Trigonometrische Gleichungen lösen #3: alle Lösungen in einem Intervall (Beispiel für Sinus) 

freut mich sehr, wenn's hilfreich ist! hoffe die nächsten wochen auch mehr zu videos zu kommen, aber gerade ist als admin der schule mega viel zu tun...

danke! :)

in dem fall musst du alle lösungen in der grundperiode über die skizze bestimmen und dann ein vielfaches der periode allgemein dazu addieren. in diesem fall waren die lösungen ja x1 = 1/6 und x2 = 5/6, die periode ist 2, also x = 1/6 + 2*k und x = 5/6 + 2*k für k element Z (also ganze Zahlen). da wird (irgendwann mal ) auch noch ein video kommen.

du bist mit deinem tr noch im gradmaß (deg oder d), du musst den auf bogenmaß (rad oder r) umstellen, wo das geht hängt vom tr ab. aber 30° entsprechen 1/6pi

@@HerrSpeckMathe oh gott wie peinlich...danke dir

@@HerrSpeckMathe nimmt man denn immer die normalform sin(x) um die zahlen der ursprungsfunktion auszurechnen?

also an der stelle, wo das sin (oder cos) weg muss, da nimmt man immer die grundfunktion^-1, falls du das meinst.

ja, klappt in dem fall, weil die zweite lösung im zweiten viertelabschnitt der periode liegt

kann man machen, das macht die skizze aber nur unnötig aufwendiger. es ist leichter, die lösungen für sin(πx) = 1/2 zu finden als für 2sin(πx) -1 = 0. und weil wir gleichwertig umgeformt haben, haben beide gleichungen die gleichen lösungen.

im prinzip steckt substitution dahinter, ich schreibe es nur nicht ausführlich hin, weil es nicht notwendig ist. an der stelle sin(pi x) = 1/2 kann man sich direkt überlegen: wo ist der normale sin gleich 1/2? (entweder hast du den tr und machst sin^-1 oder du hast eine wertetabelle zum nachschauen) und setzt dann den klammerinhalt pi x gleich dem ergebnis. und das ist dann die substitution. man könnte auch schreiben pi x mit z ersetzen: sin(z) = 1/2 gleichung lösen: z = 1/6 pi zurückersetzen: pi x = 1/6 pi wäre aber viel komplizierter. hauptsache ist, man kommt auf den richtigen nächsten schritt.

@@HerrSpeckMathe Danke für die Antwort!, das ist mir beim näheren Betrachten und drüber Nachdenken Ihres Vorgehens im Nachhinein dann auch aufgefallen :)

wir dividieren nicht, sondern rechnen sin^-1 von 1/2 (umkehrfunktion vom sin) und der tr muss im bogenmaß sein.

@@HerrSpeckMathe 1/2 (umkehrfunktion von sin) arc. sin ergibt auf dem Taschenrechner 30. Wie kommt man auf 1/6 ?

ja, es wären die nullstellen der funktion f(x)=2sin(pi*x)-1, weil du für nullstellen mit 0 gleichsetzen und dann genau diese gleichung löst musst.

@@HerrSpeckMathe oh, verstehe vielen Dank! Übrigens sehr gutes Video! weiter so

wir wollen ja links den sin weghaben und müssen dafür die umkehrung sin^-1 auf *beiden* seiten anwenden und sin^-1(1/2) ist 1/6pi.

ah ok, jetzt verstehe ich das problem. du bist vermutlich student? alle für die schule zugelassenen wtr (zumindest die, die ich kenne) verwenden als bezeichnung sin^-1 statt arcsin, das bogenmaß stellt man einmal anfangs in den einstellungen ein und die können mit vielfachen von pi exakt rechnen. deswegen spucken die das 1/6pi aus. aber taschenrechner sind natürlich verschieden. ich werde mal einen kommentar anpinnen, der da nochmals drauf eingeht, danke für den hinweis.

@@HerrSpeckMathe Mein HP Taschenrechner hat kein Gleichheitszeichen, den bekamen wir für unser Ingenieurstudium 1978 und kostete damals 2000 DM, das Nachfolgemodell habe ich heute noch. Da ich die RAD Funktion selten gebraucht habe, musste ich mich erst wieder mit meinem eigenen Rechner beschäftigen. Als Pensionär vergisst man einige Dinge, wenn man sich nicht mehr damit beschäftigt, ich möchte aber mein Gehirn trainieren und beschäftigen, dafür ist Mathe ausgezeichnet. Ich verstehe die Zusammenhänge und die Kenntnisse von damals sind sehr schnell wieder da.

ah, ok, dann lag ich mit student etwas daneben. :)

@@HerrSpeckMathe Sie machen gute Sendungen im Netz und helfen damit sicherlich vielen Schülern und Studenten. Ich kann mir vorstellen, das heute in den Schulen durch die vielen Unterrichtsstörungen das mathematische Wissen nur schwer vermittelbar ist und es ernorme Defizite gibt!

