Le théorème de d'Alembert-Gauss raconté aux enfants de Galois. Au programme, un peu de théorie de Galois, groupes de Sylow, propriétés classiques des p-groupes et... le TVI!
Ma preuve préférée (parce qu'elle est visuelle, c'est de la topologie) : Si C n'est pas algébriquement clos, il existe K une extension finie de R de degré d>2. En tant qu'algèbre de Banach, K a une application exponentielle (définie par la série exponentielle) : exp : K--->K^x C'est un morphisme de groupes de Lie qui est un difféo local donc, par connexité de K^x c'est surjectif et ça identifie K^x à un quotient de K par un sous-groupe discret : K^x est donc homéomorphe à R^k x (R/Z)^r, or comme d>2, K^x est simplement connexe donc r=0 et K^x est homéomorphe à R^d, c'est absurde (parce que K^x est homotope à une d-1-sphère). (On peut aussi directement utiliser la théorie des revêtements pour dire que exp doit être un homéomorphisme à cause de la simple connexité de K^x)
L'argument d'analyse est nécessaire pour une seule raison, toujours la même, sortir de Q et obtenir un Réel irrationnel. Le jour où les algébristes sauront faire cela sans analyse, on aura une preuve algébriste pure du théorème. Ici par exemple le TVI utilisé ne marche pas dans Q, mais dans R.
Deux autres arguments d'analyse sont constants, c'est l'utilisation de l'ordre des valeurs (, =) et de la connexité. Ces 2 arguments, c'est avant tout pour "trouver" la solution. Je ne crois pas qu'il s'agisse d'arguments absolument nécessaires, mais un algébriste qui voudra "trouver" la solution devra toutefois trouver une méthode qui convient. Le TVI utilise tout cela à la fois
De la même manière, les théorèmes de Galois-Abel-Ruffini sur les polynômes de degré >4 sont des théorèmes d'impossibilité pour la simple et bonne raison que les algébristes ne savent pas faire des théorèmes d'existence, mais ils savent faire des théorèmes d'impossibilité. Les algébristes sont constructivistes par nature, c'est leur problème. Un théorème d'existence sans la construction qui va avec, ils savent pas faire.
Bonjour, Avez-vous une référence pour le théorème affirmant que toute preuve du TFA nécessite de l'analyse? Je me doute qu'à un moment la complétude de R doit intervenir, mais je ne savais pas qu'il existait un énoncé formel.
@@satron92 non je n'irai pas jusqu'à dire qu'il y a un énoncé formel je dirais juste que c'est dans l'air du temps. En tout cas tant que la chose n'est pas prouvée
Il y a une raison simple pour laquelle de l'analyse est nécessaire à un moment ou à un autre pour prouver que C est algébriquement clos. En effet, prouver que C est algébriquement clos est presque équivalent à ce que tout polynome réel de degré impair admet une racine. Ce deuxième énoncé est un énoncé sur les polynômes réels ; il nécessite à un moment ou à un autre d'utiliser la définition de R. Or par définition, R est le complété de Q pour la distance usuelle ; donc R est un ensemble de suite de cauchy, modulo relation d'équivalence. A un moment ou à un autre, des suites de cauchy vont être utilisées. C'est ce qu'on pourrait appeler "faire de l'analyse". Je m'explique sur la presque équivalence entre C algébriquement clos et les racines de polynômes réels de degrés impairs ; Le théorème de d'alembert Gauss il revient à montrer que les irréductibles de R[X] sont les éléments de degrés 1, et les éléments de degrés 2 de discriminant négatif. Une conséquence de ce théorème est que tout polynôme réel de degré impair admet un facteur de degré 1, autrement dit admet une racine réelle. Comme on le voit dans la vidéo, ce résultat est presque équivalent à montrer que C est algébriquement clos ; plus précisément la théorie de Galois montre qu'un corps dans lequel tout polynome de degré impair admet une racine, est soit algébriquement clos, soit sa cloture algébrique est une extension de degré 2.
@@loupiotable oui mais le les propriétés du corps des réels sont aussi partagés par des corps ordonnés, en tout cas c'est comme ça que la théorie d Artin Schreier le voit. Je ne sais plus exactement ce qu'elle dit mais en gros que quand on a un corps de caractéristique nulle et ordonné il doit y avoir aussi d'autres hypothèses mais en tout cas pas équivalente au fait qu'on est dans le corps des réels alors si la clôture algébrique n'est pas de degré infini elle est de degré 2
@@philcaldero8964 Yes, mais pour moi, la théorie d'Artin-Schreier reprend la preuve par théorie de Galois que C est algébriquement clos, et se pose la question ; qu'est-ce qu'on a vraiment utilisé ? Et on en vient à poser la notion de corps ordonnable, et de corps réel clos (corps ordonnable, et aucune extension algbérique non triviale n'est ordonnable). Et il s'avère qu'un corps F non algébriquement clos vérfie [F^bar : F] < inf ssi F est réel clos, et alors F^bar = F(i). Mais encore faut-il prouver que R est réel clos. réel c'est facile ; il faut ordonner R. On sait ordonner Q, pour ordonner R on passe par les suites de Cauchy. Par contre R clos c'est non trivial ; Ca dit qu'aucune extension algébrique non triviale est ordonnable. Pour montrer que R est réel clos, il faut donc montrer que toute extension algébrique contient i. C'est en fait équivalent que de montrer qu'un polynôme de degré impair s'annule sur R. Je doute qu'on puisse montrer que R est réel clos sans passer par de l'analyse, ou du moins par une micro manipulation de suite de Cauchy à un moment ou à un autre. Pour la raison suivante ; Q n'est pas réel clos. Mais R est réel clos. Il y a un moment où on doit utiliser la définition de R, celle ci est analytique.
@@loupiotable Merci pour ces précisions. En tout cas jusqu'à présent, même les preuves les moins analytiques possibles utilisent l'analyse. Mais je serais très intéressé d'en trouver une qui s'en affranchit.
