Логарифмирование не поможет ★ Сделано в СССР ★ Показательно-степенное уравнение 10^(x-x^2 )=x^x 

Прошло долгих 7 лет, как я наткнулся на этот канал с целью подготовиться к тогда ещё ГИА, и вот уже и бакалавриат подошёл к концу, а я все ещё смотрю данный канал и жду новых видео :)

Я бы, всё-таки, еще графики функций lg(x) и 1-x нарисовал - так оно красивей и наглядней. :)

Берём исходное уравнение. 1) Угадываем х =1. 2) При 0 < x < 1 левая часть больше 1, т.к. слева 10 в положительной степени, а правая часть меньше 1, т.к. справа число меньшее 1 в положительной степени. 3) При x > 1 левая часть меньше 1, правая - больше. Из 2 и 3 следует, что других решений нет.

Отличное доказательство единственности решения. Спасибо.

Я из СССР, при поступлении в 1975г. штудировала Сканави. Сейчас Сканави на чердаке. Огромное спасибо.

Особенно понравился момент с убывающей и возрастающей функциями! Спектр решаемых мной задач расширяется и все благодаря вам!

Спасибо, стряхнула пыль с мозга. 🌹

Как всегда изящно и ошеломительно просто! Спасибо!

Весьма элегантно! В 1984 поступила в Киевский политех, Сканави был моей настольной книгой при подготовке! И сейчас ею пользуюсь при подготовке детей к вступительным экзаменам..... в Сербии! Замечательная школа советской математики!

Попрошу заметить, что функции - непрерывны. Это же важное условие

Просто и легко решил за минуту. Причём без двойного переноса туда-сюда. Как только мы получили равенство x - x² = x lg x, то в силу того, что x > 0 (а следовательно, x ≠ 0), мы можем сократить на x и сразу получить уравнение 1 - x = lg x, которое уже и решаем методами исследования функций и подбора.

Решить можно было без аналитического исследования. 1-x-lgx=0. 1 = lgx +lg(10^x). 1 = lg(x*10^x). x*10^x = 10. При х10. При х = 1 решение есть. И никаких графиков и анализа функции на возрастание/убывание не требуется.

Интересные у Вас приёмы. Хорошо, когда числа к чему-то привязаны.

Огромное спасибо вам за ваши видео , они помогли мне поступить👍

Мощно и красиво!

Логарифмируем, пацаны

Всё гениальное просто!

Привет Валерий. Действительно отличная задача. Спасибо вам!

Спасибо !!

По-моему более наглядно перегруппировать последнее уравнение как x + lg(x) = 1 и рассмотреть три случая: * 0

Договор дороже денег. Лайк и комент. Занят был не много. Просмотр без звука - потом послушаю. Сложные дни были.

То что 1 это ответ - очевидно. А за доказательство, что ответ единственный, лайк

без логарифмов можно обойтись: так как если решения существуют, то все они будут иметь вид 10^n, где n - рациональное число, то есть X = 10^n. Заменяем X на 10^n. Дальше группировка и, наконец, получаем, что 10^n = 1 - n. А дальше как в ролике: обе функции монотонны, одна возрастает, вторая убывает => одно решение при n = 0, а значит X = 10^0 = 1. Обожаю ваш канал :)

И кто это сказал, что "логарифмирование не поможет"? Именно оно, и только оно, и помогает!

Спасибо, очень интересное уравнение. Последнее уравнение я решал графически.

Как обычно Хакаято вроде как сложная хрень А в итоге ответ 1

Круто🤩

Спасибо Вам большое!

Для решения подобных уравнений в аналитическом виде в последнее время модно применять функцию Ламберта.

Долго боялся смотреть это видео. Сейчас спьяну открыл, поставив на паузу, и решил в уме. Вот мой алгоритм решения: 10^(x-x^2) = 10^(x(1-x)) Преобразуем полученное выражение свойству степеней 10^(x-x^2) = (10^(1-x))^x Подставляем полученное выражение в изначальное равенство (10^(1-x))^x = x^x Показатели степеней одинаковые -- сокращаем их 10^(1-x) = x Еще раз преобразовываем по свойству степеней 10^(1-x) = 10^-1 * 10^x = 1/10 & 10^x Откуда получаем равенство 10^x = 10x Выполняя те же действия с графиками, получаем единственную точку пересечения - это 1. И никаких логарифмов

Решил ещё в самом начале методом подбора. 💪💪💪 Самое простое было х = 1. Так и вышло. Но не пытался доказать, что это будет единственное решение, поэтому посмотрел видео.

