@@philcaldero8964 bien que je n'ai été qu'en terminale cette année , j'ai bien suivi la plus part de vos vidéos avec un très grand enthousiasme ( sans pour autant comprendre tout ce qui se passe ) . Votre facilité à transmettre l'information se retient aisément et c'est toujours un régal de visionner vos vidéos qui relèvent de la poésie. ( GROSSO MODO je vous considère comme un des meilleurs créateur de contenu mathématique sur youtube , je vous souhaite bonne vie et bonne santé )
C'est initialement un problème B6 de Putnam (dans les années 90 je crois...). On peut rendre l'exo un peu plus dur (et plus astucieux) en mettant le dénominateur dans la somme au carré :p
Bonjour, à 6min30 , vous dîtes que Sp(P(A))=P(Sp(A)) , j'arrive à montrer que P(Sp(A)) inclu dans Sp(P(A)) mais j'ai l'impression qu'il manque un argument pour l'inclusion inverse.
@@philcaldero8964 Ah oui super j'ai trigonalisé A , et en appliquant P on remarque que P(A) est encore trigonalisable. Avec sur la diagonale les P(µ_i) avec µ_i qui sont les vp de A.
On peut montrer qu un espace vectoriel de kx de codim 2 qui contient des polynomes de racines multiple est en effet ideal et par principalite on aura le resultat
Une des raisons pour lesquelles l'agrégation est attrayante est le bagage qu’elle fournit. Malheureusement, avec mon niveau mathématique de classe préparatoire, je ne peux même pas comprendre les enjeux d’un tel théorème qui semble pourtant intéressant :(
Ça viendra! Mais c'est vrai que l'agrégé fournit un "niveau moyen" de connaissance de maths bien au dessus de la moyenne d'autres pays dont les universités se focalisent sur telle ou telle spécialité des maths. Dans cette vidéo, l'idée c'est de faire de la géométrie algébrique "en dimension infinie" et sans les outils spécifiques de la géométrie algébrique.
Quand j'avais passé l'agreg, j'avais été noyé dans les notations du Demazure, votre explication me permet enfin de comprendre ce qu'il voulait faire :) Il existe une version plus simple et plus faible de ce résultat dans le Cormen (un gros livre d'algorithmique que les options D utilisaient), où on prouve qu'il y a moins de 1/2 menteurs. Mathématiquement c'est moins bien ; informatiquement c'est amplement suffisant, il suffit de multiplier par 2 le nombre de tests pour arriver à la même certitude (et en info, x2, c'est pas beaucoup !)
Bonjour, La multilinéarité du déterminant ne serait-elle pas plus efficace ? En sommant toutes mes autres colonnes sur la première, en exteayabt le facteur (x-1+n) puis en retranchant la colonne de 1 aux autres colonnes ? Cela rend théoriquement l'exercice accessible en sup. En tout cas, merci pour la présentation de ce bel exercice !
