Обязательно поиграйтесь с параметрами кривой второго порядка здесь: www.desmos.com/calculator/n4xchbhae5 Ученые долго скрывали эти свойства параболы. Но, как оказалось, достаточно было открыть простой советский... . . . . . . . . . . учебник.
Немного не в тему, но расскажу кулл стори применения фокусов эллипса. Я работал с твердотельным лазером. Есть стеклянный эллиптический цилиндр. На боковой поверхности серебряное напылением, отражающей поверхностью внутрь. В одном из фокусов находится ультрафиолетовая лампа, а в другом активный элемент (АЭ) в виде цилиндра из неодимового стекла. Естественно исходя геометрии, свет лампы при вспышке фокусируется на АЭ. И возникает лазерный импульс. Им можно сваривать, перфорировать металл. Ну ещё нужно не забыть поставить два зеркала с торцов АЭ, чтобы работало все. Ну вот, теперь вы немного знаете про лазеры, в них тоже много геометрии). Ну и без тригонометрии, линейной алгебры, даже топологии ничего не выйдет)
Хотите верьте, хотите нет, но у меня все видео ком в горле стоял. От того, какая же это красота, и от того, как же я много теряю, не доходя до всего этого сам. Учусь в 11 классе, неплохо (вроде бы) знаю математику и даже на олимпиады ходил. Но такие видео напрочь ломают мою уверенность в хоть каком-то понимании математики, настолько она для меня непостижима. Грустно все это в общем.
Грустить не стоит: свойства квадратичной функции тебе и так знакомы, конические сечения и соответствующие уравнения еще доведется изучить в университете. Оптическое свойство параболы наверняка запомнится из этого видео, и при желании ты можешь попробовать доказать его сам. А все остальное - это уже специализация (ссылки на книги в описании). Так и учимся!
@@WildMathing когда нам всё это рассказывали в 9 классе в физико-математическом лицее, да ещё заставляли учить доказательства, я ничего не понимал... Если бы тогда мне показали столь простые и наглядные анимации, я бы сразу всё понял. У нового поколения математиков есть большое преимущество: цифровые технологии. И огромное спасибо Вам, что его реализуете!
Ничего удивительного, Wild Mathing как обычно выпустил ЛЕГЕНДАРНОЕ видео! Огромное спасибо вам за труд! Всегда ценил вас как одного из лучших он-лайн ютуберов.
О Боже, какая красота, какое великолепие... А ещё эта качественная картинка в 4К, звуковое оформление, подача... Просто потрясают. Желаю столь невероятному каналу стремительного процветания и долгих лет активного творчества!
Так, я придумал такое доказательство: y = ax2 + bx +c X = qy2 + wy + e - формулы парабол и, по совместительству, система уравнений (1) Сложим уравнения порабол: ax2 + x(b-1) + c + qy2 +y(w-1) + e = 0 Выразим полные квадраты: a(x+a(b-1)/2)^2 + q(y + q(w-1)/2) = …-уравнение (2) А т.е. множество всех вероятных решений системы уравнений (1) принадлежит множеству задаваемую уравнением (2), которое по своей общей форме задает эллипс, который при a и q = 0 превращается в окоужность
6:00 Доказательство: Рассмотрим две параболы с вертикальной и горизонтальной осями симметрии y=a(x-h)^2+k и x=b(y-v)^2+u соответственно. Пусть они пересекаются в точках (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) и (x4, y4). Точки пересечения можно найти путем решения системы из двух уравнений: y=a(x-h)^2+k (1) x=b(y-v)^2+u (2) Поскольку оси парабол перпендикулярны, можно предположить, что a!=b (если a=b, то параболы совпадают и имеют бесконечное количество точек пересечения). Выразим x и y из (1) и (2) и подставим одно в другое. Получим уравнение, описывающее окружность: (x-h)^2 + (y-v)^2 = ((a+b)/ab)(x-u)^2 + ((a+b)/ab)(y-u)^2 Таким образом, точки пересечения двух парабол лежат на одной окружности с центром в точке (u, v) и радиусом R = sqrt((a+b)/ab). Если а=a, то можно предположить, что a>0, тогда перед полученным уравнением окружности будет стоять положительный коэффициент, что гарантирует существование такой окружности. Таким образом, мы доказали, что точки пересечения двух парабол, оси которых перпендикулярны, всегда лежат на одной окружности.
The best insight into the life of parabola ever! Wild Mathing is surprising us once again! Keep it working, comrade! We will strive for knowledge and acquire it with Your help! Deeply appreciate Your work!
По задаче 6:20. Можно просто написать уравнения двух таких парабол, сложить их и получим, что точки пересечения парабол удовлетворяют уравнению окружности.