könntest du diese gelcihung bitte lösen: 3sin(x)+1=0

also die 1/6pi ist ohne das pi in der klammer auch völlig richtig, weil am ende nicht noch mal durch pi geteilt werden muss. allgemein kannst du bei einem sin/cos an drei stellen drehen: ganz vorne, vor dem x und ganz hinten. wenn ihr bisher nur ...sin(x)... habt, dann seit ihr vielleicht nur noch nicht so weit. ich hab für das beispiel einfach pi gewählt, da könnte auch 2, 4 0,5pi oder auch eben nix stehen. für 3sin(x)+1=0 musst du -1 :3 sin^-1 rechnen und kriegst dann x=-0,34 heraus, für die zahl gibt es keinen "schönen" pi-anteil. wie es dann weiter geht, hängt von der aufgabe ab: wenn du eine lösung bestimmen sollst, bist du fertig. für mehrere lösungen kannst du die grundperiode 2pi beliebig dazu addieren. wenn es um ein intervall geht, müsste ich wissen welches, nehmen wir z.B. mal [0; 2pi] also [0; 6,28]. dann ist deine lösung noch gar nicht im intervall, also erst mal x1 = -0,34+2pi = 5,94, das ist unsere erste richtig stelle. und mit einer skizze ähnlich wie im video sieht man dann wegen symmetrie: wenn wir die mitte der periode also pi + 0,34 rechnen, haben wir die andere lösung, also x2 = pi + 0,34 = 3,48. ist ohne skizze schwer vorzustellen, ich weiß, ich hoffe es hilft trotzdem erst mal. es wird auch noch ein paar weitere videos mit beispielen geben im laufe der zeit.

wie bei 1:20 erklärt, skizzieren wir NUR den sinus-baustein sin(pi x) und damit ist die skizze richtig! eine volle skizze ist nicht notwendig, weil wir nur schauen wollen, wo die weiteren lösungen aus symmetriegründen liegen.

die formel ist immer 2pi / Zahl vor x. wenn du nur sin(x) hast ist das 1x also die 1 und dann einfach 2pi/1 = 2pi. ansonsten 2 durch die zahl teilen und pi mitschleppen, z.B. sin(4x) heißt 2pi/4 und 2/4 = 0,5 also insgesamt 0,5pi (oder 1/2 pi)

HowToMathe danke fürs antworten !!

dann funktioniert es im prinzip genauso, nur weil dann vor dem x in der klammer eine 2 steht, kommt als erste lösung 1/12 pi raus. auf der achse bei der skizze hast du dann statt 2, 1, 1/2 usw. pi, pi/2, pi/4 ... und die erste lösung ist an der gleichen stelle, also im ersten viertel der periode und die weiteren berechnen sich wieder über symmetrie. z.b. für x2 würdest du dann statt 1 - 1/6 pi/2 - 1/12pi rechnen und 5/12pi herausbekommen

hier wird die umkehrfunktion von sin angewendet, nämlich sin^-1 (ist die zweitfunktion auf der sin-taste im tr) und sin^-1(1/2) ist 1/6pi. dadurch fällt auf der linken seite der sinus weg (weil sich sin und sin^-1 aufheben) und wir können weiterrechnen. aber aufpassen, der tr muss im bogenmaß sein (rad) sonst käme eine gradzahl raus. alternativ geht das auch über eine wertetabelle: schauen, wo wird der sin 1/2? und da würde als passendes x auch die 1/6pi stehen.

nicht zwingend, also ich hätte noch nach 2 kästchen auf der y-achse die 1 machen können, weil wir ja sin(pi x) betrachten und da ist die amplitude 1. ist aber nicht notwendig, weil die skizze nur dazu dient, zu sehen, wie du über symmetrie rechnen musst, um die weiteren stellen mit der gleichen höhe wie bei der ersten lösung zu erhalten. was genau diese höhe vom wert her ist, ist dabei egal.

@@HerrSpeckMathe Vielen dank😀

es gibt in der 3er reihe auch einige videos ohne tr, z.b. ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-2YImXE25RIE.html

über taschenrechner (oder wertetabelle) ergibt sich, dass sin^-1(1/2) = 1/6 pi ist und dann teilen wir noch durch pi. solltest du nicht auf 1/6 pi kommen, dann schau mal, ob du auf dem tr auch wirklich bogenmaß eingestellt hast, weil bei grad wird was anderes (falsches) rauskommen.

hui, da ich gerade zufällig reinschaue, reicht es dir vielleicht noch, auch wenn als kommentar schwierig zu machen. also erstens: egal wie die aufgabe ist: die erste lösung zu berechnen gibt schon mal gut punkte. in dem fall ist das ja die 1/6. die periode ist wie gezeigt 2pi/pi also 2. wenn es um alle lösungen geht, zeichnest du nur EINE periodenlänge, also bis zu dem, was bei 1:59 zu sehen ist und überlegst dir, welche weitere lösung gibt es in dieser periode. das ist das was ich so ca. bei 3:00 mache und was wegen symmetrie 5/6 ergibt. sobald du x1 = 1/6 und x2 = 5/6 hast, musst du auf beides allgemein vielfache der periodenlänge (hier 2) draufaddieren also 1/6 ± 2*k und 5/6 ± 2*k, k ∈ Z (Z mit Doppelstrich für ganze Zahl). d.h. egal welche lösung einfach am ende immer ± 2*k ergänzen und k ∈ Z dazuschreiben. weil das ist dann erste lösung +2 +4 +6 +8 ... -2 -4 -6 -8 ... in der allgemeinen schreibweise. hoffe das hilft dir noch so kurz vor knapp, viel erfolg. :)

@@HerrSpeckMathe Danke!!😊😊

so eine aufgabe kann in pflicht- oder wahlteil kommen. den taschenrechner brauchst du nur an der stelle mit dem sin(pi x) = 1/2 alles andere funktioniert auch ohne tr genauso. ist definitiv keine leichte aufgabenstellung. für den ersten schritt mit dem gleichung lösen, gibt es auch noch ein paar andere videos (#1 hat zwei beispiele mit und ohne tr) und meistens bringt das schon die hälfte der punkte, vielleicht also eher darauf konzentrieren. es braucht eigentlich auch 5-6 beispiele bis das mit der skizze klar wird, weil es viele feinheiten gibt, aber die werden erst im laufe der zeit entstehen...