darauf eine einfache Antwort (kurzen, eleganten Lösungsweg) hast, wäre das mein Lieblingsvideo. ;-)
1. Dass die blauen Teile unterliegen, sieht man schion daran, dass die Ecken weiß sind. Und mit zunehmender Menge an Teilwürfeln ist Blau immer näher an der 1/2. Also muss der 5^3-Würfel anteilig blauer sein. Zu rechnen braucht man dazu gar nichts. 2. Bei geraden Kantenlängen ist die Verteilung Blau/Weiß immer 1/2. Auch dafür muss man nichts rechnen. 3. 2k + 1 ist wieder ungerade, also wieder wie im Fall 1, die Zahlen sind dabei völlig egal, weil der größere Würfel im Verhältnis Blau zu Weiß immer näher an 1/2 kommt.
Meine Lösung: bringe beide Würfel auf eine gleiche Kantenlänge, die durch 3 und durch 5 teilbar ist (15). Dann gibt es 13 blaue Würfel von 5×5 und 62 blaue Würfel von 3x3. Man bildet die Produkte und ermittle die Differenz. 3x3 gewinnt.
Es ist auch intuitiv und ohne Limesbetrachtung naheliegend, dass der Würfel bei n=3 einen geringeren Blauanteil hat als der mit n=5. Grund ist, dass die "weißeren" Schichten zahlenmäßig bei n=3 mehr überwiegen als bei n=5 und gleichzeitig der Unterschied zwischen dem Anteil der weißen und der blauen Würfel innerhalb einer Schicht bei n=3 größer ist als bei n=5. Wäre beides gegenläufig, dann wäre die Antwort nicht so eindeutig, aber hier ist das auch ohne Rechnung offensichtlich.
Mir fällt grad noch ein, so müsste es sein: Bei n = 3 sind 26 Würfelchen von 27 sichtbar, nicht wahr? Und bei n = 5 sind noch 98 von 125 Würfelchen sichtbar. Über die Farbe der zentraleren verdeckten, die om Kern liegen, weiss man streng genommen nichts. Man sieht nur die Kruste. Bei n = 3 ist es ein solches Kern-Würfelchen, bei n = 5 sind es 27, (bei n = 7 sind es 218 von 343) … Stimmt’s?
Ist doch easy. Hab ich ja sofort gesehen. Beim ersten Würfel ist das Verhältnis zwischen blau und weiß pro Kante 1:2, beim zweiten 2:3 und wenn wir z.B. 7 Abschnitte an der Kante hätten, dann wäre es 3:4 usw. D.h. das blau/weiß-Verhältnis gleicht sich bei wachsender (ungerader) Anzahl der Abschnitte immer mehr an, bis man in der Unendlichkeit bei 1:1 landet. Die 3D-Lösung hat man dann automatisch inklusive. Da brauch ich doch nicht einmal über Flächen oder Volumina nachzudenken. Und überhaupt: all diese unnötigen Berechnungen! 😁😁😁 Nein, Spaß. Natürlich war's wie immer schön zu sehen wie es die Frau vom Fach ordentlich macht. 😊👍
Nun, Bei n = 3 sind es (4 + 5 + 4) / 27 = 13/27 = 48,148... %. Bei n = 5 sind es (12 + 13 + 12 + 13 + 12) / 125 = 62/125 = 49,6 % Bei n sind es (n³ - 1) / (2n³) = 1/2 - 1/(2n³). Und daraus ergibt sich für n gegen unendlich natürlich ein Grenzwert von 1/2, weil 1/(2n²) gegen 0 geht. Natürlich nur bei ungeraden n. Bei geraden n ist der Anteil 1/2, weil in jeder Ebene genau die Hälfte blau gefärbt ist.