Думал что вы решите это уравнение без метода подбора😁😁

Спасибо за видео!

Отлично, все детально, понятно и кажется даже не трудно, спасибо!

Да, не отходя от кассы, сходу ответ угадывается ЭТО ...ЕДИНИЦА!!!

Это все очень интересно, но на самом деле задача выглядит так: (10^(1-x))^x=x^x

Спасибо.

10^(x-xx) = x^x 10^x(1-x)=x^x Возводим обе части в степень 1/x 10^(x-1)=x 10/10^x=x 10x/10^x=1 Очевидно, что x=1, т.к. уравнение имеет только одно действительное решение при x принадлежащее еденице (метод подбора).

С этим сложными уравнениями одна беда: чаще всего подставляешь 1, 2 или типа того и понимаешь, что других решений нет.

Для тех, кто в комментах пишет что-то типа "на кой все это". Я выпускался в 77-м. Два последних класса у нас была углубленная математика, 9 часов в неделю. Сканави - силища! После полутора месяцев мучений я, далеко не последний ученик, смог переступить через "у меня не получается!". Именно работа над собой и заложила фундамент для окончания физмата с отличием. Если человек не видит красоту в таких уравнениях, не стоит заходить на страничку. Колумб оркрыл Америку не для того, чтобы завезти в Европу табак. Сканави создал свой задачник не для тех, кому "на кой'". Спасибо авторам!

you are the best explainer!

Можно было воспользоваться свойствами функций в самом начале, без преобразований, но тогда корень не так очевиден, нужно поподбирать

Браво!

почему х = 0 не решения, разве 10^0 не равно 0^0? и вопрос, почему не взять корень степени х справа и слева? получится 10^(1-x) = x, дальше исследуем что x может лежать только в диапазоне от 0 до 1 и это как раз и будут крайние точки 0 и 1

Великолепно!

Спасибо за то, что вы делаете

Хм, а я вот решил по-другому🤔 Из обоих частей можно извлечь корень степени x. В итоге получилось (10/10^x)=x Ну и дальше построение графиков и приход к выводу, что пересечение у них только в одном месте : x=1🤷‍♂️

Не шарю в математике, но оч интересно :)

Можно было у изначального уравнения рассмотреть три случая. Если x=1, то 10^(1-1^2)=10^0=1=1^1, значит x=1 корень. Если x>1, то x^x>1, x^2>x, значит 10^(x-x^2)

Я понял, что что-то адекватно доказать в этом примере я не смогу и начал подбором. Я не мало так удивился, когда первая цифра, которую я подставил явилась верным ответом

Здорово же выпутались из первоначального «ужаса»! А я испугался и не стал решать самостоятельно.

Как обычно ответ -единица. В задачах творца бывает ещё экспонента, но не в этом случае.

Не знаю почему но я интуитивно это понял.

Можно обойтись и без логарифмирования: возведем обе части в степень 1/x (мы можем это сделать, так как обе стороны положительны и x не равен 0): (10^(x(1-x)))^(1/x)=(x^x)^(1/x), 10^(1-x)=x, левая часть монотонно убывает, правая монотонно возрастает, т. е. уравнение имеет максимум 1 корень, который легко подбирается - x=1

Решение банально. Х=1, так как будет 10⁰=1¹, а любое число в нулевой степени - 1

Супер задача! Как раз проверяет умение аналитически мыслить. Но если 2 функции были либо убываюшими, либо возрастаюшими, то решений могло быть бесконечно много. Но тут суть именно в этом, что одна возрастает, другая убывает

Отлично

Тэйлор log(1 + a) = a Заменяем x = 1 + a Следовательно 1 - x = 1 -(1+a)= -a Заменяем log(x)=log(1+a)=a Получаем уравнение -а = а 》》》 2*а = 0 》》》 a=0 》》》 x = 1 + a = 1

Уравнение вида 1 - х = lgX можно решить и графически.

То есть, чтобы придумать такую задачу нужно написать: 10 в степени 1-1 = 1 в степени 1. Потом заменить едbницу на X и задача готова! 😀😇

Дякую Профессор

Спасибо!

Кому подбор не нравится , тут можно было сказать вот что 1-× это какое то число и логарифм по основанию x тоже какое то число , но поскольку эти числа между собой вычитаются , то число должен быть одинаковым , чтобы все это было равен нулю , можно было отдельнл решить 1-x , там получаем единицу , проверили логарифм , совпал равенства верное , получили бы другое число , это было бы пустое множество .

