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Dans cette vidéo, je détaille un exercice sur les suites numérique où il est demander de trouver un équivalent de la suite étudiée en plus l'infini.
Je procède d'abord à la démonstration de la convergence de la suite numérique étudiée. Pour ce faire, je démontre que la suite est minorée puis j'étudie les variations de celle-ci en calculant la différence entre deux termes successifs.
Je démontre donc que la suite est décroissante, ayant prouvé qu'elle est minorée, je déduis qu'elle est convergente. Le calcul de la limite n'est pas demandé dans l'exercice mais je le fais quand même. La suite étudiée est une suite récurrente définie par une fonction, sa limite lorsqu'elle existe est la solution de l'équation f(x) = x.
Je résous cette équation et je trouve la limite. La technique très subtile que j'applique par la suite procède du calcul d'une somme de deux façons différentes. Ce calcul aboutit grâce à la technique du télescopage qui permet de l'exprimer facilement puis à l'aide du remplacement d'un terme de la suite en fonction du précédent, je déduit l'expression explicite de celle-ci.
Cette dernière expression facilite la recherche d'équivalent de la suite en plus l'infini.
7 сен 2024