Der 3er Zauberwürfel hat aber nur 26 Würfel. In der Mitte ist ein Gelenkkreuz. Vielleicht hättest du nicht Zauberwürfel sagen sollen, sondern einfach nur Würfel (der komplett mit würfeln gefüllt ist)
Stimmt, wobei den ja nach der Million-Frage letzte Woche alle gut kennen sollten. 😃🧚🏼♀️ ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-SFOjjp_Y96o.html
Ja, der nimmt im gezeigten Fall n=3 einen blauen Würfel ein, wodurch du zu 12/26 statt 13/27 kommst, und der Würfel immer noch weniger Blau als Weiss enthält, und im gezeigten Fall n=5 entfällt dadurch ein weisser Würfel und man hat 62/124 jeweils für weiss und blau. Wird Zeit für eine Fallunterscheidung :-)
Lösung: a) Man kann jeweils 2 Ebenen der Würfel zu einer kompletten blauen Ebene zusammenfassen. Es bleibt als jeweils eine Ebene übrig, die nicht vollständig ist. 3x3 Würfel: 1. Ebene + 2. Ebene = eine komplette blaue Ebene = 1/3 Dann nach 4/9 von einer Ebene, also 4/9 * 1/3 = 4/27 1/3 + 4/27 = 9/27 + 4/27 = 13/27 5x5 Würfel: 1. Ebene + 2. Ebene = eine komplette blaue Ebene = 1/5 3. Ebene + 4. Ebene = eine komplette blaue Ebene = 1/5 Dann noch 12/25 von einer Ebene, also 12/25 * 1/5 = 12/125 1/5 + 1/5 + 12/125 = 2/5 + 12/125 = 50/125 + 12/125 = 62/125 Beide Wert sind knapp unter 1/2, daher ist es am einfachsten, die Werte von 1/2 abzuziehen und den Rest zu vergleichen: 1/2 - 13/27 = 27/54 - 26/54 = 1/54 1/2 - 62/125 = 125/250 - 124/250 = 1/250 Da 1/250 auf jeden Fall kleiner ist als 1/54, ist der Anteil bei n=5 höher. Man kann es auch intuitiv erklären: Der blaue Anteil ist ja ungefähr die Hälfte des Würfels. Aber die Würfelgröße der kleinen Würfel verhindert, dass es genau die Hälfte ist. Es ist einfach "zu grob". Je kleiner die kleinen Würfel werden, desto genauer wird es. Also desto mehr nähert es sich an die Hälfte an. b) n=2k bedeutet nichts anders, als das es eine gerade Anzahl an Ebenen gibt. Anders als bei (a), gibt es also keine "übrige" Ebene. Daher kann man immer 2 Ebenen zu einer Ebene zusammenfassen. Bei n=2k ist der blaue Anteil also IMMER 1/2 bzw. 50%. Da muss man nicht mal rechnen. c) Wie ich in (a) bereits aufgeführt habe, ist es intuitiv, dass man bei höherem n sich immer mehr an die Hälfte annähert. *WICHTIG: Dies gilt nur, wenn die jeweils erste bzw. letzte Ebene mit weißen Ecken beginnt! Ansonsten wird das Ergebnis größer als die Hälfte, nähert sich aber trotzdem an die Hälfte an!* Erläuterung: Wie gesagt, 2 der Ebenen vervollständigen sich immer und ergeben immer (n-1)/2 komplett blaue Ebenen bzw. (n-1)/2 * n² kleine blaue Würfel. Also die Anzahl der Ebenen minus 1 (weil eine übrig bleibt) und dann geteilt durch 2 (weil man immer 2 zusammenfasst). Beispiel n=5: (5-1)/2 * 5² = 4/2 * 5² = 2 * 25 = 50 Würfel Das sind genau die 50/125 die ich oben berechnet habe. Es bleibt die letzte Ebene. Wenn man weiß in den Ecken hat, sind die kleinen blauen Würfel (n² - 1)/2. (Mit blau in den Ecken wären es (n² + 1)/2.) Insgesamt haben wir also (n-1)/2 * n² + (n² - 1)/2 = (n³ - n²)/2 + (n² -1)/2 = (n³ - n² + n² - 1)/2 = (n³ - 1)/2 = n³/2 - 1/2 kleine blaue Würfel. Da wir den Anteil haben wollen, teilen wir noch durch die Gesamtanzahl n³ und erhalten (n³/2-1/2)/n³ = n³/2n³ - 1/2n³ = 1/2 - 1/2n³ Mit anderen Worten, je höher n wird, desto kleiner wird der Abstand zu 1/2, er wird aber nie 0.
Sehr schöne Aufgabe von der Community - hat mir sehr gefallen. Bei Deiner Idee zur Berechnung des Limes hab ich mir das ganze bildlich in einem Diagramm gedacht, beginnend mit dem X Wert von eins gehend nach Unendlich und Y als Wertestrecke mit maximal 1. Dabei eine Linie bei y = 1/2 gezogen und man bekommt für die blauen und weissen Flächen hierdurch eine Schwingungswelle für die beiden Farben (bei X=1 mit Y=1 bzw. Y=0 als Maximalwert, welche bei den geraden X Werten sich immer bei Y=0.5 treffen und danach wieder entfernen, wobei deren Amplitude immer kleiner wird.