С самого начала видно после определения одз, что в левой части функция убывает а в правой возрастает на всех допустимых значениях х. Потому корень всего один. И самое простое, к чему можно привести равенство при подборе, так это 1=1. Тем самым, чтобы из 10 сделать 1, нужно добиться нулевой степени. Откуда х-x^2 =0 при х>0 Остаётся только х=1 Всё гораздо проще

x>0 - область определения x^x. При 0x^x. При x>1 10^(x-x^2)

Выносим степень "х" в левой части и сокращаем ее и справа и слева . остается 10^(1-х) =х .Дальше решаем графически, строим график у=х и у=10^(1-х) . Ответ х=1

Спасибо за интересное решение!

В конце, помимо доказательства возрастания и убывания функций, необходимо доказать их монотонность, это так же необходимое условие для существования только одного корня.

А в левой части в показатели степени икс вынести за скобки, не? Получаем: 10^x(1-x)=x^x, то есть (10^(1-x))^x=x^x, а, значит, раз x>0, 10^1-x=x, и далее по логарифму🤔

На ночь глядя посмотрел из любопытства этот ролик , думал сойду с ума

Интересно, я про логарифм и не подумал. я совсем иначе решил. x>0, значит можно возвести обе части в степень 1/х. Тогда имеем х=10^(1-х)=10/(10^х). Тогда 10= х*10^х. И х, и 10^х монотонно возрастающие на всей области определения, значит и их произведение монотонно возрастает. Значит каждое значение из области допустимых значений принимается лишь раз. Несложно заметить, что при x=1 мы и получаем 1*10^1=10. Равенство верно, х найден. Задача решена.

Класс !

Без логарифмов и без исследования: Пусть ^ - знак степени. Дано: 10^(x-x*x) = x^x; раскроем скобку: 10^(x*(1-x)) = x^x; поменяем порядок множителей у скобки 10^((1-x)*x) = x^x; или по другому (10^(1-x))^x = x^x; отсюда видно, что 10^(1-x) = x представим как произведение 10^1 / 10^x = x или 10 / 10^x = x или перенесем в правую часть знаменатель 10 = x*10^x запишем 10 в степени, чтобы был одинаковый вид с каждой стороны равенства 1*10^1 = x*10^x откуда четко виден корень который равен 1

Нетрудно заметить что если 01 то наоборот.... При х =1 обе части равны 1. Поэтому x=1 есть единственное решение

Технично=красиво ! Спасибо

По начальному виду уравнения решение x = 1 угадывается сразу. При x > 1: x ^ x > 1, а x < x ^ 2 -> x - x^2 < 0 -> 10 ^ (x - x ^ 2) < 10 ^ 0 = 1, т.е. при x > 1 корней нет. При 0 < x < 1: x - x^2 > 0 -> 10 ^ (x - x^2) > 10 ^ 0 = 1, а x ^ x < 1, поэтому и при 0 < x < 1 решения нет. Ответ: x = 1

Я решил интуитивно за одну секунду )

Автор видео: *вычисляет ответ через логарифмы и разложения на множители* Я: *просто предположил, что ответ 1, из уравнения x=10^(1-x)*

может, неверный метод применил, но ответ совпал:10^(x*(1-x))=x^x ---> возвёл в 1/x степень. 10^(1-x)=x, 10=x*10^x, x*10^x-10=0; 10^(x-1)=1; x=1

Мне очень нравится Ваша подача! 👏🏻👏🏻👏🏻👍🏻

Ах, хорош! :)

Исходное уравнение тождественно уравнению 10^(1-x) = x; при x > 1 равенство не соблюдается, остается диапазон (0; 1] (по условию x>0) теоретически решение может быть дробным, но любое дробное значение тоже не будет удовлетворять исходному уравнению. Остается 1.

Как всегда, на высоте

Круто

Всё тоже самое можно сказать про исходное уровнение - сразу видно, что решение = 1 и что других корней нет из-за строгого возрастания одной части и убывания другой, логарифмирования не требуется.

Решение уравнение, начатое Денисом Афанасьев ым из настоящего чата: 1-x-lgx=0. 1 = lgx +lg(10^x). Далее - записываем 1 равной как lg10, и получаем уравнение lgx +lg(10^(x-1)=0. Приравнивая каждое слагаемое нулю, дважды получаем х=1.

