Доказать сходимость и вычислить предел последовательности, если x=√(a+√(a+⋯+√a)) ★ Бутузов # 33 

Здравствуйте Валерий Волков! Уже учусь в универе на ф-те прикладной математики и информатики. По рассылке случайно открылось Ваше видео. Вспомнилось то время поступления в ВУЗ. Очень радостно услышать Ваш голос и Ваши прекрасные объяснения задач. Это видео очень актуально для моей учебы сейчас. Спасибо Вам огромное за Ваш талант и труд!

Большое спасибо, как раз вовремя..

Спасибо большое! У меня проблемы с доказательствами сходимости, да и до некоторых алгебраических и прочих фишек часто не догадываюсь. У Вас очень полезные видео, надеюсь их просмотр и анализ поможет мне увереннее доказывать существование пределов и находить их!

Подробное доказательство. Спасибо за оригинальное нахождение предела.

Чувствую себя военным, принимающим новое оружие на вооружение...

Всегда вовремя и доходчиво.

Как всегда доходчиво! Like и жду новых примеров! Спасибо!

Спасибо! Как обычно, было очень интересно. Жду следующего.

Красиво и понятно!

Спасибо вам огромное... Я впервые целиком и полностью осознала задачку по пределам. До сегодняшнего вечера возможность более или менее освоить этот аспект математического анализа мне и вовсе не представлялась реальной, но сейчас я понимаю, что при должном желании можно и в этом разобраться

Это было круто!

Интересно!

для простых смертных задача тяжёлая. тяжкая я бы даже сказал.

Единственный канал, которому хочется ставить лайки

Монотонность последовательности я доказал так же, как в видео. А ограниченность вот так: Предположим, что последовательность неограниченна. Тогда для любого как угодно большого числа S найдётся такой номер N, что x(N) > S. Пусть N - наименьший такой номер. Тогда в силу монотонности последовательности x(N - 1) ⩽ S (в противном случае N - 1 был бы ещё меньшим номером, для которого x(n) > S, что противоречит предыдущему. Из рекуррентной формулы последовательности x(N) = √(a + x(N - 1)). Обе части равенства положительны, значит равенство можно возвести в квадрат. Возводим и меняем местами части равенства. Получим: a + x(N - 1) = x²(N). Т.к. x(N) > S, то x²(N) > S², и значит, a + x(N - 1) > S². Откуда x(N - 1) > S² - a. С другой стороны согласно предыдущему x(N - 1) ⩽ S. Здесь уже почти очевидно, что для любого положительного a эти два неравенства при надлежащем выборе S будут противоречивы. Сделать это можно так: умножим второе неравенство на -1, поменяв знак, и сложим с первым неравенством. В результате получим: 0 > S² - S - a или S² - S - a < 0, т.е. квадратичная функция f(S) = S² - S - a, по крайней мере, при некоторых значениях a, при любых S принимает отрицательные значения, а это, очевидно, неверно. Значит, предположение о неограниченности x(n) было неверным и, следовательно, она является ограниченной.

Excellent. See how we would do this exercise. Yes, a, b, c and d are constants. such that the limit as x approaches zero of (ax^2+sin(bx)+sin(cx)+sin(dx))/ (3x^2+5x^4+7x^6) is equal to 8. Find a+b+c+d.

Ох уж эта математика высшая! Очень тяжелая тема, но за разбор спасибо!

Равенство двух пределов неоднозначно. Если предположить, что второй предел равен d, и искать соотношение x[n+1]/x[n], то d/c=1 при c^2-c-a=0; при других соотношениях это будет не так. Короче, причина и следствие местами перепутаны

Здравствуйте! А можете пожалуйста подробно объяснить про первый и второй замечательный приделе.

Ваши задачи сложные и интересны

Спасибо за видео. Не совсем понял, зачем доказывать монотонность через индукцию. Мне кажется, первый шаг индукции уже всё доказал, поскольку можно аналогично в большом выражении отбросить последний "корешок" и получить предыдущий член последовательности. Так как отбрасывается положительное число, общий итог уменьшается, что как раз дает искомое неравенство. Потом, при доказательстве ограниченности последовательности, мат. индукция уже не используется, а сразу оценивается всё выражение из рекуррентных соображений. Имхо, методически лучше использовать в обоих случаях один способ: либо индукцию, либо рекурсию. Ограниченность я доказывал аналогично, только выделял случай a=1, и после громоздких выкладок получил более точную оценку Xn < sqrt(3)*max{1, sqrt(a)}. Разумеется, представленный в видео способ более изящен. Любопытно было бы обобщить задачу на случай a

Можно ещё по индукции доказать, что x(n) < a+1 для всех натуральных n и a>0. n = 1: x(1) = sqrt(a) < sqrt(1+2a+a^2) = sqrt((1+a)^2) = a+1 - выполняется. Пусть неравенство справедливо для номеров 1, 2, ..., n. Тогда для номера n+1 имеем: x(n+1) = sqrt(a+x(n)) < sqrt(a+a+1) = sqrt(2a+1) < sqrt((a+1)^2) = a+1, n >= 1.

Здравствуйте! Как называется программа , в которой Вы работаете?

Здравствуйте. Когда вы доказывали монотонность, разве можно опираться на тот факт, который вы предположили?

Монотонность очевидна без всякой индукции, т.к. под корнем добавляется положительное число к предыдущему члену, и корень - монотонно возрастающая функция.

Какая Это программа?

При а=1 получается золотое сечение)

370//9.11.2020.

Т.е при сколь угодно малом а. Предел все равно будет равен 1.

ПРОСТОЙ АНАЛИЗ. ЕСТЬ БЛИЖАЙШИЙ МАГАЗИН. ТАМ ДОРОЖЕ. СТОИТ ЛИ ИДТИ ДАЛЕКО В ТОЛПУ НА РЫНКЕ ЕСЛИ КОВИД. И ЗАТРАЧИВАТЬ СИЛЫ. СКОЛЬКО НОСКОВ И БОТИНОК ДЕНЕГ НА ПРОЕЗД МОЖНО СЭКОНОМИТЬ.

При a = 2: (1 + sqrt 9) / 2 = 2. Фигня получается На 4:50 написано, что при а = 2 эта штука < 2

мне кажется, что не надо Вам лезть в Высшую математику, у Вас прекрасно получается решать задачи для средней школы и для поступления в Вуз, именно здесь у нас пробелы в образовании, именно здесь Вы правильно ставили задачи и показывали их красивые решения, извините, если я много Вам сказал и Вы считаете наоборот