Wenn das ein Zauberwürfel ist, muss ich doch vom linken Würfel einen kleinen blauen abziehen. Da ist in der Mitte ja eine Art blaues Gelenk. Rechts nicht.
stimmt, beim rechten müsste es 27 im Inneren sein, die man nicht sieht, die Aufgabestellung bzw. der Titel hätte nicht so lauten dürfen, das hätte Madga eindeutiger machen müssen.
Ohne lange rumzurechnen: der blaue Anteil müsste immer ein Stein weniger als die Hälfte sein und sich damit bei immer größeren Würfeln immer mehr der Hälfte nähern.
@@norbertwerner6926 Ja klar, konnte das Video vorhin nicht mit Ton ansehen, deshalb hab ich nur reingezappt und die 2. Fragestellung übersehen. Bei n gerade ist die Verteilung sowieso halbe-halbe.
Machen wir es doch mal allgemein für einen beliebigen ungeraden Wert von n: Wir haben insgesamt n Schichten, die sich wie folgt aufteilen: (n+1)/2 Schichten haben einen blauen Volumenanteil von (n²−1)/2n² und einen weißen Volumenanteil von (n²+1)/2n² (n−1)/2 Schichten haben einen blauen Volumenanteil von (n²+1)/2n² und einen weißen Volumenanteil von (n²−1)/2n² Somit betragen der weiße und der blaue Volumenanteil: P(weiß) = [(n+1)/2*(n²+1)/2n² + (n−1)/2*(n²−1)/2n²]/n = (n³ + n + n² + 1 + n³ − n − n² + 1)/(4n³) = (2n³ + 2)/(4n³) = 1/2 + 1/(2n³) P(blau) = [(n+1)/2*(n²−1)/2n² + (n−1)/2*(n²+1)/2n²]/n = (n³ − n + n² − 1 + n³ + n − n² − 1)/(4n³) = (2n³ − 2)/(4n³) = 1/2 − 1/(2n³) Die Summe beider Anteile muss eins ergeben und das ist auch so. Jetzt sieht man: Mit größer werdendem n nimmt der weiße Volumenanteil ab und der blaue nimmt zu. Im Grenzfall n ⟶ ∞ laufen beide Anteile wenig überraschend auf den Grenzwert 1/2 zu.
Es ist immer ein einziger weißer Würfel mehr. Wird dieser kleiner, nimmt seine Relevanz ab. Die 2+3 Schicht gleichen sich aus, wie jedes Folgepaar an Schichten auch. Also reicht ein Blick auf die erste Schicht. Und dort das Verhältnis weiße und blaue Würfel zeigt, daß W(blau)+1 = W(weiß)
Ich habe mir mal Gedanken gemacht, wenn man nur die sichtbaren Oberflächen betrachtet. Auch hier ist bei n gerade, F(blau) = F(weiß) Bei n ungerade ergibt es sich, daß pro großer Fläche jeweils eine weiße Fläche mehr vorhanden ist. Also 6 kleine Flächen. Bei geeigneter Anordnung erhält man an 2 Ecken je 1/2 weißen Würfel, zusammen also einen kleinen weißen Würfel (auch bei n=1). Welcher an Bedeutung verliert, je größer n wird. Aber F(blau) < F(weiß) bleibt grundsätzlich.
ah, schön zusammengefasst. :) Der Gedanke mit der Oberfläche, den einzelnen Kacheln kam mir auch als erstes, da wäre eine andere Formulierung angebracht gewesen um zu zeigen das es sich um gestapelte Würfel handelt.
Hi Magda, super schöne Aufgaben. In der Schule sollte man bei Brüchen auf Dezimalbrüche im Zähler (und Nenner) verzichten (keinerlei Kritik). Ein schönes Wochenende. 😺
Ich habe es so gesehen: Bei n gerade, gibt es keinen Unterschied, egal wieviel Schichten es sind. Es sind immer gleich viele weiße und blaue Würfel. bei n ungerade ist immer nur ein einziger weißer Würfel mehr als blaue Würfel vorhanden. Je kleiner die Würfel, desto kleiner der Unterschied in der Summe. Genau reicht es somit nur die erste Schicht zu betrachten, da die geradzahlige Folgeschichten sich paarweise ausgleichen.