Если я ничего не напутал, то можно извлечь корень из неотрец. прав. и левой части без потери корней. Извлечём корень x-степени, тогда будем иметь дело с 10/x = 10^x и исследовать эти ф-ции или воспользоваться функцией Ламберта.

Рассматриваем 2 случая:1)когда х-х^больше 1 и 2)х-х^меньше 1.

А что, если обе части уравнения возвести в степень 1/х при условии, что х не равен о. Получим 10 в степени 1-х =х. Методом подбора получим сразу х=1.

функция Ламберта в помощь👽

Кстати кстати кстати, это уравнение можно решить логарифмированием до конца. Ответ получился такой-же. Ведь там выходит: x-x^2=xlog(10)x, всё уравнение нужно сократить на x, тогда: 1-x=log(10)x, переносим переменные в левой, без переменных в право, тогда: log(10)x + x=1,выражаем x через логарифм с основанием 10,выходит: log(10)x+log(10)10^x=1. По свойству логарифма выходит: log(10)10^x×x=1. Соответственно: x×x=1 x^2=1 x=1

1) Рассмотрим этот пример в области определения при x≠0: 10^(x-x^2) = x^x 10^(1-x) = x 10/10^x = x Помножим на 10^x: 10 = x*10^x Функция x*10^x является монотонно возрастающей на промежутке от 0 до бесконечности, а на промежутке от 0 до -бесконечности асимптотой является 0, значит решения только одно. Воспользуемся волшебным приёмом «заметим, что» и получим ответ 1. Ответ: 1.

Уникальное решение 💪😄👌

Я бы решала графически. Корень х=1 появляется еще при вычислении точек для построения графиков.

Достаточно просто посмотреть на пример, чтобы понять, что ответ будет х=1, но в решении нужно это ещё и доказать У меня решение получилось с обычным рассуждением. Напишу, вдруг кому интересно будет. Ну или поправите, если я не прав. Нам нужно рассмотреть всего 3 состояния: 01. Мы прекрасно знаем, что x - x^2 при x>1 всегда отрицательно, следовательно степень 10 будет всегда отрицательной. Так же мы знаем, что число в степени 1, что всегда больше 1 Ну и 0

Это, как говорится, частный случай, с которым крупно повезло (x = 1). То есть решение становится очевидным. В реальных ситуациях так бывает далеко не всегда. Корни уравнения могли быть и не столь очевидными и не целыми и корень мог быть не один. Стоило лишь там оказаться каким-то коэффициентам, константам и другим степеням x в показателях. Поэтому такие уравнения часто решаются приближённо численными итеративными методами. Вот скажем, получилось бы в результате, например, 3 - 2*x - lg(x) = 0. И тут бы всё не так очевидно подбиралось. Но приближённое решение есть. Исходя из того, что логарифмическая функция изменяется гораздо слабее от роста x, чем линейная, на первой итерации положим логарифмический член константой, например 0. Получим 3 - 2*x = 0, откуда x в первом приближении равен 1,5. Подставим в логарифмический член данное значение, получим 3 - 2*x - lg(1,5) = 0 или приближённо 2,8239 - 2*x = 0. Так на второй итерации x = 1,41195 (приближённо). Так можно провести ещё несколько итераций, значения x на них будут: 1.4251; 1.423075; 1.423385; 1.423334... Несложно увидеть, что абсолютная величина разницы между значениями, получаемыми на следующих итерациях уменьшается. То есть итерации постепенно сходятся к какому-то определённому значению около 1.4233. Можем для проверки подставить значение, полученное на последней из приведенных итераций (1.423334). Получаем: 3 - 2*1.423334 - lg(1.423334) , что примерно равно 0.000025. Уже достаточно близко к 0, но если точность не устраивает, то можно осуществить ещё столько сколько надо итераций (лишь бы точность выполнения машинных операций с действительными числами позволяла), чтобы дойти до приближённого решения с заданной точностью. Точного решения, в отличии от примера из видео в этом случае не получится. И таких ситуаций в реальной практике полно.

Ого, круто!

Вообще-то, если чуть-чуть выйти за рамки школьной математики, 0 входит в область определения исходного уравнения и является корнем ( lim(x^x) при x->0 = 1 ).

Я решил сразу методом подбора, не преобразовывая уравнение. получил то же.

Мне почему-то сразу на ум пришла единица.