Свойство подобия парабол обнаружил сам в 8-ом классе, когда для облегчения домашки написал простенькую прогу для решения квадратных уравнений. Прога решала уравнение и рисовала график. Что бы график всегда был хорошо виден и был по центру экрана добавил автомасштабирование и смещение начала координат. С удивлением обнаружил, что после этого ВСЕ графики стали выглядеть АБСОЛЮТНО одинаково.
Это очень здорово! Должен признать, что сам я только в процессе создания этого видео понял, что увеличиение старшего коэффициента дает тот же эффект, что и отдаление камеры
6:24 очень красиво утверждение, узнал его давно, но за недавнее время всплыло столько красивых доказательств, что попробую описать их здесь: 1. посчитать в координатах(а почему бы и нет?) 2. векторные пространства(по сути тот же счет в координатах, но в одну строчку) 3. степень точки относительно параболы 4. изогональное сопряжение(при сопряжении описанная вокруг треугольника парабола переходит в касательную к описанной окружности) 5. Теорема Дезагра о проективной инволюции Геометрия по истине красива, такое простое в формулировке, но бесконечное по объему фактов за собой утверждение
9:40 Это потому что у эллипса - два параметра, независящих друг от друга и нельзя найти общий коэффициент, чтобы он влиял на оба параметра как надо. А вот у параболы и круга - по одному такому параметру. Соотвественно через один коэффициент его можно преобразовать во что угодно, главное подобрать\найти это коэффициент.
Несколько лет назад, ещё в средней школе, я влюбился в математику, влюбившись в планиметрию. Прошло время, и казалось бы, это невероятное ощущение красоты и открытия при наблюдении удивительных геометрических конструкций осталось лишь в воспоминаниях, заменившись алгеброй и анализом…но не тут-то было. Спасибо, что вновь вдохнул жизнь в эти чувства!
я сам в 11 классе, начал гореть математикой только с конца 10 класса. я сам не знаю, как так получилось, но я только рад этому. хочу вот в будущем, будучи на курсе 2-3, пойти учителем в моей школе подрабатывать. ваш канал просто что-то с чем-то! он подходит вообще для любой аудитории
WM, у меня такой вопрос, под прошлым роликом Я оставил комментарий с моими идеями для роликов(спасибо что лайкнули!). Вопрос в том, будут ли видео на мои темы? Ответьте пожалуйста в ответах на комментарий! От любого ответа не расстроюсь, ведь Вы лучший математический блогер! Я даже буду рад если вы просто ответите на комментарий! Залайкайте чтобы WM увидел!❤
Приветствую! Спасибо за добрые слова и интерес! Бином Ньютона для четвертой степени геометрически не планируется в ближайшее время, но это не значит, что его никогда не будет. А красивые уравнения нам еще наверняка встретятся: может, в том числе совместно с GPT
Сейчас вот игрался в Desmose с параболой x^2+bx и включил анимацию изменения по b. Оказалось, что при этом вершина параболы движется по параболе -x^2. Удивительно!
Нет ответа на самые главные вопросы: чем определяется у параболы параметр "p"; почему это у параболы один фокус, а не два; почему расстояние от вершины параболы до фокуса равно именно половине величины параметра "p" параболы, а не, скажем, его трети? Остальные вопросы я даже боюсь задавать. .... )))
Спасибо за такую красоту!!! (я преподаватель математики) Программа, на которой это делается, какая-то особая, или можно и нам, простым смертным, на ней показывать такие чудесные фокусы?
Спасибо, что оценили! Анимации написаны с помощью Python: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-NsIakCeRETA.html Под силу всем, но требуется предварительная подготовка. Какие-то вещи с чуть менее высоким качеством можно реализовать в GeoGebra: www.geogebra.org
@@WildMathing Спасибо! Я тут подсела на Ваши ролики - познавательные и видеоуроки! Очень много важной информации. Буду рекомендовать своим ученикам. (Да и сама узнаю много нового.) Спасибо за Ваш труд. Спасибо за популяризацию наук. И спасибо за красоту, эмоции от просмотра - чудесные!
Здравствуйте, раньше был очень интересный ролик про Галуа, его печальную историю и труды. Можно узнать - будет ли какой-нибудь ролик о других великих математиках? Гедель, Паскаль, Лейбниц и прочее?
