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En multipliant par cos(x) au numérateur et au dénominateur puis en posant u=sin(x) ça se simplifie de manière élégante mais c'est un peu plus long Pour le même résultat trouvé bien vu la technique du Roi J'y suis allé en mode calculatoir sans trop réfléchir à l'intuition
On sépare l'intégrale en 2 intégrales (linéarité) : celle dont l'integrante est sin^2(sin(x)) et l'autre est cos^2(cos(x)). On ne touche pas à la deuxième, et on applique la propriété du roi sur la première qui devient : intégrale de 0 à pi/2 de sin^2(cos(x))dx Puis on rassemble les 2 intégrales (car les bornes sont les mêmes + linéarité) L'integrante de I est donc sin^2(cos(x)) + cos^2(cos(x)) = 1 Donc I vaut pi/2 Cela me semble, personnellement, plus naturel que de sommer les 2 intégrales. Mais fondamentalement c'est quasi la même chose
sans connaitre la propriété du roi j'avais fait autre chose et j'avais bien trouvé le même résultat : - changement de variable u = sin x [on rappele que cos(arcsin u) = √1-u² = sin(arccos u)] - on se retrouve avec l'intégrale de 0 à 1 de (sin²(u) + cos²(√1-u²)) / √1-u² que l'on sépare en deux intégrales J et K - dans l'intégrale K, on fait le changement de variable v = √1-u², u= √1-v² [souvent utile car involution] qui donne après simplifications K = intégrale de 0 à 1 de cos²(v)/√1-v² - on rassemble alors les deux intégrales J et K, le numérateur se simplifiant en 1 et donc I = intégrale de 0 à 1 de 1/√1-u² que l'on primitive en arcsin u, ce qui nous donne bien π/2 comme résultat final
Ta méthode pouvait être encore plus simple : on sépare les deux membres par linéarité de l'intégrale, on applique la propriété du roi à une des deux intégrales, on remet les intégrales ensemble et on a du sin²+cos² @@Matherminale