Darüber bin ich auch im unklaren gewesen, doch auch wenn man nur die Oberfläche des großen Würfels betrachtet, kommt eine gleichartige Antwort heraus. Die weißen Würfel sind bei n ungerade etwas mehr, aber immer die selbe Anzahl. Und je feiner die Aufteilung ist, so wird der Anteil dieses Mehr an weißen Würfel unbedeutender.
das liegt am Titel, da hätte Magda einen anderen wählen müssen, wie schon einer schrieb "ein Würfel gefüllt mit Würfeln", bzw, aufgestapelt das wäre viel angebrachter gewesen.
n = 3 => 13/27 = 48,15% (2*4 + 1*5 = 13) / 3³ n = 5 => 62/125 = 49,6% (3*12 + 2*13) / 5³ Bei n = 5 ist der blaue Volumenanteil grösser. Man hätte auch wie folgt überlegen können und dabei nichts rechnen müssen: n = 1 => 1 weisser Würfel Da die Ecken weiss sind, ist der blaue Volumenanteil immer kleiner als 50%. Bei zunehmender Teilchenzahl wird die Differenz zwischen blau und weiss kleiner. Man nähert sich also bei steigendem n immer mehr einem Volumenanteil von 50% an. Der Volumenanteil steigt also immer an. Beim grösseren n ist der blaue Volumenanteil grösser.
Ohne das Video angesehen zu haben: beim 3er Würfel sind es 4+5+4 (also 13) blaue Teile (wenn man Symmetriegründen annimmt, dass der innerste Würfel blau ist) und 5+4+5 (also 14) weiße Würfel. Blau ist also um 1 Würfel im Nachteil. Ich nehme an, dass es für große n gehen 50:50 geht und behaupte jetzt mal, dass der Volumsanteil von blau bei n=5 daher höher ist! Nach dem Video: na bitte!
Das war mal wirklich anspruchsvoll, danke dafür! Ich hatte das Gefühl, dass beim Teil c 1/2 rauskommen muss, aber Gefühl ist kein Beweis, wie mein Mathelehrer zu sagen pflegte. Auf Teil a konnte ich mich gar nicht richtig konzentrieren, ich war so überwältigt von deinem Shirt, das wieder mal hervorragend zur Aufgabe passte. Das Ding am rechten Kragenrand, ist da ein Mikrofon drin, oder ist das nur Deko? Erinnert mich ein wenig an StarTrek TNG. "Beam us up!"
Hey Magda, vielen Dank an dich, dass Du trotz der Zoom-Session heute noch ein Video bringst. Dank auch an das Community-Mitglied für die Würfel-Idee. Die Integralrechnung in der Zoom-Session war auch prima. Hat mich an meine Schulzeit erinnert. Die Grenzwertberechnung muss ich mir erst noch mal zu Gemüte führen. So etwas kann nur eine She-Master der Mathematik aus dem dem Ärmel schütteln. Liebe Grüße! (boh äh die Grenzwertberechnung habe ich erst im zweiten Anlauf geschnallt, Asche auf mein Haupt.)
@@Waldlaeufer70 nein, eigentlich eher die Genderform des akademischen Titels "Master". Ich hätte wohl Master*in schreiben sollen, sorry. Freundliche Grüße!
Jede Ebene ist gleich strukturiert. Bei n = 3 gilt somit: 4/9 ist blau. Bei n = 5 entsprechend: 12/25 ist blau. 4/9 = 100/225 und 12/25 = 108/225. Damit ist beim feiner gegliederten Würfel der Volumenanteil Blau größer (um 8/225, also um knapp 4 %). Und bei n = 7 ergibt sich 24/49 ..... Sehr schönes Rätsel, großes Kompliment an Magda für die Umsetzung. Like Rubik's cube -- never a bloop.
Ich habs im Kopf bis zur Hälfte gleich gerechnet, bis zu 4/9 und 12/25. Weil das beides fast 1/2 ist, hab ich dann geschaut, wie viel fehlt auf die Hälfte . Dafür hab ich beides mit 2 multipliziert. Ergibt 8/18 und 24/50. Beim ersten fehlt 1/18 auf die Hälfte und beim 2. 1/50. Somit: 1/18 > 1/50. Ich bin mir nicht sicher ob das einfacher oder komplizierter ist. War im Kopf aber einfacher.