Bonjour, Il me semble qu'une erreur de signe a été commise et que le résultat est (-1)^(n+1) n/(n+1). En fait, on peut rendre l'astuce plus naturelle, car calculer la somme de l'énoncé va naturellement amener que la question suivante ; Y a-t-il plus de dérangements de Sn pairs, ou impairs ? Ou encore, si Dn désigne les dérangements, que vaut x_n = la somme pour s dans Dn, de eps(s) ? Effectivement c'est astucieux, mais si on pense à la formule du déterminant d'une matrice, on peut en venir à poser la matrice H, remplie de 1 sauf sur la diagonale, et voir que la quantité recherché est son déterminant. Puisque J=H-I où J est la matrice remplie de 1, il s'agit de calculer det(J-I), ou encore (-1)^n xhi_J(1). J est de rang 1, de trace n, donc xhi_H(X)=X^(n-1) (X-n). Donc x_n = (-1)^n (1-n) = (-1)^(n-1) *(n-1). On se rend compte que le nombre de permutations avec k points fixes est (k parmi n) D_(n-k), et que si on fixe une A partie à k élément de [1,n], on a une bijection des permutations fixant exactement A, et D_(n-k), et cette bijection préserve le signe. Par commodité, je vais raisonner sur les permutations ayant n-k points fixes. Faut de latex, je vais rédiger les calculs comme au 15ème siècle. La somme recherchée vaut ; u_n = Somme_(k=0, n) Somme_(inv(s)=n-k) esp(s)/(n-k+1) = Somme (k=0, n) (k parmi n)/(n-k+1) Somme_(s dans D_k) eps(s) C'est là où on en vient à la question du nombre de dérangements pairs/impairs. On trouve u_n = Somme_(k=0, n) (k parmi n) * (k-1)/(n-k+1) (-1)^(k-1). Il reste à simplifier cette somme. On sait que (k parmi n) = (n-k+1)/k (k-1 parmi n). Donc (-1)^(k-1) * (k-1) * (k parmi n)/(n-k+1) = (-1)^(k-1) (k-1 parmi n) + (-1)^k (k parmi n)/(n-k+1) pour n>0, la somme des (-1)^k (k parmi n) vaut 0, donc Somme_(k=0, n) (k-1 parmi n) (-1)^(k-1) = Somme_(k=0,n-1) (k parmi n) (-1)^k = 0 - (-1)^n Donc la quantité recherchée u_n vaut (-1)^(n+1) + Somme_(k=0, n) (k parmi n) (-1)^k/(n-k+1) Là on va faire le petit calcul d'intégrale, mais l'idée me parait très accessible ; on intègre le polynôme la fonction (x-1)^n sur [0,1], d'un côté on retrouve la somme , de l'autre cette intégration est explicite et vaut (-1)^n/(n+1) Finalement, on a u_n = (-1)^n /(n+1) - (-1)^n = (-1)^(n+1) n/(n+1)
C’était posé à Lyon plutôt. La plupart des exos ULM sont réglos et nécessitent de mettre sur tableau une intuition; au contraire de Lyon qui donne parfois des exos affreux
@@philcaldero8964 à ulm il y en a deux. Cette année c’etait très réglo, l’an dernier aussi et à l’époque de Kortchemsky ça l’était encore plus. Pour Lyon oui ça dépend mais pas des examinateurs, puisque chaque candidat est interrogé sur le mm exo avec chaque examinateur à un instant donné
@@philcaldero8964 ça l’est mais les concours fonctionnement comme ça maintenant, sauf pour mines. Que ce soit à l’X ou à l’ENS, tous les candidats à une heure donnée passent sur le même exo et l’exercice donné est plus donne aux autres à partir de deux créneaux horaires consécutifs. Néanmoins le côté chiant c’est que certains examinateurs aident bcp et d’autres te laissent seul face au tableau, et les aides donnés à certain et pas à d’autres ne se refletent pas toujours dans la note finale (ca m’a pas empeche d’avoir l’ENS mais c’est de l’aléa qu’il faut prendre en compte)
Bonjour, merci beaucoup pour vos vidéos d'excellentes qualités ! Cet exercice n'avait-il pas déjà fait l'objet d'une vidéo ? P.S : on peut également trouver cet exo au début du Maths A 2024
Pour calculer le déterminant on peut se passer de réduction ici en additionnant les n-1 premièrement lignes à la dernière puis en factorisant par n linéarité par (x+ (n-1)). Il suffit ensuite de retranchant aux (n-1) premières lignes la dernière pour récupérer une matrice triangulaire et par suite le déterminant tombe tout seul. Très bonne vidéo !!
