Я сам для себя доказывал аксиому выбора, когда читал Рассела, так: 1) допустим, имеем некое множество множеств А такое, что никакие два множества в нём не являются пересекающимися, тогда 2) каждое множество такого множество А пусть будет Р(А) (мощность множества) 3) по условию для Р(М) /где М и N - произвольные множества/ в нём всегда на найдётся такое N, которое N=M, покуда для для всякого М, M принадлежит Р(М) 4) пусть теперь мы имеем новое множество В такое, что оно образовано из всех тех множеств множеств Р(А) (для каждого множества в А), которые удовлетворяют (3) 5) множество А и Р(А) одинаково удовлетворяют условию (1), поскольку никакие два в нём не пересекаются 6) поскольку В состоит только из тех же элементов, что и А, А=В, стало быть Р(А)=В, а значит 7) в множестве В, полученном из А по условиям, все множества взаимонепересекающиеся
Как по мне, Рассел, когда вводил её, возможно, руководствовался тем, что поскольку множество множеств, которые являются множеством самими себя, всегда содержат во всех своих множествах по элементу, которые представляет это самое множество. Допустим, если Каталог - это множество каталогов, то среди каталогов есть элемент Каталог Иначе говоря, если М - множество, которое является своим элементом, тогда М принадлежит {M}. Имея совокупность таких множеств А мы имеем совокупность множеств, каждое из которых содержит в качестве элемента само себя. Это значит, что мы проводим некоторую операцию "превращения" множества {М} во множество М, что-то, вроде {P, Q, R, ...} в {p, q, r, ...}. Для этого по сути и не нужно было бы столько объяснений, если задать примерно такое условие: x принадлежит {x, y, z, ...} - где х - это множество {х, y, z, ...}; например, множество 1 - это множество {1, 2, 3, ...}, а множество 18 - это множество {1, 5, 18, ...}. Но для Рассела аксиома выбора была также нужна для объяснения роли функции в логике и математике, насколько я помню. Что всегда только один элемент из Dn отображается в D.
К сожалению, изложение не очень удачное: приходится буквально "продираться", чтобы понять/догадаться, чтО рассказчик "хочет сказать". И нужно быть весьма посвящённым в тему и снисходительным к многочисленным "какбе" и др. лексическим огрехам, чтобы не потерять нить повествования (вернее, потерять её елико возможно позднее). Для аудитории "начинающих" такой стиль изложения не подходит; это годится для неформального разговора с коллегой-приятелем, который - только потому, что знает предмет, всё истолкует "как надо".
Почти все парадоксы сродни листу Мёбиуса: ПЕРЕВЕРНИ И ЗАМКНИ НА СЕБЯ. Интересно, можно ли в них найти аналог разрезания листа Мёбиуса вдоль средней линии, после чего, как известно, ЛМ распадается на два, пусть и взаимно сцеплённых, но уже "не парадоксальных" кольца. --------------------- Отдельно: глядя на рассказчика, внезапно пришло на ум решение "парадокса брадобрея": Пусть мы макушку бреем сами, а бороду - нет. Тогда, начав с макушки, мы оказываемся "бреющимися сами", после чего выпадаем из поля зрения цирюльника и... остаёмся с бородой! - Вуаля!
Пустое множество содержит себя. Примите в качестве аксиомы, что множество всех множеств пусто, и все станет на свои места. Правда тогда три четверти всех диссертаций по математике придется отправить на свалку. :-)
Любое множество содержит само себя. Есть примеры условий, по которым не получится создать непустое множество. Некоторые даже обзывают их немножествами. Но это не от большого ума. Некоторые признаки явно вступают в противоречие (круглый квадрат), другие вступают в противоречие при вычислении (множество всех множеств).
Пересмотрел видео еще раз. Автору видео, утверждающему, что часть равна целому, надо подучить элементарную логику. Простейшее рассуждение показывает, что то, что бесконечному числу натуральных чисел можно сопоставить четные натуральные числа, отнюдь не означает, что всем натуральным числам можно сопоставить четные натуральные числа. Может стоит завязать с выпивкой? :-)