12:36: Hier machst du es unnötig kompliziert. Einfacher wäre: (n³ - 1)/2 ⋅ 1/n³ = (n³ - 1) / (2n³) = n³/(2n³) - 1/(2n³) = 1/2 - 1/(2n³) Und hier sieht man dann direkt: wenn n gegen unendlich geht, dann geht 1/(2n³) gegen 0. Also bleibt für den Grenzwert 1/2 übrig.
Hab bei der Aufgabe nur die Frage nach den außen sichtbaren Würfeln verstanden. Dann sieht's freilich anders aus. Für n gegen Unendlich geht das blauen Volumen gegen Null.
Aufgaben hatte ich ja auch schon vorgeschlagen. Z.B. die mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten (Kugelschreiber) und das Riemengetriebe. Da würde mir ja schon reichen, wenn du mir mal die Formel für die Riemenlänge schickst.
Hallo. Bitte korrigiere mich wenn ich mich irre. Beim Würfel n=3 haben wir tatsächlich nur 26 Teile, den mittleren sieht man nicht, oder? Beim Würfel n=5 sind es nur 98 Teile. Die inneren "Würfelchen" sieht man auch hier nicht und ob sich die Aufteilung hier fortsetzen würde weiß man nicht. Aber sind ja Zauberwürfel also gibt es diese Fortsetzung der Farbaufteilung auf die im Inneren befindlichen "Würfelchen" nicht denn diese gibt es ja nicht. Aber wahrscheinlich habe ich nur einen riesen Denkfehler und Du kannst mir helfen dabei dass zu verstehen. Danke Dir!
@@theofuhrmann1984 Wenn in der Überschrift stehen würde "Würfel" und nicht irreführend "Zauberwürfel" wäre es eindeutig gewesen. So habe ich aber auch den "Denkfehler" und gebe ich André Mendel recht.
stimmt, war auch verwirrt, als der Kern der Zauberwürfel betrachtet wurde, den es ja nicht gibt. Die Bezeichnung Zauberwürfel ist fehl am Platz, das hätte Magda anderes formulieren müssen.
Hhmmmmm... Eigentlich müßte man vorher definieren, dass die Kantenlängen der großen Würfel gleich sind. Denn sonst könnte man behaupten, der eine Würfel habe ein viel größeres Volumen als der Andere und somit auch einen viel höheren blauen Volumenanteil als der Andere.
Das tut mir leid für dich. Vielleicht musst du die Grundlagen wiederholen und erstmal in 2D starten bevor du dann in 3D rüberwechselst? Hier zum Beispiel: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-4xmXi-4btik.html
Dreierwürfel, Blauanteil = (4 + 5 + 4)/(3*3*3) = 13/27. Fünferwürfel, Blauanteil = (3*12 + 2*13)/5^3 = (36 + 26)/5^3 = 62/125. Allgemein: ungerader Würfel mit Kantenlänge n = (2k+1). Einzelne Schicht: n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 Würfel. Bei k Schichten ist Blau in der Mehrzahl, 2k^2 + 2k + 1 Würfel. Bei k+1 Schichten ist Blau in der Minderzahl, 2k^2 + 2k Würfel. Zusammen gibt es k(2k^2 + 2k + 1) + (k+1)(2k^2 + 2k) blaue Würfel. Das sind (2k^3 + 2k^2 + k) + (2k^3 + 2k^2) + (2k^2 + 2k) = 4k^3 + 6k^2 + 3k = k(4k^2 + 6k + 3) blaue Würfel von insgesamt (2k + 1)^3 = 8k^3 + 3*4k^2*1 + 3*2k*1^2 + 1^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 Würfeln. Logisch, denn es sind 4k^3 + 6k^2 + 3k + 1 weiße Würfel, also einer mehr. Da mit zunehmender Würfelgröße der 1 Stein weniger antwolsmäßig immer weniger ausmacht, steigt der Blauanteil also an und konvergiert für n bzw. k gegen Unendlich gegen 4k^3 / 8k^3 = 1/2 = 50%.
Und das hätte man natürlich auch einfacher rechnen können, ohne das k. Und Teil b) hab ich weggelassen, da ja eh klar war, daß die Würfel dann hälftig verteilt sind, und zwar auch in jeder Schicht.