@@jeanpalazuelo3285 merci pour le compliment et je suis bien d'accord que l'on peut s'en sortir avec des opérations sur les lignes et les colonnes. Mais je trouve ça très technique
Bonjour, étant en prépa, mpsi sup, spé année prochaine j'avais un peu pas trop fait attention au cour des déterminants et groupes symétriques, mais je me débouille bien en algèbre ceci dit, ça à l'air d'être très fréquent comme chapitre Puisque je suis en vacances là, je vais commencer ce chapitre. Est-ce un cours rigide? (dur?) Sinon je continue à adorer vos exos d'arithmétique/théorie des nombres Merci pour vos efforts, on ressent la patient mathématique
@@Palkia_Dialga1 si j'ai un conseil à te donner regarde le lemme de Brauer sur ma chaîne et bien sûr télécharge le catalogue que tu peux trouver à l'accueil de la chaîne
@@Palkia_Dialga1 maintenant pour la difficulté je peux pas te dire ça dépend des gens moi il y a des trucs que je trouve difficile que d'autres faciles il y a pas de loi
Il n'y a pas une erreur de signe dans les petites valeurs (n=3 donne 2/3 et ducoup la formule serait plutôt (-1)^(n+1)n/(n+1) ?? Après j'ai du faire une erreur aussi
L'argument d'analyse est nécessaire pour une seule raison, toujours la même, sortir de Q et obtenir un Réel irrationnel. Le jour où les algébristes sauront faire cela sans analyse, on aura une preuve algébriste pure du théorème. Ici par exemple le TVI utilisé ne marche pas dans Q, mais dans R.
Deux autres arguments d'analyse sont constants, c'est l'utilisation de l'ordre des valeurs (<, >, =) et de la connexité. Ces 2 arguments, c'est avant tout pour "trouver" la solution. Je ne crois pas qu'il s'agisse d'arguments absolument nécessaires, mais un algébriste qui voudra "trouver" la solution devra toutefois trouver une méthode qui convient. Le TVI utilise tout cela à la fois
De la même manière, les théorèmes de Galois-Abel-Ruffini sur les polynômes de degré >4 sont des théorèmes d'impossibilité pour la simple et bonne raison que les algébristes ne savent pas faire des théorèmes d'existence, mais ils savent faire des théorèmes d'impossibilité. Les algébristes sont constructivistes par nature, c'est leur problème. Un théorème d'existence sans la construction qui va avec, ils savent pas faire.
@@philcaldero8964 Du coup j'ai pensé : "hum bizarre on prend la fonction réelle mais vous aviez oublié de dire que c'était un polynôme sur les réels" et donc incompréhension.
Dans le tableau du milieu je ne comprends pas pourquoi la partition (ni) ne peut pas être la même que (ni,j) c’est à dire (l-1,1,1). Le même argument marche quand même je crois pour l’exclure mais on peut le faire a priori ?
Ma preuve préférée (parce qu'elle est visuelle, c'est de la topologie) : Si C n'est pas algébriquement clos, il existe K une extension finie de R de degré d>2. En tant qu'algèbre de Banach, K a une application exponentielle (définie par la série exponentielle) : exp : K--->K^x C'est un morphisme de groupes de Lie qui est un difféo local donc, par connexité de K^x c'est surjectif et ça identifie K^x à un quotient de K par un sous-groupe discret : K^x est donc homéomorphe à R^k x (R/Z)^r, or comme d>2, K^x est simplement connexe donc r=0 et K^x est homéomorphe à R^d, c'est absurde (parce que K^x est homotope à une d-1-sphère). (On peut aussi directement utiliser la théorie des revêtements pour dire que exp doit être un homéomorphisme à cause de la simple connexité de K^x)
Bonjour monsieur Caldero, je sais que la chaîne ne traîte pas vraiment du domaine des probabilités mais je suis tombé sur un joli théorème, le théorème de Cochran, qui s'intéresse à la projection de vecteurs aléatoires gaussiens. Comme l'algèbre bilinéaire est convoqué, pensez-vous que la démonstration d'un tel théorème peut avoir sa place dans une leçon (de probabilités ou d'algèbre) en tant que développement, ou alors ce n'est pas vraiment dans l'esprit du concours ? Dans le cas contraire, dans quelle leçon peut-on le convoquer ? Merci =)
@@vilfredocellinipareto3823 je ne connais pas la preuve de ce théorème mais le principe général c'est que l'on peut toujours parler d'un développement dans une leçon à condition qu'il y ait des choses réellement consistante qui concerne la leçon. Et il faut faire attention à bien compenser avec le second développement et surtout ne pas mettre quelque chose du même style
Bonjour, Avez-vous une référence pour le théorème affirmant que toute preuve du TFA nécessite de l'analyse? Je me doute qu'à un moment la complétude de R doit intervenir, mais je ne savais pas qu'il existait un énoncé formel.