Добрый день! Спасибо за интерес! С этим есть сложности, но скоро кое-что может сдвинуться с места. Сейчас биографических роликов 4, не считая диафильмов: 1. Гильберт: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-dRnh5_j0SnU.html 2. Рамануджан: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-4aEk8ga9NC4.html 3. Галуа: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-lqW5VtFUeyo.html 4. Ковалевская: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-Jda-NkuJmTg.html
Это хорошее замечание! Но конкретно на изображенной модели, про которую был вопрос, все-таки идеальная парабола, потому что ускорение свободного падения в коде сцены фиксировано
Почему у таких отличных видео, сравнимых с 3brown1blue так мало просмотров? Сам занимаюсь математикой давно, но эти видео так восхищают и мотивируют. Большое автору спасибо
В разделе "Для настоящих математиков", что такое и откуда берётся "оптическое свойство"? Там же: где доказательство, что перед нами биссектриссы односторонних углов?
Спасибо за интерес! Оптическое свойство показываю в этом же ролике: см. 2:33. Мы его и доказывали как-то раз: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-fGm3wZbUqNI.html У научно-популярного ролика нет цели доказать все утверждения, но интересующее вас как раз было доказано. Найдите на рисунке розовую прямоугольную трапецию. Затем односторонние углы: лучи, исходящие из их вершин, являются биссектрисами как раз по оптическому свойству параболы. Что и требовалось доказать
Спасибо! Насчет концовки: существуют фигуры которые подобны между собой (имеют одинаковую форму, но отличаются в размерах). Так, например, все квадраты подобны между собой. Как бы ни располагался один из них на плоскости, мы всегда с помощью движения, а также растяжения фигуры «равномерно по обеим осям», можем добиться того, что один квадрат совпадет с другим. Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 подобен треугольнику со сторонами 6, 8, 10: у них равные углы, а соответственные стороны отличаются ровно в два раза. Но понятно, что существуют и фигуры, которые не подобны между собой, хотя и принадлежат одному классу. Например, тот же треугольник со сторонами 3, 4, 5 не подобен правильному треугольнику со сторонами 3, 3, 3: у них разные углы. И никакое растяжение (гомотетия) не позволит этим треугольникам совпасть. Прямоугольник с соотношением соседних сторон 2: 1 не подобен прямоугольнику, соседние стороны которого относятся 3:1. В финале мы рассмотрели два родственных типа объектов: все окружности подобны между собой, а эллипсы - нет. Возникает аналогичный вопрос насчет парабол. Они все подобны между собой или нет? Для многих в новинку то, что ответ на этот вопрос положительный: демонстрирую это в ролике
Можно ли сказать, что большинство секретов параболы открывают конические сечения? В проективном наблюдении за параболой многие факты выглядят лишь, как искрометная россыпь. Конус и его сечения хорошо бы давать в школе. Сразу дает объемное видение.
В ролике речь идет об изображенном круге. И он движется по параболе: так уж запрограммирован. Если же вы хотите учесть даже незначительные факторы в вашей физической модели, то и про сопротивление воздуха не стоит забывать, тогда уж, извините, ни эллипса, ни параболы
Ну, фактически, если говорить о физике, то это действительно парабола. Так или иначе, формула перемещения - s=at²/2+v0t. Если представить её как функцию s(t), она будет квадратичной, а следовательно, её графиком (то есть зависимостью от времени) будет парабола
После отскока мяч движется вообще-то не по параболе, а по эллипсу. Это легко понять, если мысленно убрать все преграды на пути движения шарика. Двигаясь с ускорением, он пройдет мимо центра Земли и вернется в исходную точку. В идеальных условиях, конечно. На коротком участке пути эллипс практически неотличим от параболы, но в математике это же разные кривые! Черт побери!!!
Спасибо за обратную связь! Безусловно вы пишете верные утверждения. Но мой вопрос был про мячик, который в кадре. Его движение запрограммированно, и траекторией является именно парабола (без каких-либо оговорок). Ошибки нет. А уж то, что в масштабе 10 метров эта кривая неотличима от эллипса - дело другое, возможно, поговорим об этом в соответствующем выпуске. Там же можно рассказать и о траектории движения небесных тел, где будет существенно то, о чем вы пишите. Еще раз спасибо!
Возможно, среди моего длинного текста выше потерялось главное. Мячиком я называю круг, изображенный в момент 0:07. Его движение запрограмировано с помощью языка Python так, что траекторией является парабола. Еще раз: траекторией конкретного изображенного мною мячика является парабола - это истинный факт. Ваша правда в том, что траекторией реального мяча с учетом физики будет являться дуга эллипса, которая с точки зрения той же физики неотличима в рассматриваемых масштабах от параболы
Большинство фактов здесь из элементарной геометрии (которую изучают в школе), некоторые из аналитической геометрии (1-й курс университета). В описании есть книги по теме