@@satron92 non je n'irai pas jusqu'à dire qu'il y a un énoncé formel je dirais juste que c'est dans l'air du temps. En tout cas tant que la chose n'est pas prouvée
Il y a une raison simple pour laquelle de l'analyse est nécessaire à un moment ou à un autre pour prouver que C est algébriquement clos. En effet, prouver que C est algébriquement clos est presque équivalent à ce que tout polynome réel de degré impair admet une racine. Ce deuxième énoncé est un énoncé sur les polynômes réels ; il nécessite à un moment ou à un autre d'utiliser la définition de R. Or par définition, R est le complété de Q pour la distance usuelle ; donc R est un ensemble de suite de cauchy, modulo relation d'équivalence. A un moment ou à un autre, des suites de cauchy vont être utilisées. C'est ce qu'on pourrait appeler "faire de l'analyse". Je m'explique sur la presque équivalence entre C algébriquement clos et les racines de polynômes réels de degrés impairs ; Le théorème de d'alembert Gauss il revient à montrer que les irréductibles de R[X] sont les éléments de degrés 1, et les éléments de degrés 2 de discriminant négatif. Une conséquence de ce théorème est que tout polynôme réel de degré impair admet un facteur de degré 1, autrement dit admet une racine réelle. Comme on le voit dans la vidéo, ce résultat est presque équivalent à montrer que C est algébriquement clos ; plus précisément la théorie de Galois montre qu'un corps dans lequel tout polynome de degré impair admet une racine, est soit algébriquement clos, soit sa cloture algébrique est une extension de degré 2.
@@loupiotable oui mais le les propriétés du corps des réels sont aussi partagés par des corps ordonnés, en tout cas c'est comme ça que la théorie d Artin Schreier le voit. Je ne sais plus exactement ce qu'elle dit mais en gros que quand on a un corps de caractéristique nulle et ordonné il doit y avoir aussi d'autres hypothèses mais en tout cas pas équivalente au fait qu'on est dans le corps des réels alors si la clôture algébrique n'est pas de degré infini elle est de degré 2
@@philcaldero8964 Yes, mais pour moi, la théorie d'Artin-Schreier reprend la preuve par théorie de Galois que C est algébriquement clos, et se pose la question ; qu'est-ce qu'on a vraiment utilisé ? Et on en vient à poser la notion de corps ordonnable, et de corps réel clos (corps ordonnable, et aucune extension algbérique non triviale n'est ordonnable). Et il s'avère qu'un corps F non algébriquement clos vérfie [F^bar : F] < inf ssi F est réel clos, et alors F^bar = F(i). Mais encore faut-il prouver que R est réel clos. réel c'est facile ; il faut ordonner R. On sait ordonner Q, pour ordonner R on passe par les suites de Cauchy. Par contre R clos c'est non trivial ; Ca dit qu'aucune extension algébrique non triviale est ordonnable. Pour montrer que R est réel clos, il faut donc montrer que toute extension algébrique contient i. C'est en fait équivalent que de montrer qu'un polynôme de degré impair s'annule sur R. Je doute qu'on puisse montrer que R est réel clos sans passer par de l'analyse, ou du moins par une micro manipulation de suite de Cauchy à un moment ou à un autre. Pour la raison suivante ; Q n'est pas réel clos. Mais R est réel clos. Il y a un moment où on doit utiliser la définition de R, celle ci est analytique.
@@loupiotable Merci pour ces précisions. En tout cas jusqu'à présent, même les preuves les moins analytiques possibles utilisent l'analyse. Mais je serais très intéressé d'en trouver une qui s'en affranchit.
Je ne comprends pas la remarque à 1:42 , le polynôme de degré minimal non nul est aussi unique (et est égal au polynôme minimal) si on lui impose d'être unitaire non ? Je suis d'accord qu'il est préférable de penser la minimalité au sens de la divisibilité mais c'est tout de même correct de penser en terme de degré non ? De la même façon que les collégiens découvrent (il me semble du moins, peut-être est-ce seulement vu au lycée ?) le PGCD en tant que plus grand (au sens de la relation d'ordre de IR) diviseur commun.
@@valentinmassicot1725 oui ça marche effectivement et l'analogie est très bonne, mais dans les deux cas on se fourvoie. La grande force de l'arithmétique c'est la divisibilité on peut toujours comparer des degrés ou comparer deux nombres pour l'ordre total mais pour la divisibilité on est dans la dentelle c'est quelque chose de beaucoup plus fin. Aller vers l'arithmétique sans profiter de la divisibilité c'est comme aller à Lyon pour manger un McDo
@@philcaldero8964 La dessus on est bien d'accord, je me doutais bien que vous vouliez mettre l'accès sur l'interprétation du terme "minimalité" mais ce que vous dites peut laisser penser que la minimalité du degré n'assure pas l'unicité, ne détermine pas entièrement ce polynôme.
Bonsoir Monsieur, j’admire énormément votre travail et votre implication dans vos vidéos de mathématiques. À cet égard j’aimerais vous demander comment recommanderiez-vous de travailler les maths de MP dans le cadre d’un passage des concours en candidat libre. Bien à vous.
@@AbdellahIdir-wf6li il faut que tu arrives rapidement à un niveau où tu peux travailler sur les annales du concours que tu veux passer. Il faut faire un peu de cours connaître les preuves importante du cours mais surtout faire des exercices qui ont des corrigés. En privilégiant les exercices qui ressemblent à ce que tu peux trouver dans les écrits et pas faire trop d'exercices calculatoirs. Il ne faut pas sécher longtemps sur un exercice et il ne faut pas avoir peur d'aller voir le corriger mets quand on a pas su faire quelque chose il faut y revenir un peu plus tard quand on aura oublié
Super ! C'est exactement la vidéo qu'il me fallait pour reprendre les maths après la prepa 😂 Après visionage je reste un peu sur ma faim, à quand la suite !
J'ai peut être une vision surprenante des nombres premier. Y'a pas de théorèmes. J'ai vu un Monsieur sur internet , montrer un truc qui y ressemble mais il ne voyait pas l'essentiel. Par contre ma vision (representation par ordinateur) donne des résultats franchement "drôles". L'idée est simple (pas de moi mais , j'ai vu que l'idée de base était pas suffisante) par contre elle demande un ordinateur car l'idée a été faite avec un programme (impossible à la main). Soit mon idée est connue (je pense pas vraiment, les mecs ont raté un truc), soit elle partira à la poubelle avec moi. Simple remarque , prenez la suite n*(n+1) +41 dans excel ... Ca va peut être vous surprendre. Cette facon de regarder a permi de voir ce truc comme le nez au milieu de la figure.
Bonjour, il me semble qu'il n'y a pas 10^k entiers qui s'écrivent avec exactement k chiffres. Par exemple avec deux chiffres il y a 10; 11 ; ... ; 99 Si je ne me trompe pas il y en a 9×10^(k-1) car le premier chiffre ne peut pas être 0
A 6:22 , je ne trouve pas la domination si claire que ça. Il nous faut majorer le taux d'accroissement par quelque chose d'indépendant de h donc majorer le numérateur par quelque chose comme 2 ||phi||_\infty ne fonctionnerait pas. Cependant, on peut utiliser l'inégalité des accroissements finis couplé au fait que phi' est bornée, phi étant C^inf à support compact.
